【期末满分攻略】2022-2023学年北师大版八年级数学下册讲学案-专题20 三角形中位线综合运用

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解题思路
考点1：三角形中位线概念：
三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
如图：DE是△ABC的中位线。
符号语言
说明：
（1）一个三角形有3条中位线
（2）定义有双重性：即是性质，也是判定
（3）注意与三角形中线的区别：要把三角形的中位线与三角形的中线区分开．三角形中线是连结一顶点和它对边的中点，而三角形中位线是连结三角形两边中点的并且与底边平行且等于底边一半的的线段
考点2：三角形中位线定理
定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
说明：（1）作用：证明平行关系，倍分关系；转移线段，转移角。
（2）常用辅助线：见中点，构造中位线。
（3）分离基本图形：全等，平行四边形
考点3：证明（转化思想，常用辅助线）
证明1：
如图，延 长DE 到 F，使EF=DE ，连 结CF.-------（中线加倍，构造全等）
∵DE=EF ∠AED=∠CEF AE=EC
∴△ADE ≌ △CFE（SAS）
∴AD=FC ∠A=∠ECF
∴AB∥FC
又∵AD=DB
∴BD∥CF，BD=CF
∴四边形BCFD是平行四边形
∴DE∥BC 且 DE=1/2BC
证明2：
如图，延 长DE 到 F，使EF=DE ，连 结CF、DC、AF
∵AE=CE DE=EF
∴四边形ADCF为平行四边形
∴AD∥CF,AD=CF
∵AD=BD
∴BD∥CF,BD=CF
∴四边形BCFD为平行四边形
∴BC∥DF,BC=DF
∴DE∥BC 且 DE=1/2BC
考点4：中位线的应用
（1）中点三角形
定义：中点三角形就是把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形.
性质：（1）这个新三角形的各个边长分别是原来三角形三边长的一半且分别平行，角的度数与原三角形分别相等，4个三角形都全等
（2）中点三角形周长是原三角形的周长一半。
（3）中点三角形面积是原三角形面积的四分之一。
补充：中点三角形与原三角形不仅相似，而且位似。
（2）中点四边形
定义：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。中点四边形的形状与原四边形的对角线的数量和位置关系有关。
性质（1）不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。
证明：连接AC,BD-----------（连对角线，构造中位线）
∵E,H,G,F是边AB,AD,DC,BC中点
∴EH,GF是△ABD,BCD的中位线
∴EH=1/2BD,GF=1/2BD,EH//BD,GF//BD
∴EH平行等于GF
∴EFGH是平行四边形
（2）中的四边形周长是原四边形对角线之和。
（3）中点四边形面积是原四边形面积的二分之一
典例分析
【典例1】（2022秋•海口期末）如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，若DE＝4，则BC的长等于（ ）
A．6B．8C．10D．12
【变式1-1】（2022秋•叙州区期末）如图，BD是△ABC的中线，E、F分别是BD，BC的中点，连结EF．若AD＝6，则EF的长为（ ）
A．4B．3C．6D．5
【变式1-2】（2022秋•安岳县期末）如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若∠CFE＝55°，则∠ADE的度数为（ ）
A．65°B．60°C．55°D．50°
【变式1-3】（2022秋•栖霞市期末）如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠CBD＝30°，∠ADB＝100°，则∠PFE的度数是（ ）
A．15°B．25°C．30°D．35°
【变式1-4】（2022秋•平昌县期末）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，点F在DE上，且AF⊥CF，若AC＝3，BC＝6，则DF的长为（ ）
A．1.5B．1C．0.5D．2
【典例2】（2023•泰山区校级一模）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的角平分线，AE⊥CE于点E，连接DE．若AB＝7，DE＝1，则AC的长度是（ ）
A．4B．4.5C．5D．5.5
【变式2-1】（2022秋•任城区期末）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点，若AB＝10，AC＝6，则EF的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式2-2】（2022•任城区校级三模）如图，在△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AC＝12，MN＝2，则AB的长为（ ）
A．4B．6C．7D．8
【变式2-3】（2022春•横县期中）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AC＝9，DM＝2，则AB等于（ ）
A．4B．5C．6D．8
【典例3】（2023•郧西县模拟）如图，在四边形ABCD中，点P是边CD上的动点，点Q是边BC上的定点，连接AP，PQ，E，F分别是AP，PQ的中点，连接EF．点P在由C到D运动过程中，线段EF的长度（ ）
A．保持不变B．逐渐变小
C．先变大，再变小D．逐渐变大
【变式3】（2022秋•南关区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点，点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（ ）
A．2B．2.3C．4D．7
【典例4】（2022秋•莱阳市期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．若∠ACB＝90°，AC＝12，DE＝4．
（1）求证：DE＝BF；
（2）求四边形DEFB的周长．
【变式4-1】（2022秋•兴隆县期末）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE∥AB交AC于点E，DP∥AC交AB于点P．求证：△BDP≌△DCE．
【变式4-2】（2022春•江油市期中）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm．
（1）求证：DE＝BF；
（2）求四边形DEFB的周长．
【变式4-3】（2022春•城固县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，连接CD，∠ADC+∠DCB＝90°，AE平分∠CAB交CD于点E．
（1）求证：AE垂直平分CD；
（2）若AC＝6，BC＝8，点F为BC的中点，连接EF，求EF的长．
课后巩固
1．（2022秋•泰山区校级期末）如图，△ABC中，AB＝9cm，AC＝5cm，点E是BC的中点，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，线段DE的长为（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
2．（2021秋•芝罘区期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD，AE分别是角平分线和中线，过点C作CF⊥AD于点F，连接EF，则线段EF的长为（ ）
A．1B．2C．4D．
3．（2022•黑龙江模拟）如图，在△ABC中，CE是中线，CD是角平分线，AF⊥CD交CD延长线于点F，AC＝7，BC＝4，则EF的长为（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．3
