【期末满分攻略】2022-2023学年北师大版八年级数学下册讲学案-专题13 因式分解（七大类型）

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题型归纳
专题13 因式分解（七大类型）


题型一：因式分解-提公因式
题型二：因式分解-公式法
题型三：因式分解-提公因式+公式法
题型四：因式分解-十字相乘法
题型五：因式分解-分组分解
题型六：因式分解巧用
题型七：材料阅读题-配方法典例分析


【题型一：提公因式】
【典例1】（2022秋•白云区期末）分解因式：
（1）2y+3xy；
（2）2（a+2）+3b（a+2）．
【答案】（1）y（2+3x）；
（2）（a+2）（2+3b）．
【解答】解：（1）原式＝y（2+3x）；
（2）原式＝（a+2）（2+3b）．
【变式1-1】（2022秋•番禺区校级期末）因式分解：
（1）8abc﹣2bc2；
（2）2x（x+y）﹣6（x+y）．
【答案】（1）2bc（4a﹣c）；
（2）2（x+y）（x﹣3）．
【解答】解：（1）8abc﹣2bc2＝2bc（4a﹣c）；
（2）2x（x+y）﹣6（x+y）＝2（x+y）（x﹣3）．
【变式1-2】（2022秋•阳江期末）分解因式：x2﹣4x．
【答案】x（x﹣4）．
【解答】解：x2﹣4x＝x（x﹣4）．
【变式1-3】（2022秋•东城区校级月考）分解因式：y（2a﹣b）+x（b﹣2a）．
【答案】（2a﹣b）（y﹣x）．
【解答】解：原式＝y（2a﹣b）﹣x（2a﹣b）
＝（2a﹣b）（y﹣x）．
【变式1-4】（2022春•都江堰市校级期中）（1）分解因式：a2﹣3a；
（2）分解因式：3x2y﹣6xy2．
【答案】（1）a（a﹣3）；
（2）3xy（x﹣2y）．
【解答】解：（1）a2﹣3a＝a（a﹣3）；
（2）3x2y﹣6xy2＝3xy（x﹣2y）．
【题型二：公式法】
【典例2】（2022秋•南关区校级期末）分解因式：
（1）a2﹣16；
（2）a2﹣4ab+4b2．
【答案】（1）（a+4）（a﹣4）；
（2）（a﹣2b）2．
【解答】解：（1）原式＝（a+4）（a﹣4）；
（2）原式＝（a﹣2b）2．
【变式2-1】（2022•长安区校级开学）分解因式：36（3x+2y）2﹣25（2x﹣y）2．
【答案】7（8x+17y）（4x+y）．
【解答】解：原式＝[6（3x+2y）﹣5（2x﹣y）][6（3x+2y）+5（2x﹣y）]
＝（18x+12y﹣10x+5y）（18x+12y+10x﹣5y）
＝（8x+17y）（28x+7y）
＝7（8x+17y）（4x+y）．
【变式2-2】（2022春•淮安区期末）因式分解：
（1）a2﹣9；
（2）x2﹣4x+4．
【答案】（1）（a+3）（a﹣3）；
（2）（x﹣2）2．
【解答】解：（1）原式＝a2﹣32
＝（a+3）（a﹣3）；
（2）原式＝x2﹣4x+22
＝（x﹣2）2．
【变式2-3】（2022秋•榆树市期末）因式分解：x2﹣4xy+4y2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2．
【变式2-4】（2022•南京模拟）因式分解：
①m2﹣2mn+n2；
②（1+m）2﹣（2﹣m）2．
【答案】（1）（m﹣n）2；
（2）3（2m﹣1）．
【解答】解：（1）原式＝（m﹣n）2；
（2）原式＝[（1+m）﹣（2﹣m）][（1+m）+（2﹣m）]
＝（1+m﹣2+m）（1+m+2﹣m）
＝3（2m﹣1）．
【变式2-5】（2023•未央区校级三模）因式分解：9（m+n）2﹣16（m﹣n）2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝[3（m+n）+4（m﹣n）][3（m+n）﹣4（m﹣n）]＝（7m﹣n）（﹣m+7n）．
【题型三：提公因式+公式法/十字相乘法】
【典例3】（2022秋•洪山区校级期末）因式分解：
（1）x3﹣9x；
（2）x2y+2xy+y．
【答案】（1）x（x+3）（x﹣3）；
（2）y（x+1）2．
【解答】解：（1）x3﹣9x
＝x（x2﹣9）
＝x（x+3）（x﹣3）；
（2）x2y+2xy+y
＝y（x2+2x+1）
＝y（x+1）2．
【变式3-1】（2022秋•梅里斯区期末）因式分解：
（1）x3﹣2x2y+xy2；
（2）﹣a+a3．
【答案】（1）x（x﹣y）2；（2）a（a+1）（a﹣1）．
【解答】解：（1）x3﹣2x2y+xy2
＝x（x2﹣2xy+y2）
＝x（x﹣y）2；
（2）﹣a+a3
＝a（a2﹣1）
＝a（a+1）（a﹣1）．
【变式3-2】（2022秋•鼓楼区校级期末）分解因式：
（1）4a2﹣24ab+36b2；
（2）a2（x﹣y）+4（y﹣x）．
【答案】（1）4（a﹣3b）2；
（2）（x﹣y）（a+2）（a﹣2）．
【解答】解：（1）4a2﹣24ab+36b2
＝4（a2﹣6ab+9b2）
＝4（a﹣3b）2；
（2）a2（x﹣y）+4（y﹣x）
＝a2（x﹣y）﹣4（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣4）
＝（x﹣y）（a+2）（a﹣2）．

