数学（湖南株洲卷）-学易金卷：中考第二次模拟考试卷

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中考数学第二次模拟考试卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
D
D
D
D
A
B
B
C
D
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．已知，的绝对值是（    ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】直接根据绝对值的定义解答即可．
【详解】解：，
故选B．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，绝对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系．
2．在﹣3，0，π，这四个数中，最小的无理数是（    ）
A．0 B．﹣3 C．π D．
【答案】D
【分析】从四个数中先找出无理数，再根据实数大小比较的法则进行比较即可得出答案．
【详解】解： 无理数有π和，
∴最小的无理数是；
故选：D．
【点睛】本题考查实数大小的比较，解题的关键是掌握实数大小比较的基本方法．
3．一元一次不等式组的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解出不等式组的解集，再把不等式的解集在数轴表示出来即可求解．
【详解】解：不等式，
移项得：，
∴不等式组的解集为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了求不等式组的解集并在数轴上表示解集，根据不等式的解集，利用找不等式组的解集的规律的出解集是解题的关键．
4．下列计算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用同底数幂相除法则，积的乘方法则，完全平方公式，同底数幂相乘法则对每个选项逐一分析，即可得出答案．
【详解】解∶A．，原计算错误，不符合题意；
B．，原计算错误，不符合题意；
C．，原计算错误，不符合题意；
D．，原计算正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂相除法则，积的乘方法则，完全平方公式，同底数幂相乘法则，掌握同底数幂相除法则，积的乘方法则，完全平方公式，同底数幂相乘法则是解题的关键．
5．某校男子足球队的年龄分布如图所示，则根据图中信息可知这些队员年龄的平均数，中位数分别是（ ）

A．15.5，15.5 B．15.5，15 C．15，15.5 D．15，15
【答案】D
【详解】根据图中信息可知这些队员年龄的平均数为：
=15岁，
该足球队共有队员2+6+8+3+2+1=22人，
则第11名和第12名的平均年龄即为年龄的中位数，即中位数为15岁，
故选：D．
6．把这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图），是世界上最早的“幻方”．图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为：（  ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意求出“九宫格”中的y，再求出x即可求解．
【详解】如图，依题意可得2+5+8=2+7+y
解得y=6
∴8+x+6=2+5+8
解得x=1
故选A．

【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到方程求解．
7．如图，在中，直径，，则度数是（    ）

A．26° B．38° C．52° D．64°
【答案】B
【分析】连接，如图，先根据圆周角定理得到，再利用互余计算出，然后利用等腰三角形的性质得到的度数．
【详解】解：连接；如图，
，
，
，
，
，
．
故选：B．

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8．如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
【详解】A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误；
B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故选项正确；
C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；
D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
9．如图，在中，D是边的中点，是的角平分线，于点E，连接．若，，则的长度是（    ）

A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】C
【分析】延长交于点F，通过证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形中位线定理得出，即可得出结果．
【详解】解：延长，交于点F．

∵平分，
∴，，
在与中，
∴，
∴，，
又∵D是中点，
∴，
∴是的中位线，
∴．
∴．
故选C．
【点睛】此题主要考查了三角形中位线，全等三角形等．熟练掌握三角形中位线定理，角平分线定义和垂直定义，三角形全等判定和性质，是解题的关键．
10．如图，抛物线与轴交于点，，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①，②（为任意实数）；③若点为对称轴上的动点，则有取大值，最大值为；④若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的序号有（    ）．

A．①②③④ B．①②③ C．③④ D．①②④
【答案】D
【分析】根据抛物线开口向下可得，根据对称性求出对称轴为直线，则，再由抛物线交y轴的正半轴，得到，由此即可判断①；根据时，二次函数有最大值，最大值为，则，即可判断②；由对称性可知，则，即可判断③；先求出，进而推出，则，由m是方程的一个根，得到或，然后分别计算出的值即可判断④．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线与x轴交于点，，
对称轴为直线，
，
抛物线交y轴的正半轴，
，
，故①正确；
对称轴为直线，开口向下，
时，二次函数有最大值，最大值为，
（m为任意实数）即，故②正确；
对称轴交y轴的正半轴于点C，
，
由对称性可知，
，故③不正确；
抛物线与x轴交于点，
，
，
，
，
，
m是方程的一个根，
或，
当时，，
当时，，
若m是方程的一个根，则一定有成立，故④正确；
故选D．
【点睛】本题考查二次函数图象和性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，解决本题关键是运用二次函数图像上点的坐标特征、抛物线与x轴交点进行计算．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题8分，共32分）
11．计算：___________
【答案】
【分析】根据二次根式化简，负指数幂的运算，有理数的运算法则即可求解．
【详解】解：，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查实数的运算，掌握二次根式的性质，负指数幂的运算，有理数的运算法则是解题的关键．
12．分解因式： _____．
【答案】
【分析】先提公因式，然后运用完全平方公式进行运算即可．
【详解】原式）
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．解题的关键在于正确的运算．
13．据2023中国国际大数据产业博览会新闻发布会发布数据显示，2022年我国大数据产业规模达万亿元，同比增长．其中万亿用科学记数法可以表示为______．
【答案】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：万亿．
故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
14．郑州市某中学举办了“喜迎二十大，永远跟党走，奋进新征程”主题歌唱比赛，并将唱功、台风、现场气氛按如图所示的权重计算最终成绩，九（2）班李雷的得分分别是85分、90分、90分，则他的最终比赛成绩为 _____分．

