2023年湖北省鄂州市鄂城区花湖中学中考数学模拟试卷（一）（含解析）

2023年湖北省鄂州市鄂城区花湖中学中考数学模拟试卷（一）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计结果为的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  年月日，十三届全国人大五次会议在京召开，国务院总理李克强做政府工作报告，今年主要预期目标粮食产量保持在万亿斤以上，其中万亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图的几何体是由个相同的正方体组成的立体图形，从上面看这个几何体，所看到的平面图形是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，已知直线，直角三角形顶点在直线上，且，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  已知关于的不等式组的解集是，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，、、，动点从点出发，沿轴以每秒个单位长的速度向右移动，且过点的直线也随之平移，设移动时间为秒，若直线与线段有公共点，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在边长为的正方形中，以为直径画半圆，则阴影部分的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：；；；是关于的一元二次方程的一个根．其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10.  如图，对于平面内的点、，如果将线段绕点逆时针旋转得到线段，就称点是点关于点的“放垂点”如图，已知点，点是轴上一点，点是点关于点的“放垂点”，连接、，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  计算：______．

12.  已知一组数据，，，的众数为，则这组数据的平均数是______．

13.  若、是一元二次方程的两个根，则的值是______．

14.  如图，在平面直角坐标系中，以点为位似中心作的位似图形得到，相似比为：，若点坐标为，则点的坐标为______．

15.  如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数第一象限的图象上，将点先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到点，点恰好落在反比例函数第三象限的图象上，经过，两点的直线交反比例函数第一象限的图象于点，连接，，则的面积为______ ．

16.  如图，在正方形中，，为的中点，为的中点，连接和交于点，连接，作于点，延长与交于点，连接并延长与交于点，则的长度为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
化简并求值：，其中．

18.  本小题分
为提升学生的艺术素养，某校计划开设四门选修课程：声乐、舞蹈、书法、摄影．要求每名学生必须选修且只能选修一门课程，为保证计划的有效实施，学校随机对部分学生进行了一次调查，并将调査结果绘制成如下不完整的统计表和统计图．
学生选修课程统计表

根据以上信息，解答下列问题：
______，______．
求出的值并补全条形统计图．
该校有名学生，请你估计选修“声乐”课程的学生有多少名．
七班和七班各有人选修“舞蹈”课程且有舞蹈基础，学校准备从这人中随机抽取人编排“舞蹈”在开班仪式上表演，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的人恰好来自同一个班级的概率．

19.  本小题分
在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形中，是边上的一点，试说明的面积与矩形的面积之间的关系．他的思路是：首先过点作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为只保留作图痕迹．
在和中，
，
．
又，
______
，
______
又______
≌．
同理可得______
．

20.  本小题分
图为科研小组研制的智能机器，水平操作台为，底座固定，高为，始终与平台垂直，连杆长度为，机械臂长度为，点，是转动点，，与始终在同一平面内，张角可在与之间可以达到与变化，可以绕点任意转动．
转动连杆，机械臂，使张角最大，且，如图，求机械臂臂端到操作台的距离的长．
转动连杆，机械臂，要使机械臂端能碰到操作台上的物体，则物体离底座的最远距离和最近距离分别是多少？

 

21.  本小题分
一队学生从学校出发去劳动基地，行进的路程与时间的函数图象如图所示，队伍走了小时后，队伍中的通讯员按原路加快速度返回学校取材料通讯员经过一段时间回到学校，取到材料后立即按返校时加快的速度追赶队伍，并比学生队伍早分钟到达基地如图，线段表示学生队伍距学校的路程千米与时间小时之间的函数关系，折线表示通讯员距学校的路程千米与时间小时之间的函数关系，请你根据图象信息，解答下列问题：
学校与劳动基地之间的距离为______ 千米；
______ ，点的坐标是______ ；
若通讯员与学生队伍的距离不超过千米时能用无线对讲机保持联系，请你直接写出通讯员离开队伍后他们能用对讲机保持联系的时间的取值范围．

22.  本小题分
如图，内接于，是的直径，过外一点作的切线，线段交线段于点，交于点，交于点，连接，，．
求证：；
若，平分，，求．

23.  本小题分
我们约定为二次函数的“相关数”．
特例感知：
“相关数”为的二次函数的解析式为；
“相关数”为的二次函数的解析式为；
“相关数”为的二次函数的解析式为；
下列结论正确的是______ 填序号．
抛物线，，都经过点；
抛物线，，与直线都有两个交点；
抛物线，，有两个交点．
形成概念：
把满足“相关数”为为正整数的抛物线称为“一簇抛物线”，分别记为，，，，抛物线与轴的交点为，．
探究问题：
“一簇抛物线”，，，，都经过两个定点，这两个定点的坐标分别为______ ．
抛物线的顶点为，是否存在正整数，使是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
当时，抛物线与轴的左交点，与直线的一个交点为，且点不在轴上，判断和是否相等？请直接写出判断结果．

