2023年浙江省金华市婺城区中考二模数学试题（含解析）

2023年浙江省金华市婺城区中考二模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列实数中，最小的数是（    ）

A． B．5 C． D．1

2．根据第七次人口普查数据，金华市常住人口约为人，将数用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

3．如图所示的几何体的俯视图是（    ）  

A． B． C． D．

4．线段首尾顺次相接组成三角形，若，则的长度可以是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

5．如图，一副三角板拼成如图所示图形，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

6．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是 （    ）．

A． B． C．且 D．且

7．某校运动会前夕，要选60名身高基本相同的女同学组成表演方阵，在这个问题中，最值得关注的是该校所有女生身高的（    ）

A．方差 B．众数 C．平均数 D．中位数

8．《孙子算经》中有道“共车”问题，其大政意思是：今有若干人乘车，若每辆车坐4人，恰好剩余1辆车无人坐；若每辆车坐2人，最终剩余8人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果设有x辆车，那么可列方程为（    ）

A． B． C． D．

9．2023年央视兔年春晚国朝舞剧《只此青绿》引人入胜，图1是舞者“青绿腰”动作，引得观众争相模仿．舞者上半身长为m，下半身长为n，下半身与水平面夹角为，与上半身夹角为120度（即）如图2，则此时舞者的铅直高度的长为（　　）

A．  B．

C．  D．

10．在平面直角坐标系中，设二次函数，（a，b是实数，）的最小值分别为m和n，则（　　）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则，

二、填空题

11．在函数中，自变量的取值范围是___________．

12．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则______．

13．小明的卷子夹中放了大小相同的试卷共15张，其中语文8张、数学5张、英语2张，则随机抽出一张试卷为数学试卷的概率为____________．

14．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取、的中点D、E，连结，过点A作于点F，将分割后拼接成矩形．若，，则矩形的面积为______．

15．如图，是的直径，C是上一点，点D是弧的中点，于点E，交于点F，已知，的半径为2，则的长为______．

16．一工具箱如图1所示，其与手柄连结的铰链部分示意图如图2.箱体边缘线EF和中轴线垂直，工具箱在开启过程中，手柄D点沿下降，铰链的长度不变，等边三角形零件（）绕点C转动．当手柄D点位于最高点时（如图3），箱体处于闭合状态，的顶点A落在上，，；当手柄D点位于最低点时（如图4），点D与点E重合，箱体处于完全打开状态，．若边长为，请你帮安装师傅确定点C的位置：点C到的距离为______，到的距离为______．

三、解答题

17．化简：.

18．解不等式组：

19．如图，已知点D在射线上，平分与，求证．小明的证明过程如下：

小明的证明是否正确？若正确，请在框内打“√”，若错误，请写出你的证明过程．

20．如图，一次函数的图像与双曲线在第一象限交于点，在第三象限交于点B．

(1)求反比例函数的解析式；

(2)点P为x轴上的一点，连接，若，求点P的坐标．

21．如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个半径为2米的圆后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下：

（1）当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近　 　（结果精确到0.1）

（2）若以小石子所落的有效区域为总数（即m+n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在　 　附近（结果精确到0.1）；

（3）请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留π）

22．请阅读以下材料并完成相应的任务．17世纪德国著名天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较长部分与整体长度之比等于较短部分与较长部分的长度之比（如图①）即，其比值为．

已知顶角为36°的等腰三角形是黄金三角形的一种；当底角被平分时，形成两个较小的等腰三角形，这两个三角形之一相似于原三角形，而另一个三角形可用于产生螺旋形曲线（如图②）．

任务：

(1)如图③，在圆内接正十边形中，AB是正十边形的一条边，M是的平分线与半径OA的交点．若，求正十边形边长AB的长度；

(2)在（1）的条件下，利用图③进一步探究，请你写出与黄金比之间的关系，并说明理由．

23．如图所示，为过山车的一部分轨道，它可以看成一段拋物线．其中米，米（轨道厚度忽略不计）．

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)在轨道距离地面米处有两个位置和，当过山车运动到处时，平行于地面向前运动了1米至点，又进入下坡段（接口处轨道忽略不计）．已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，在到的运动过程中，当过山车距地面4米时，它离出发点的水平距离最远有多远？

(3)现需要在轨道下坡段进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直坚直支架、、、，且要求．已知这种材料的价格是8000元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少元？

24．如图，在矩形中，，O是对角线的交点，点P是线段上的动点，直线交直线于点E，交于点Q，连接，在直线上取点F，使（点F不与点C重合）．

(1)当点D是线段的中点时，求的值．

(2)若点F与点E重合时，，求的长．

(3)已知．在点P的移动过程中，是否存在某一位置，使得FQ与的某一边平行？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．

参考答案：

1．C

【分析】根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小进行判断即可．

【详解】解：根据题意得，

∴最小的数为，

故选：C．

【点睛】本题考查了有理数的大小比较，熟知正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小是解本题的关键．