【答案】88
【分析】利用加权平均数按照比例即可求得最终成绩．
【详解】解：李雷的最终成绩是：（分）．
故答案为：88．
【点睛】本题考查了加权平均数的计算方法，在进行计算的时候注意权的分配，另外还应细心，否则很容易出错．
15．如图，在正方形中，，二次函数的图象过点O和点B，为了测算该二次函数的图象与边，围成的阴影部分面积，某同学在正方形内随机投掷900个点，已知恰有300个点落在阴影部分内，据此估计阴影部分的面积为 _____．

【答案】
【分析】根据正方形的面积公式得到正方形的面积，根据阴影部分的面积占正方形的面积的即可得到结论．
【详解】解：在正方形中，，
∴正方形的面积，
∵在正方形内随机投掷900个点，已知恰有300个点落在阴影部分内，
∴阴影部分的面积正方形的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，正方形的面积的计算，正确地求得阴影部分的面积占正方形的面积的是解题的关键．
16．如图，在中，，的平分线分别与相交于点E、F，与相交于点G，若，，，则的长是______．

【答案】
【分析】根据平行四边形两组对边分别平行可得，再根据角平分线的性质可得，可得；过A作，于，证明是等腰三角形，进而得到，证明，得到，再证明四边形是平行四边形，得到AO，再利用勾股定理计算出的长，进而可得答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
、的平分线、分别与相交于点、，

；
过作，交于，如图所示：
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
；
故答案为：．

【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质；证明AO=MO，BO=EO是解决问题的关键．
17．如图，一次函数与反比例函数的图象交于和两点，已知，则___________．

【答案】
【分析】过点分别作轴的垂线，垂足分别为，根据题意得出，代入的坐标得出，将代入一次函数，得出，进而求得点，根据反比例函数的的几何意义，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，

依题意，
又∵，
∴
∵和
∴
解得：
∵和在上，
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的的几何意义，一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握反比例函数的的几何意义是解题的关键．
18．在平面直角坐标系xOy中有两点A，B，若在y轴上有一点P，连接PA，PB，当∠APB＝45°时，则称点P为线段AB关于y轴的“半直点”．例：如图，点A（﹣3，1），B（﹣3，﹣2），则点P（O，1）就是线段AB关于y轴的一个“半直点”，线段AB关于y轴的另外的“半直点”的坐标为 _____；若点C（3，3），点D（6，﹣1），则线段CD关于y轴的“半直点”的坐标为 _____．

【答案】     （0，-2）；     （0，）和（0，）
【分析】（1）过点B作BQ⊥y轴，证得四边形ABQP是正方形，得到∠AQB=45°，线段AB关于y轴的另外的“半直点”是点Q，求其坐标即可；
（2）以CD为斜边作等腰直角△CMD，以点M为圆心，MC为半径作圆M，交y轴于点E、F，作GH∥y轴，分别过点C、D作CG⊥GH，DH⊥DH，先证△CGM≌△MHD，求得点M坐标，从而得出线段CD关于y轴的“半直点”即为点E、F，再求坐标即可．
【详解】解：①如图1，过点B作BQ⊥y轴，连接AQ，

            图1
∵A（﹣3，1），B（﹣3，﹣2），P（O，1）
∴AB=AP=3，∠PAB=90°，
由题意可得∠APQ=∠BQP=90°，
∴四边形ABQP是矩形，
∵AB=AP，
∴四边形ABQP是正方形，
∴∠AQB=45°，
∴线段AB关于y轴的另外的“半直点”是点Q，其坐标为（0，-2）；
②如图2，以CD为斜边作等腰直角△CMD，以点M为圆心，MC为半径作圆M，交y轴于点E、F，作GH∥y轴，分别过点C、D作CG⊥GH，DH⊥DH，

