2021届陕西省西安中学高三上学期期中考试数学理试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知全集，，，则 

A.    B.        C.         D. 

2.若复数满足(其中为虚数单位，则(   )

A. 2 B. 3 C.  D. 4

3.记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4＝0，a5＝5，则(　　)

A.an＝2n－5     B.an＝3n－10    C.Sn＝2n2－8n    D.Sn＝n2－2n

4.给出下列四个结论：

①对于命题，，则，

②命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”；

③“”是“”的充分不必要条件；

④若命题为假命题，则都是假命题；

其中正确结论的个数为（   ）

5.如图程序框图是为了求出满足的最小偶数，那么在和两个空白框中，可以分别填入（    ）

A. 和      B. 和

C. 和      D. 和

6.在等比数列{an}中，已知，是方程的两根，则=（   ）

7.某单位组织“不忘初心，牢记使命”主题教育知识比赛，满分100分，统计20人的得分情况如图所示，若该20人成绩的中位数为a，平均数为b，众数为c，则下列判断错误的是（    ）

A. a=92 B. b=92 C. c=90    D. b+c<2a

8.函数的图像为C ,以下结论中正确的是（   ）

①图像C关于直线对称;   ②图像C关于点对称;

③由y = 2sin2x的图像向右平移个单位长度可以得到图像C.

A.①    B.①②    C.②③    D.①②③

9.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是

截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，

如在等高处截面的面积恒相等，则体积相等．已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为(　　)

.       .         .        .

10.为缓解城市道路交通压力，促进城市道路交通有序运转，减少机动车尾气排放对空气质量的影响，西安市人民政府决定：自2019年3月18日至2020年3月13日在相关区域实施工作日机动车尾号限行交通管理措施．已知每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末（周六和周日）不限行.某公司有A，B，C，D，E五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两辆车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是(　　)

A．A车周三限行    B．今天是周六       C．今天是周四   D．C车周五限行

11.已知函数与的图像有一个横坐标为的交点，若函数的图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍后，得到的函数在有且仅有5个零点，则正实数的取值范围是（   ）

A．    B．     C．     D．

12. 平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,//平面CB1D1,平面ABCD=m,

平面AB B1A1=n,则m、n所成角的正弦值为（    ）

A．         B．        C．       D．

第Ⅱ卷（90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.

13.若的展开式中各项系数之和为32,则展开式中x的系数为_____.

14.若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________.

15．2020年2月为支援武汉市抗击新型冠状病毒的疫情，计划从北京大兴国际机场空运部分救援物资，该机场拥有世界上最大的单一航站楼，并拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题，现有4辆载有不同救援物资的车辆可以停放在8个并排的泊车位上，要求停放的车辆相邻，箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案有________种。（用数字作答）

16.等边边长为1，点P在其外接圆劣弧AB上，则的最大值为______.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.(本小题满分12分)

设数列满足.

（1）求数列的通项公式；   

（2）求数列的前n项和.

18.(本小题满分12分

如图，D为直角△ABC斜边BC上一点，AC=DC，

（1）若,求角B的大小；

（2）若BD=2DC,且AD=,求DC的长；

19.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥中，中，且．
（1）证明：平面平面；
（2）若，，求二面角的余弦值．

20.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝ax2＋bx＋xln x的图像在(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.

(1)求实数a，b的值；

(2)设g(x)＝x2－x，若k∈Z，且k(x－2)<f(x)－g(x)对任意的x>2恒成立，求k的最大值.

21.(本小题满分12分)

网上订外卖已经成为人们日常生活中不可或缺的一部分. M外卖平台（以下简称M外卖）为了解其在全国各城市的业务发展情况，随机抽取了100个城市，调查了M外卖在今年2月份的订单情况，并制成如下频率分布表.

（1）由频率分布表可以认为，今年2月份M外卖在全国各城市的订单数（单位：万件）近似地服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表），为样本标准差，它的值已求出，约为3.64，现把频率视为概率，解决下列问题：

①从全国各城市中随机抽取6个城市，记今年2月份M外卖订单数Z在区间内的城市数为，求的数学期望（取整数）；

②M外卖决定在该月订单数低于7万件的城市开展“订外卖，抢红包”的营销活动来提升业绩，据统计，开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平，现从全国2月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市开展营销活动，若每接一件外卖订单平均可获纯利润5元，但每件外卖订单平均需送出红包2元，则M外卖在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元？

（2）现从全国开展M外卖业务的所有城市中随机抽取100个城市，若抽到K个城市的M外卖订单数在区间内的可能性最大，试求整数k的值.

参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.

请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.

22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

曲线的参数方程为，以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，直线的方程为．

求出直角坐标系中l的方程和曲线C的普通方程；

曲线上有一个动点，求到的最小距离及此时的坐标．

23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数
当时，求不等式的解集；
若不等式对任意实数x及恒成立，求实数m的取值范围．