【变式3-3】（2022秋•宁阳县期末）因式分解：
（1）ax2﹣ay4；
（2）（a2+1）2﹣4a2．
【解答】解：（1）ax2﹣ay4
＝a（x2﹣y4）
＝a（x+y2）（x﹣y2）；
（2）（a2+1）2﹣4a2
＝（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）
＝（a+1）2（a﹣1）2．
【变式3-4】（2023•襄州区开学）分解因式：
（1）a3﹣25a；
（2）6xy2﹣9x2y﹣y3．
【解答】解：（1）a3﹣25a
＝a（a2﹣25）
＝a（a+5）（a﹣5）；
（2）6xy2﹣9x2y﹣y3
＝﹣y（9x2﹣6xy+y2）
＝﹣y（3x﹣y）2．
【变式3-6】（2022秋•南岳区期末）因式分解：
（1）a2b﹣10ab+25b；
（2）4a2（a﹣b）﹣（a﹣b）．
【解答】解：（1）a2b﹣10ab+25b
＝b（a2﹣10a+25）
＝b（a﹣5）2；
（2）4a2（a﹣b）﹣（a﹣b）
＝（a﹣b）（4a2﹣1）
＝（a﹣b）（2a+1）（2a﹣1）．
【变式3-7】（2022秋•梅里斯区期末）因式分解：
（1）x3﹣2x2y+xy2；
（2）﹣a+a3．
【解答】解：（1）x3﹣2x2y+xy2
＝x（x2﹣2xy+y2）
＝x（x﹣y）2；
（2）﹣a+a3
＝a（a2﹣1）
＝a（a+1）（a﹣1）．
【变式3-8】（2022秋•鼓楼区校级期末）分解因式：
（1）4a2﹣24ab+36b2；
（2）a2（x﹣y）+4（y﹣x）．
【解答】解：（1）4a2﹣24ab+36b2
＝4（a2﹣6ab+9b2）
＝4（a﹣3b）2；
（2）a2（x﹣y）+4（y﹣x）
＝a2（x﹣y）﹣4（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣4）
＝（x﹣y）（a+2）（a﹣2）．
【变式3-9】（2022秋•海门市期末）因式分解：
（1）x3﹣9x；
（2）3x2﹣12xy+12y2．
【解答】解：（1）x3﹣9x
＝x（x2﹣9）
＝x（x+3）（x﹣3）；
（2）3x2﹣12xy+12y2
＝3（x2﹣4xy+4y2）
＝3（x﹣2y）2．
【变式3-10】（2022秋•海门市期末）因式分解：
（1）x3﹣9x；
（2）3x2﹣12xy+12y2．
【答案】（1）x（x+3）（x﹣3）；
（2）3（x﹣2y）2．
【解答】解：（1）x3﹣9x
＝x（x2﹣9）
＝x（x+3）（x﹣3）；
（2）3x2﹣12xy+12y2
＝3（x2﹣4xy+4y2）
＝3（x﹣2y）2．
【题型四：十字相乘法】
【典例4】（2021•北碚区校级开学）分解因式
（1）x2﹣4x﹣12； （2）x2﹣4x﹣5．
（3）﹣2x3﹣6x2y+20xy2． （4） 3x2﹣19x﹣14．
【答案】（1）（x﹣6）（x+2） （2）（x﹣5）（x+1） （3）﹣2x（x+5y）（x﹣2y）
（4）（x﹣7）（3x+2）
【解答】（1）原式＝x2+（﹣6+2）x+（﹣6×2）＝（x﹣6）（x+2）；
（2）原式＝（x﹣5）（x+1）．
（3）原式＝﹣2x（x2+3xy﹣10y2）
＝﹣2x（x+5y）（x﹣2y）．
（1） 原式=（x﹣7）（3x+2）．