24.  本小题分
如图，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与轴有着相同的交点、点在点右侧，抛物线与轴交点为，抛物线与轴交点为．
求的值；
如图，点是点关于抛物线对称轴的对称点，连接，点在轴上，当点的坐标为何值时，是以为底的等腰三角形？
如图点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交抛物线于点，试探究：在点的运动过程中，的比值是否为一个定值；如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意可得，的相反数是，
故选：．
根据相反数定义直接求值即可得到答案．
本题考查相反数定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B.与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C.，符合题意；
D.，故本选项不合题意．
故选：．
分别根据合并同类项法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
本题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：万亿亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：从上面看这个几何体，所看到的平面图形是：

故选：．
画出从上面看的图形，进行判断即可．
本题考查从不同方向观察几何体．正确的画出从上面看到的图形，是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
直线，
．
故选：．
先根据直角三角形的性质求出的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为，
，，
，，
则，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，结合不等式组的解集求出、的值，代入计算即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：当直线过点时，
，
解得：，
，
解得．
当直线过点时，
，
解得：，
，
解得．
故若与线段有公共点，的取值范围是：，
故选：．
分别求出直线经过点、点时的值，即可得到的取值范围．
此题考查两条直线相交和平行问题，属于动线型问题，掌握一次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设与半圆交于点，半圆的圆心为，连接，，

四边形是正方形，
，
，
，
，
垂直平分，
，
弓形的面积弓形的面积，
，
故选：．
设与半圆交于点，半圆的圆心为，连接，，证明，得到弓形的面积弓形的面积，则．
本题主要考查了求不规则图形的面积，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，熟知相关知识是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定，熟练掌握二次函数的性质是关键．
由抛物线开口方向得，由抛物线的对称轴位置可得，由抛物线与轴的交点位置可得，则可对进行判断；
根据对称轴是直线，可得，代入，可对进行判断；
利用可得到，再把代入即可对作出判断；
根据抛物线的对称性得到点的坐标，即可对作出判断．
【解答】
解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线与轴的交点在轴上方，
，
，所以正确；
，
，
，
，所以错误；
，，
，
把代入得，
，所以错误；
，对称轴为直线，
，
是关于的一元二次方程的一个根，所以正确；
故选B．  

10.【答案】 

【解析】解：如图，在轴的正半轴上截取，使得，连接，．

，都是等腰直角三角形，
，，，
，，
∽，
，
点在直线上运动，
作点关于直线的对称点，连接交于点，当点与重合时，的值最小，
，，
，
的最小值为，
故选：．
如图，在轴的正半轴上截取，使得，连接，首先证明，点在直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交于点，当点与重合时，的值最小．
本题考查轴对称最短问题，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为．
根据算术平方根的性质进行化简，即．
此题考查了算术平方根的性质，能够能够算术平方根的性质进行化简，是一道基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：一组数据，，，的众数为，
，
这组数据的平均数：，
故答案为：．
直接利用众数的定义得出的值，进而求出平均数；
此题考查了平均数和众数，解题的关键是正确理解各概念的含义．
 

13.【答案】 

【解析】解：是一元二次方程的根，
，
．
，是一元二次方程的两个根，
，
．
故答案为：．
利用一元二次方程的解，可得出，利用根与系数的关系，可得出，再将其代入中，即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：以点为位似中心作的位似图形得到，相似比为：，点坐标为，
点的坐标为，即，
故答案为：．
根据位似变换的性质计算，得到答案．
本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
 

15.【答案】 

【解析】解：作轴，交于点，
点在反比例函数第一象限的图象上，
，
反比例函数为，
将点先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到点，
点恰好落在反比例函数第三象限的图象上，
，
，
，
代入得，
，
直线的表达式为；
，
，
点、关于原点对称，
，
．
故答案为：．
利用待定系数法即可求得反比例函数，直线的解析式；作轴，交于点，由一次函数解析式求得的坐标，然后根据求得即可．
本题是反比例函数于一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，反比例函数的对称性，求得交点坐标是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，延长，交于点，

在正方形中，，为的中点，为的中点，
，，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
，
，
又，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
延长，交于点，由勾股定理可求，通过证明∽，可得，可求，由勾股定理可求，由“”可证≌，可得，，由余角的性质可证，由面积法可求的长，由“”可证≌，可得，再由平行线分线段成比例可求的长，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．
 

