2023年四川省宜宾市南溪区中考数学二模试卷（含解析）

2023年四川省宜宾市南溪区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是一个由个完全相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  一组数据：，，，，的中位数和众数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

4.  天安门广场是当今世界上最大的城市广场，面积达 平方米，将 用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在▱中，，于点，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  为应对市场对新冠疫苗越来越大的需求，某大型疫苗生产企业在更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产万份疫苗，现在生产万份疫苗所需的时间比更新技术前生产万份疫苗所需时间少用天，设现在每天生产万份，据题意可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

9.  已知点、是以为直径的半圆的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知、是关于的方程的根，则代数式的值为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  若二次函数的图象过、、三点，则、、的大小关系正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，正方形内一点，满足为正三角形，直线交于点，过点的直线，交于点，交于点以下结论：
；；；
其中正确的有(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.  因式分解： ______ ．

14.  不等式组的负整数解是______．

15.  如图，在平行四边形中，点在上，，若与相交于点，，则的长为______．

16.  如果一个三角形的三边长分别是，，，则化简的结果是______．

17.  在直线上依次摆着七个正方形如图，已知斜放置的三个正方形的面积分别为，，，正放置的四个正方形的面积是，，，，则 ______ ．

 

18.  如图，一块含有角的直角三角板的直角顶点与坐标原点重合，的顶点在反比例函数的图象上，在反比例函数的图象上，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算或化简：


 

20.  本小题分
已知：如图，点是线段的中点，，．
求证：．

21.  本小题分
年春节前夕“新型冠状病毒”爆发疫情就是命令，防控就是使命，全国各地驰援武汉的医护工作者，践行医者仁心的使命与担当，舍小家，为大家，用自己的专业知识与血肉之躯构筑起全社会抗击疫情的钢铁长城如图两幅图是月日当天全国部分省市驰援武汉医护工作者的人数统计图不完整．
请解答下列问题：
上述省市月日当天驰援武汉的医护工作者的总人数为______ 人；
请将图的条形统计图补充完整；
请求出图的扇形统计图中“山西”所对应扇形的圆心角的度数；
本次河北驰援武汉的医护工作者中，有人报名去重症区，王医生和李医生就在其中，若从报名的人中随机安排人，求同时安排王医生和李医生的概率．
 

22.  本小题分
在一次课外活动中，甲、乙两位同学测量公园中孔子塑像的高度，他们分别在，两处用高度为的测角仪测得塑像顶部的仰角分别为，，两人间的水平距离为，求塑像的高度结果保留根号
 

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与，轴交于点，，与反比例函数的图象交于点，，轴于点，，，．
求一次函数与反比例函数的解析式；
根据图象直接写出当且时的取值范围．

24.  本小题分
如图，为的直径，、是上的两点，延长至点，连接，．
求证：是的切线．
若，，求的半径．

 

25.  本小题分
如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线，是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为．
求抛物线的表达式；
求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
过点向轴作垂线如图，垂足为点，是否存在点，使与相似？若存在，请求出点横坐标的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的平方根是：
．
故选：．
根据平方根的含义和求法，可得的平方根是：，据此解答即可．
此题主要考查了平方根，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
 

2.【答案】 

【解析】解：该组合体的主视图如下：

故选：．
根据简单组合体的三视图的画法画出其主视图即可．
本题考查简单组合体的主视图，理解主视图的意义，画出主视图的形状是正确判断的前提．
 

3.【答案】 

【解析】解：将数据按从小到大排列：，，，，
其中数据出现了次，出现的次数最多，为众数；处在第位，为中位数．
所以这组数据的众数是，中位数是．
故选：．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这些概念掌握不清楚而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
 

4.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的性质得出，证出，由直角三角形的性质可求出答案．
本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
根据幂的乘方底数不变指数相乘，同底数幂的除法底数不变指数相减，合并同类项系数相加字母及指数不变，同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．
【解答】
解：幂的乘方底数不变指数相乘，即故A正确；
B.同底数幂的除法底数不变指数相减，即故B错误；
C.合并同类项系数相加字母及指数不变，即故C错误；
D.同底数幂的乘法底数不变指数相加，即故D错误；
故选A．  

7.【答案】 

【解析】解：更新技术后平均每天比更新技术前多生产万份疫苗，且现在每天生产万份疫苗，
更新技术前每天生产万份疫苗．
依题意得：．
故选：．
根据更新技术前后工作效率间的关系，可得出更新技术前每天生产万份疫苗，利用工作时间工作总量工作效率，结合现在生产万份疫苗所需的时间比更新技术前生产万份疫苗所需时间少用天，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意得且，
解得且．
故选：．
根据判别式的意义得到且，然后解不等式即可．
此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根；也考查了因式分解法解一元二次方程．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形的面积，难度一般．连接、，根据，是以为直径的半圆周的三等分点，可得，、是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形的面积求解即可．
【解答】
解：连接、，