2．C

【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．据此可得出结果．

【详解】解：，

故选：C．

【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．正确确定的值以及的值是本题的关键．

3．B

【分析】根据俯视图的概念逐一判断即可得．

【详解】解：图中几何体的俯视图如图所示：

故答案为：B．

【点睛】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是掌握常见几何体的三视图．

4．A

【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边只差小于第三边，即可得出c的取值范围．

【详解】解：∵，

∴，

即：，

∴c的长度可能为3．

故选：A

【点睛】本题考查三角形的三边和关系，属于基础题，熟练掌握三角形三边关系，得出第三边的取值范围是解题的关键．

5．A

【分析】根据一幅三角板各个角的度数，结合三角形的内角和定理，即可求出答案．

【详解】解：由题意，得：，

∴；

故选A．

【点睛】本题考查了角的和差运算．熟记一幅三角板中各个角的度数是解题的关键．

6．C

【分析】关于x的一元二次方程有实数根，则，且，求出k的取值范围即可．

【详解】关于x的一元二次方程有实数根，

则，且，

∴，

解得：且，

故选：C．

【点睛】本题是对一元二次方程的考查，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解决本题的关键．

7．B

【分析】根据方差、众数、平均数、中位数所代表的意义，即可判定．

【详解】解：在这个问题中，最值得关注的是队伍的整齐，身高必须差不多，

故应该关注该校所有女生身高的众数，

故选：B．

【点睛】本题考查了方差、众数、平均数、中位数所代表的意义，平均数说明的是整体的平均水平；众数说明的是数据中的多数情况；中位数说明的是数据中的中等水平；方差是反应一组数据波动大小的量．

8．A

【分析】设有x辆车，根据每辆车坐4人，恰好剩余1辆车无人坐可知一共有人，由每辆车坐2人，最终剩余8人无车可乘可知一共有人，由此列出方程即可．

【详解】解：设有x辆车，

由题意得，，

故选A．

【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．

9．B

【分析】过点B作于点E，作于点F，证明四边形为矩形，得出，，求出，然后根据三角函数分别求出，，即可得出答案．

【详解】解：过点B作于点E，作于点F，如图所示：

∵，

∴四边形为矩形，

∴，，

∵，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∴，

在中，，

∴．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，三行函数的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角函数的定义，准确计算．

10．B

【分析】分别求出，，由题意可得，且，即可得，从而求出．

【详解】解：函数和函数的最小值分别为和，

，，

当，

，

，

或，

函数和函数都有最小值，

，

，

，．

同理判断及其他选项，可知其他选项都不正确，

故选：B．

【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握二次函数对称轴、最大（小）值的求法是解题的关键．

11．

【分析】根据算术平方根的非负性即可完成．

【详解】解：由题意得，

∴

故答案为：．

【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，关键是掌握算术平方根的非负性．

12．

【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．

【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，

∴，

解得：；

故答案为：．

【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．

13．

【分析】利用概率公式计算即可．

【详解】解：∵试卷共15张，其中语文8张、数学5张、英语2张，

∴随机抽出一张试卷为数学试卷的概率为，

故答案为：

【点睛】此题考查了简单概率的求法，熟练掌握概率公式是解题的关键．

14．

【分析】通过证明，求出以及即可解决问题．

【详解】解：由题意，，

在矩形中，，

∵，

∴，

∵点D为的中点，

∴，

又∵，

∴

∴，

同理可得，

∴，

∴，

∴矩形的面积为，

故答案为：．

【点睛】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型，准确识图，掌握矩形的性质和全等三角形的判定和性质是解题关键．

15．/

【分析】延长交于点G，连接、，先由同弧或等弧所对的圆周角相等得，得，由直径所对的圆周角等于得，勾股定理得，则，再由勾股定理求出，则，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

【详解】解：延长交于点G，连接、，如图所示：

∵点D是弧的中点，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵是的直径，的半径为2，

∴，

∴，，

∴，

∵

∴，

∴；

即：，

∵，

∴，

∴，

设，则，

在中，由勾股定理得：

，

解得：，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了圆周角定理的推论、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．

16．     3    

【分析】如图3，设点C到MN的距离为，过点作于点，根据四边形的内角和及邻补角定义求出，如图4，过点作于点，再根据勾股定理即可．

【详解】解：如图3，设点C到MN的距离为，过点作于点，

，，，

，即，

是等边三角形，点C到EF的距离为，

，

在四边形中，，

，

，

如图4，过点作于点，则

在中，，

，

解得：舍去，

点C到EF的距离为，到MN的距离为，

故答案为：3；．

【点睛】本题考查了勾股定理，四边形的内角和及邻补角定义，解题的关键是弄清图3与图4之间的联系．

17．1

【分析】根据特殊角的三角函数值，二次根式的性质以及零指数幂的定义计算即可．

【详解】解：

．

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的性质以及零指数幂，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．

18．

【分析】根据不等式的解法解不等式①②，得到两个解集的公共部分即是不等式组的解集．

【详解】解：解不等式①得：

解不等式②得：

∴不等式组的解是

【点睛】本题考查了一元一次不等式组解集的求法，其关键就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．