17.【答案】解：

，
，
，
当时，原式． 

【解析】先利用同分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】，
，补全图形如下：

估计选修“声乐”课程的学生有人．
假设表示班，表示班，画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中抽取的名学生恰好来自同一个班级的结果数为，
则所抽取的人恰好来自同一个班级的概率为 

【解析】解：，，即，
故答案为：、；

由舞蹈人数及其所占百分比可得的值，声乐人数除以总人数即可求出的值；
总人数乘以摄影对应百分比求出其人数，从而补全图形；
利用样本估计总体思想求解可得；
画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出抽取的名学生恰好来自同一个班级的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图表．
 

19.【答案】；；；≌， 

【解析】解：由题知，在和中，
，
．
又，
，
，
，
又，
≌．
同理可得≌，
，
故答案为：，，，≌．
根据已知条件依次写出相应的解答过程即可．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：过点作，垂足为，

则，，
，
，
在中，，
，
，
，
机械臂臂端到操作台的距离的长为；
当时，此时，物体在点位置与底座最近，如图：
过点作，垂足为，过点作，垂足为，

则，，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
物体离底座的最近距离为，
当、、三点共线时，此时点与底座距离最远，如图：

，，
，
在中，，
，
物体离底座的最远距离为． 

【解析】过点作，垂足为，根据题意可得，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后进行计算即可解答；
当时，过点作，垂足为，过点作，垂足为，此时，物体在点位置与底座最近；当、、三点共线时，此时点与底座距离最远，然后分别进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】     

【解析】解：学生队伍的速度是千米小时，
所以千米，
故答案为：；
小时，
由题意得，通讯员返回时的速度是千米小时，
所以点即；
故答案为：；；
设的关系式为，
由题意得，，
当时，，
解得，即；
当时，，
解得，
此时通讯员与学生队伍相遇，相遇点坐标为，
，
解得，
即；
综上，和．
根据函数图象可得：当时，学生队伍走的路程，即可得到学生队伍的速度，即可求得
学校与劳动基地之间的距离；
根据求得的学生队伍的速度，再利用通讯员提前分钟到达可得的值，根据通讯员的路程和速度可得点的坐标；
求出线段、的解析式，分两种情况进行讨论即可解答．
本题考查了一次函数的应用，掌握分类讨论思想的应用是解决本题的关键．
 

22.【答案】证明：为的切线，
，
，
，，
，
为的直径，
，
，
；
解：连接、，如图，设，
平分，，
，
，
，
，即，
解得，
，
． 

【解析】先根据切线的性质得到，再证明，接着根据圆周角定理得到，然后根据平行线的判定方法得到结论；
连接、，如图，设，利用角平分线的定义得到，则根据，所以，接着根据平行线分线段成比例定理求出，所以，然后根据三角形面积公式计算．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和平行线分线段成比例定理．
 

23.【答案】  ， 

【解析】解：当时，，
抛物线均过，
由得，，
当时，，
当时，，
当时，，
由得，，，
故答案为：；
，
当时，，
点在上，
当时，
，
，
，，
点在上，
故答案为：，；
由得：与轴的两个交点，，
的纵坐标为：，
，抛物线与轴有两个交点，
到轴的距离为：，
当时，
当时，是直角三角形，
，舍去，
当时，
当时，是直角三角形，
，舍去，
综上所述：或；
和相等，理由如下：
当时，抛物线与轴的左交点，抛物线与轴的左交点，
当时，
，舍去，
的横坐标为：，
同理可得：的横坐标为：，
，，
．
当时，；由得，，从而得出结论；由得，，，进而得出结论；
令和，从而求得结果；
分为和两种情形，先求得与轴的两个交点及的纵坐标，当满足到轴的距离等于抛物线与轴的两点交点之间的距离的一半时，是直角三角形，从而列出方程求得结果；
求得当时，抛物线与轴的左交点及抛物线与轴的左交点，求出的横坐标，的横坐标为：，计算，，从而得出结论．
本题以二次函数为背景，考查了抛物线与轴的交点与一元二次方程之间的关系，直角三角形的判定等知识，解决问题的关键是较强的计算能力和理解能力．
 

24.【答案】解：令，
解得：或，
即点，
则的表达式为：，
即，
解得：；

由抛物线的表达式知，其对称轴为：，
点是点关于抛物线对称轴的对称点，则点，
由抛物线的表达式知，点，
设点，
是以为底的等腰三角形，则，
即，
解得：，
即点；

是定值为，理由：
设点的坐标为：，则点，
则，，
则． 

【解析】由待定系数法求出函数表达式，即可求解；
是以为底的等腰三角形，则，即可求解；
设点的坐标为：，则点，则，，即可求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰三角形的性等，有一定的综合性，难度适中．