4．（2022春•盐城月考）如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是∠BAC的角平分线，AE是BC边上的中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（ ）
A．0.5B．1C．3.5D．7
5．（2020•雁塔区校级模拟）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CF⊥AD于F，连接EF，则线段EF的长为（ ）
A．B．2C．D．3
6．（2020春•船营区校级月考）如图，△ABC周长20，D，E在边BC上，BN和CM分别是∠ABC和∠ACB的平分线，BN⊥AE，CM⊥AD，若BC＝8，则MN的长为（ ）
A．1B．2C．3D．3
7．（2019秋•碑林区校级月考）如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC中点，连接DE，则DE的长是（ ）
A．1B．1.5C．2D．4
8．（2022秋•二道区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝13，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，且BF＝5，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．（2022秋•石景山区校级期末）如图，DE是△ABC的中位线，若△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为（ ）
A．4B．3C．2D．1
10．（2022秋•安岳县期末）如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若∠CFE＝55°，则∠ADE的度数为（ ）
A．65°B．60°C．55°D．50°
11．（2022秋•平昌县期末）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，点F在DE上，且AF⊥CF，若AC＝3，BC＝6，则DF的长为（ ）
A．1.5B．1C．0.5D．2
12．（2022•南海区校级模拟）如图，已知△ABC的面积为1，连接其三边中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形的三边中点构成第3个三角形，以此类推，则第2021个三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
13．（2022春•东平县校级月考）如图，在ABC中，AB＝13，BC＝12，D、E分别是AB、BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么△ACD的周长为（ ）
A．25B．18.5C．17.5D．18
14．（2022秋•南关区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点，点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（ ）
A．2B．2.3C．4D．7
15．（2022秋•中宁县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BC．连接DM、DN、MN．若AB＝6，则DN的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
16．（2022•丛台区校级模拟）数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明．嘉嘉和淇淇在学习思考后各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（ ）
A．嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以
B．嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以
C．嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以
D．淇淇的辅助线作法可以，嘉嘉的不可以
17．（2022春•雨花区校级月考）如图，四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CB上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不变
D．线段EF的长与点P的位置有关
18．（2021秋•宝塔区校级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于E，且D、E分别是AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝CE，连接DE，EF．
（1）求∠ABC的度数；
（2）若DE＝2，求△CEF的面积．
19．（2022秋•郸城县期中）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
（1）若AB＝10，CD＝24，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长．
（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．
20．（2022秋•安溪县期中）在四边形ABCD中，AB＝CD，点E，F分别是边AD，BC的中点．
（1）如图1，点P为对角线BD的中点，连接PE，PF，若∠PEF＝26°，则∠EPF＝ 度；
（2）如图2，直线EF分别与BA，CD的延长线交于点M，N．求证：∠BMF＝∠CNF．
21．（2022春•大连期中）如图，在△ABC中，点D为AC中点，延长CA至E，使AE＝BC，连接BE，点F为BE中点，连接FD并延长交BC延长线于G．
（1）求证：CD＝CG；
（2）若∠ACB＝60°，BC＝6，求FD的长．
22．（2022春•城固县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，连接CD，∠ADC+∠DCB＝90°，AE平分∠CAB交CD于点E．
（1）求证：AE垂直平分CD；
（2）若AC＝6，BC＝8，点F为BC的中点，连接EF，求EF的长．
23．（2022春•泗洪县期中）如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝10，求EF的长．
24．（2022春•宣化区期末）在证明定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半“时，小明给出如下部分证明过程．
已知：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点．
求证： ．
证明：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，…
（1）补全求证：
（2）请根据添加的辅助线，写出完整的证明过程．
25．（2022秋•榆树市期末）【教材呈现】
如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明．
【结论应用】
（1）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F．求证：∠AEN＝∠F．
（2）若（1）中的∠A+∠ABC＝122°，则∠F的大小为 ．
26．（2022春•沈北新区期末）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．
（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）；
（2）如图2，△ABC中，AB＝9，AC＝5，求线段EF的长．
27．（2022春•吉水县期末）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使得AB＝2AD，连接DE，DF，AE，EF，AF于DE交于点O．
（1）证明：AF与DE互相平分；
（2）如果AB＝6，BC＝10，求DO的长．