19．小明的证明不正确；正确的证明见解析

【分析】由平分，证明，再由邻补角，推出，根据可证明，即可证明．

【详解】解：小明利用的是，是不能证明与全等，故小明的证明不正确；

正确的证明如下，

∵平分，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．

20．(1)该反比例函数的解析式为

(2)点P的坐标为或

【分析】对于（1），将点A的坐标代入一次函数关系式，求出坐标，再将点A的坐标代入，即可得出答案；

对于（2），先设直线与轴交于点，点的坐标为，联立两个函数关系式求出点B的坐标，再求出点C的坐标，然后表示出，根据列出方程，求出解即可．

【详解】（1）点在一次函数的图像上，

，则，把点代入，得，

，

该反比例函数的解析式为；

（2）设直线与轴交于点，点的坐标为．

令解得（舍去），

点B的坐标为，

在中，令，则，得，

点，

，

，，

又，，

解得，，

点P的坐标为或．

【点睛】这是一道关于一次函数和反比例函数的综合问题，考查了求反比例函数关系式，求点的坐标，分割法求三角形的面积等，将三角形的面积转化为是解题的关键．

21．（1）0.7；（2）0.4；（3）10π.

【分析】（1）根据提供的m和n的值，计算m：n后即可确定二者的比值逐渐接近的值；

（2）大量试验时，频率可估计概率；

（3）利用概率，求出圆的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积．

【详解】解：（1）20÷29≈0.69；

59÷91≈0.65；

123÷176≈0.70，

…

当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近0.7；

（2）20÷50=0.4；

59÷150≈0.39；

123÷300≈0.41

∴随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.4，

（3）设封闭图形ABCD的面积为a，根据题意得：，

解得：a=10π，

∴整个封闭图形ABCD的面积为10π平方米.

【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．

22．(1)

(2)是黄金比的一半，理由见解析

【分析】（1）由题意易得，则可得，，然后可得，进而可得，然后问题可求解；

（2）延长AO交于点P，连接PB，由题意可得，则有，然后可根据三角函数进行求解．

【详解】（1）解：∵正十边形的中心角为36°，

∴，

∵，

∴，

∵平分，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴，即，

∴，

∴，解得（负值已舍去），

∵，

∴；

（2）解：是黄金比的一半；

理由如下：如图，延长交于点P，连接，

∵，

∴，

∵是的直径，，

∴，

∴，即．

∴是黄金比的一半．

【点睛】本题主要考查黄金分割比、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握黄金分割比、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．

23．(1)

(2)11米

(3)当米，米时造价最低，最低造价为64000元

【分析】（1）由题意可知：点E为抛物线的顶点，且点E的坐标为，于是可设抛物线的解析式为，然后把点F的坐标代入求出a即可；

（2）把代入抛物线，通过解方程求出点P、G的坐标，进而可得的长，即求得抛物线由抛物线向右平移个单位，求得，令，进一步计算即可求解；

（3）设OA=m，则OB=3m，再利用二次函数的性质求解即可．

【详解】（1）解：由图象可知，顶点E的坐标为，

设抛物线解析式为，

把代入，得：，

∴抛物线的函数关系式为：；

（2）解：当时，，

解得：，

∴，，

∴，

∵抛物线的形状与抛物线完全相同，

∴抛物线由抛物线向右平移个单位，

∴抛物线为：，

令，则，解得：（舍），

∴离出发点的水平距离最远为11米；

（3）解：设OA=m，则OB=3m，，，

∴

，

当时，总长度最短，最短为8，

（元）

∴当米，米时造价最低，最低造价为64000元．

【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质、正确理解题意是解题的关键．

24．(1)

(2)

(3)或或或或

【分析】（1）先由矩形的性质得到，再证明，得到，又点D是线段的中点时，得到，证明，得到，则；

（2）先根据题意得到，则，利用勾股定理得到，同理可得，利用相似三角形的性质得到，则；

（3）分图3-1，图3-2，图3-3，图3-4，图3-5，五种情况讨论求解即可．

【详解】（1）解：∵四边形是矩形，O是对角线的交点，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵点D是线段的中点时，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（2）解：∵，

∴，

∴，

∴，

同理可得，

∴，，

∴，

∴；

（3）解：设，则

如图3-1所示，当时，则，

 ∵，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

同理可得，

∴，即，

解得，

经检验是原方程的解，

∴；

如图3-2所示，当时，过点F作交延长线于H，

∴，

在中，，

∴，  

又∵，

∴，

∴，即，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，即，

∴，

同理可得，

∴，即，

解得，

经检验是原方程的解，

∴；

如图3-3所示，当时，

同理可得是等腰直角三角形，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

解得，

经检验是原方程的解，

∴；

如图3-4所示，当时，

∵，

∴，

∴

∴，

∵，

∴，  

又∵，

∴，

∴，

∴，

同理可得，  

∴，即，

∴，

同理可得，

∴，即，

解得，

经检验，是原方程的解，

∴；

如图3-5所示，当点P与点B重合时，此时点Q、点E都与点D重合，此时满足，

∴；

综上所述，的长为或或或或．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．