，是以为直径的半圆周的三等分点，
，，
设的半径为，
弧的长为，
，
解得：，
又，
、是等边三角形，
，
，
，
．  

10.【答案】 

【解析】解：、是关于的方程的根，
，，



，
故选：．
根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系得出，，将原式化简求值即可．
题目主要考查一元二次方程的根及根与系数的关系，求代数式的值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：二次函数的对称轴为直线，
时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，
，
，
与时的函数值相等，，
，
与时的函数值相等，
，
，
故选：．
根据函数的对称轴为直线，时，随的增大而减小，时，随的增大而增大进行判断，再根据二次函数的对称性确定出，．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握利用了二次函数的增减性与对称性是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：为正三角形，
，
，
，
，
，
，故正确；
过点作，则，
，
，
又，
，
在和中，
，
≌，
，
为正三角形，
点在的垂直平分线上，
根据平行线分线段成比例定理，点是的中点，
，
，故正确；
，，
，
，
，
过点作于，过点作于，
则，，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，故正确；
，故错误．
综上所述，正确的结论是．
故选：．
根据等边三角形的性质求出，然后求出，再根据等腰三角形的性质求出，然后求出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，判断出正确，过点作，可得，根据等角的余角相等求出，再利用“角角边”证明和，然后根据全等三角形对应边相等可得，再根据等边三角形的性质，点是的中点，从而得到，判断出正确；再求出，过点作于，过点作于，解直角三角形分别用、表示出，可以得到，再表示出，即可判定正确；设，表示出、，然后求出的值，判断出错误．
本题考查了四边形综合题型，主要利用了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判断与性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形与等腰直角三角形是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
先提公因式，再用平方差公式分解因式即可．
本题主要考查了提公因式法与公式法，掌握是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
所以其负整数解为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：在▱中，
，
，
：：：，
，
∽，
，
，
．
故答案为：．
根据平行四边形的性质得到，由已知条件得到：：：，证明∽，得到，于是得到结论．
本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了三角形三边关系以及算术平方根的非负性，正确得出的取值范围是解题关键．
直接利用三角形三边关系得出的取值范围，进而化简得出答案．
【解答】
解：一个三角形的三边分别是，，，
，
，，




．
故答案为：．  

17.【答案】 

【解析】解：观察发现，

，，
，，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
即，
同理．
则．
故答案为：．
运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．
本题主要考查了全等三角形的判定以及性质、勾股定理，解答此题的关键是注意发现两个小正方形的面积和正好是之间的正方形的面积．
 

18.【答案】 

【解析】解：过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，
在中，，，
，
，，
，
又，
∽，
，
顶点在反比例函数的图象上，
，
，
，
又点在第二象限，
，
故答案为：．
根据特殊锐角的三角函数值可得，再利用相似三角形的性质，可得，由反比例函数的几何意义可得，进而得出，再由反比例函数的几何意义可得出的值．
本题考查反比例函数的几何意义，特殊锐角的三角函数值，相似三角形的性质等知识，理解相似三角形的性质和锐角三角函数之间的关系是解决问题的关键．
 

19.【答案】解：原式

；
原式


． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案；
首先利用分式的混合运算法则进而化简得出答案．
此题主要考查了分式的混合运算以及实数运算，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
 

20.【答案】证明：点是线段的中点，
，
，，
，，
在与中，
，
≌，
． 

【解析】根据线段中点定义可得，再利用平行线的性质和定理判定≌，再根据全等三角形的性质即可求解．
本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、直角三角形还有注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
 

21.【答案】 

【解析】解：月日当天驰援武汉的医护工作者的总人数为人，
故答案为：；
山西的人数是人，补图如下：

“山西”所对应扇形的圆心角的度数是；
这名医护工作者分别用，，，，表示，其中王医生用表示，李医生用表示，根据题意画图如下：

共有种等情况数，其中同时安排王医生和李医生的有种，
则同时安排王医生和李医生的概率是．
用辽宁队的数据求出总人数即可；求出山西的人数，画出条形图即可；
根据圆心角百分比，可得结论；
画出树状图解决问题．
本题考查列表法与树状图，扇形统计图，条形统计图等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
 

22.【答案】解：，
，
在中，
，
，
在中，
，，
，
则．
即．
．
由题意知：．
米，
答：塑像的高为米 

【解析】在和中，求出公共边的长度，然后可求得．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
 

23.【答案】解：，
．
，
，
．
将点、代入，
，解得：
一次函数的解析式为．
，，
．
轴于点，
，
，
点的坐标为．
将点代入，
，解得：，
反比例函数的解析式为．
观察函数图象可知，当时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
当且时的取值范围为． 

【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、解直角三角形以及待定系数法求一次反比例函数解析式，解题的关键是：通过解直角三角形找出点、的坐标；根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式的解集．
由的长度可得出点的坐标，结合可得出的长度，进而得出点的坐标，根据点、的坐标利用待定系数法，即可求出一次函数的解析式；由、的长度可得出的长度，结合可得出的长度，进而得出点的坐标，根据点的坐标利用待定系数法，即可求出反比例函数的解析式；
观察函数图象的上下位置关系，即可得出当且时的取值范围．
 

24.【答案】证明：连接，

为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：，，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
．
为的直径，
的半径为． 

【解析】连接，由圆周角定理得出，证出，由切线的判定可得出结论；
证明∽，由相似三角形的性质得出，由比例线段求出和的长，可求出的长，则可得出答案．
本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：当时，，
，
当时，，
，
，
对称轴为直线，
，
设抛物线的表达式：，
，
，
抛物线的表达式为：；
如图，

作于，交于，
，，
，
，
，
，
当时，，
当时，，
；
存在．
设点坐标，，
则，，
在中，根据勾股定理得：，
∽，
或，
即或，
解得或．
当或时，存在点，使得∽． 

【解析】先求得，，三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；
作于，交于，根据点和点坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出的函数关系式，进一步求得结果；
用含的式子表示出与两点的坐标，根据相似三角形的性质列出比例式，进而求得点的坐标．
本题考查了二次函数及其图象性质，勾股定理，相似三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和相似三角形的性质．