              图2
设M（m，n）则CG=3-m，MH=n+1，GM=3-n，HD=6-m，
∵点C（3，3），点D（6，﹣1），
∴，
∵△CMD是等腰直角三角形，
∴MC=MD=，∠CMD=90°，
∴∠GMC+∠DMH=90°，
∵CG⊥GH，DH⊥GH，
∴∠CGM=∠MHD=90°，
∴∠GMC+∠GCM=90°，
∴∠GCM=∠MDH，
∴△CGM≌△MHD，
∴CG=MH，GM=DH，
∴，解得：
∴，
如图3，连接CE、DE，CF、DF，

              图3
则∠CED=∠CFD=∠CMD =45°
∴则线段CD关于y轴的“半直点”即为点E、F，
设点E（0，t），
∵ME=MD=，
∴
解得：
E（0，），F（0，）
故答案为：（0，-2）；（0，）和（0，）
【点睛】此题是新定义问题，主要考查了圆周角定理，勾股定理，两点间的距离公式，全等三角形的判定及性质，理解新定义是解本题的关键．
三、解答题：本题共8小题，第19小题6分，第20、21小题每小题8分，第22、23、24小题每小题10分，第25、26小题每小题13分，共78分，需要有必要的解答过程与步骤。
19．计算：
【答案】0
【分析】利用绝对值的定义，特殊角的三角函数值，零指数幂，零指数幂计算．
【详解】解：



【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握绝对值的定义，特殊角的三角函数值，零指数幂，零指数幂．
20．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将a的值代入即可．
【详解】解：


＝，
当时，
原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则．
21．如图，在平行四边形中，点E，F分别是边的中点，分别连接交对角线于点G，H，连接．

(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，由中点可得，证明全等即可；
（2）由得，由平行四边形可得，证明得到，，得以证明．
【详解】（1）证明：∵是平行四边形，
∴，
∵点E，F分别是边的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理可得
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
22．如图，某学校门口安装了体温监测仪器，体温检测有效识别区域长为米，当身高为米的学生进入识别区域时，在点处测得摄像头的仰角为，在点处测得摄像头的仰角为，求学校大门的高是多少米．

【答案】学校大门ME的高是米
【分析】利用三角形的外角性质可得，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系，进行计算即可．
【详解】解：根据题意可知，米，米，
，
，
，
米，
在中，，
，
（米）
答：学校大门ME的高是米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
23．为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供A，，三种午餐供师生选择，单价分别是10元，12元，15元，为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周A，，三种午餐购买情况的数据制成统计表，又根据过去平均每份午餐的利润与周销售量之间的关系绘制成条形统计图：
种类
数量（份）
A
1800

2300

900


请你根据以上信息，解答下列问题：
(1)该校师生上周购买午餐费用的中位数是______．
(2)为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人只能选择两种不同的午餐交替食用，试通过列表或画树状图的方法求该校学生小芳选择“”组合的概率；
(3)经分析与预测，该校师生购买午餐的种类与数量相对稳定．根据规定，配餐公司平均每份午餐的利润不得超过3元，否则应调低午餐的单价．
①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价；
②为了便于操作，配餐公司决定只调低一种午餐的单价，且调低幅度至少1元（只能整数元），为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，请问应把哪一种午餐的单价调整为多少元？
【答案】(1)12
(2)
(3)①需要；②应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利润不超过且更接近3元

【分析】（1）中位数要求将三种午餐价格从小到大排列，找到最中间的一个数字；
（2）根据题意画树状图，即可解答；
（3）①根据条形统计图找到A、B、C的利润，算出总利润并除以总人数，计算平均利润，与3元对比即可；②对于调低单价，对A、B、C三种午餐分别计算每个降价1元之后的利润，要明白降的越多，距离3元的利润越远的道理，因此在A、B、C三种午餐分别降价1元时比较哪种情况更符合要求即可作答．
【详解】（1）解：全校师生上周购买午餐的份数为（份），
对于5000份数据，按照从小到大排列后，中位数为第2500和2501个数的平均数，通过统计表知，（A+B）一共为（份），因此中位数为B午餐的费用，即为12．
故答案为：12；
（2）树状图如下：
   
根据树状图能够得到共有6种情况，其中“BC”组合共有2种情况，
∴小芳选择“”组合的概率为；
（3）①根据条形统计图得知，A的利润为2元，B的利润为4元，C的利润为3元，
平均利润为：（元），   
∵，因此应调低午餐单价；                                   
②假设调低A单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），
调低B单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），
调低C单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），
当A、B、C调的越低，利润就越低，因此距离3元的利润就会越远，故最低即为降低1元；为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，综上所述，应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元．
【点睛】本题主要考查了中位数的概念及求法、统计表和条形统计图的综合运用、用列表法或树状图法求概率等知识，学会综合运用条形统计图和统计表，得到要分析的数据是解题的关键．
24．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点作x轴的垂线，垂足为点，的面积为3
(1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式；
(2)结合图象直接写出的解集；
(3)在x轴正半轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标．

【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数表达式为．
(2)或
(3)

【分析】（1）由的面积为3，可求出a的值，确定反比例函数的关系式，把点坐标代入可求b的值．
（2）结合图像观察，求一次函数图像位于反比例函数图像的下方时，自变量x的取值范围即可．
（3）作对称点关于x的对称点，直线与x轴交点就是所求的点，求出直线与x轴的交点坐标即可．
【详解】（1）解：根据题意，，
，
，
结合图形，可得，
将代入得，
反比例函数的表达式为．
把代入反比例函数得，
，
将和代入解得：，，
一次函数表达式为．
（2）由图象可以看出的解集为或．
（3）解：如图，作点关于x轴的对称点，连接与x轴交于，此时最大．


，
，
设直线的关系式为，将，代入，
解得，，
直线的关系式为，
当时，解得，
．
【点睛】本题考查反比例函数的图像和性质、一次函数、轴对称以及待定系数法求函数关系式等知识，理解轴对称知识作图是解题的关键．
25．如图，在等腰三角形中，，是上任意一点，以为圆心，为半径作，分别交、于点、，过点作，垂足为．

(1)判断直线与的位置关系并证明．
(2)若，，，求的半径．
【答案】(1)直线是的切线，证明见解析
(2)2

【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质，证明，得出，根据平行线的性质，得出，根据，得出，即可证明结论；
（2）连接，证明，得出，设的半径为x，则，，根据，得出，列出关于x的方程，解方程得出x的值，即可得出答案．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：

∵在中，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线．
（2）解：连接，如图所示：

∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设的半径为x，则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得：或（舍去），
经检验，是原方程的根，
∴的半径为2．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本性质和判定．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)连接与，交于点，求当的值最大时点的坐标；
(3)点与点关于抛物线的对称轴成轴对称，当点的纵坐标为2时，过点作直线轴，点为直线上的一个动点，过点作轴于点，在线段上任取一点，当有且只有一个点满足时，请直接写出此时线段的长．
【答案】(1)
(2)
(3)或

【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）过点作轴，交与，先求出直线的解析式，设点，则点坐标为，可求的长，由平行线分线段成比例可得，利用二次函数的性质可求解；
（3）分两种情况讨论，①当点在点的右侧，连接，以为斜边，作等腰直角，当以为圆心为半径作圆，与轴相切于，此时有且只有一个点满足，设点，由“”可证，可得，，由勾股定理可求的值，可求点坐标，即可求解；同理可得②当点在点的左侧情况．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于点、，
，解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：过点作轴，交于，如图1所示：

抛物线的解析式为与轴交于点，
点，
直线解析式为，
设点，则点坐标为，
，
，
，
当时，的值有最大值，
点，；
（3）解：①当点在点的右侧，连接，以为斜边，作等腰直角，当以为圆心、为半径作圆，与轴相切于，此时有且只有一个点满足，连接，交于，延长交于，则轴，如图2所示：

设点，
点、，
抛物线的对称轴为直线，
点与点关于抛物线的对称轴成轴对称，
点，轴，
，
，，
，
，
，
又，
，
，，
当点的纵坐标为2时，
，即，
，
，，
，  
，（舍）
，则，
点的坐标，
轴，
，
②当点在点的左侧，连接，以为斜边，作等腰直角，当以为圆心、为半径作圆，与轴相切于，此时有且只有一个点满足，连接，交于，延长交于，则轴，如图3所示：

设点，
点、，
抛物线的对称轴为直线，
点与点关于抛物线的对称轴成轴对称，
点，轴，
，
，，
，
，
，
又，  
，
，，
当点的纵坐标为2时，
，即，
，  
，，
，
，（舍）
，则，
点的坐标，
轴，
，
综上所述：线段的长为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．