【变式4】（2021春•岑溪市期末）分解因式
（1）m2﹣4m﹣5． （2）x2+2x﹣3 （3）x2﹣2x﹣8
【答案】（1）（m﹣5）（m+1） （2）（x+3）（x﹣1） （3）（x﹣4）（x+2）
【解答】（1）原式＝（m﹣5）（m+1）．
（2）原式＝（x+3）（x﹣1）．
（3）原式＝（x﹣4）（x+2）．
【题型五：分组分解法】
【典例5】（2022秋•宛城区期末）【方法阅读】
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式x2﹣4y2+2x+4y．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下：
例1：x2﹣4y2+2x+4y
＝（x2﹣4y2）﹣（2x﹣4y）分成两组
＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）分别分解
＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）提取公因式完成分解
像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．
【数学思考】
（1）关于以上方法中“分组”目的的以下说法中所有正确的序号是 　 　．
①分组后组内能出现公因式；
②分组后组内能运用公式；
③分组后组间能继续分解．
（2）若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？
①x2﹣y2+x+y＝　 　．
②2a+a2﹣2b﹣2ab+b2＝　 　．
【问题解决】
（3）利用分组分解法进行因式分解：4x2+4x﹣y2+1．
【答案】（1）①②③；
（2）①（x2﹣y2）+（x+y），②（a﹣b）（2+a﹣b）；
（3）2x+y+1）（2x﹣y+1）．
【解答】解：（1）根据分组分解法的分组原则可知，分组必须是因式分解先能在组内进行，然后是因式分解在组间进行，
所以①②③均符合题意，
故答案为：①②③；
（2）由分组分解法的分组原则可得，
①x2﹣y2+x+y＝（x2﹣y2）+（x+y），
故答案为：（x2﹣y2）+（x+y），
②2a+a2﹣2b﹣2ab+b2
＝（2a﹣2b）+（a2﹣2ab+b2）
＝2（a﹣b）+（a﹣b）2
＝（a﹣b）（2+a﹣b），
故答案为：（a﹣b）（2+a﹣b）；
（3）4x2+4x﹣y2+1
＝（4x2+4x+1）﹣y2
＝（2x+1）2﹣y2
＝（2x+y+1）（2x﹣y+1）．
＝2m（x﹣1）2．
【变式5-1】（2022秋•徐汇区期末）分解因式：xy+（x+1）（y+1）（xy+1）．
【答案】（xy+x+1）（xy+y+1）．
【解答】解：xy+（x+1）（y+1）（xy+1）
＝xy+（xy+x+y+1）（xy+1）
＝xy+[（xy+1）+（x+y）]（xy+1）
＝（xy+1）2+（x+y）（xy+1）+xy
＝（xy+x+1）（xy+y+1）．
【变式5-2】（2022秋•青浦区校级期末）因式分解：x2+4y﹣1﹣4y2．
【答案】（x﹣2y+1）（x+2y﹣1）．
【解答】解：x2+4y﹣1﹣4y2．
x2﹣（﹣4y+4y2+1）
＝x2﹣（1﹣2y）2
＝（x﹣2y+1）（x+2y﹣1）．
【变式5-3】（2022秋•宝山区期末）分解因式：m2﹣2m+1﹣4n2．
【答案】（m﹣1+2n）（m﹣1﹣2n）．
【解答】解：m2﹣2m+1﹣4n2
＝（m﹣1）2﹣4n2
＝（m﹣1+2n）（m﹣1﹣2n）．
【变式5-4】（2022秋•浦东新区校级期末）分解因式：
（1）m2﹣n2+6n﹣9；
（2）（x+2y）x2+6（x+2y）x﹣7x﹣14y．
【答案】（1）（m﹣n+3）（m+n﹣3）；
（2）（x+2y）（x﹣1）（x+7）．
【解答】解：（1）原式＝m2﹣（n2﹣6n+9）
＝m2﹣（n﹣3）2
＝（m﹣n+3）（m+n﹣3）；
（2）原式＝（x+2y）x2+6（x+2y）x﹣7（x+2y）
＝（x+2y）（x2+6x﹣7）
＝（x+2y）（x﹣1）（x+7）．
【变式5-5】（2022秋•永城市校级期末）分解因式：
①x2﹣6xy+9y2﹣1；
②（a+b）2+（a+b）（a﹣3b）．
【答案】（1）（x﹣3y+1）（x﹣3y﹣1）；
（2）2（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：（1）原式＝（x﹣3y）2﹣1
＝（x﹣3y+1）（x﹣3y﹣1）；
（2）原式＝（a+b）（a+b+a﹣3b）
＝2（a+b）（a﹣b）．
【变式5-6】（2022秋•宝山区校级期末）分解因式：b2﹣4a2﹣1+4a．
【答案】（b+2a﹣1）（b﹣2a+1）．
【解答】解：原式＝b2﹣（4a2+1﹣4a）
＝b2﹣（2a﹣1）2
＝[b+（2a﹣1）][b﹣（2a﹣1）]
＝（b+2a﹣1）（b﹣2a+1）．
【变式5-7】（2021秋•宝山区期末）分解因式：x2+4y2﹣4xy﹣25．
【答案】（x﹣2y+5）（x﹣2y﹣5）．
【解答】解：x2+4y2﹣4xy﹣25
＝x2﹣4xy+4y2﹣25
＝（x2﹣4xy+4y2）﹣25
＝（x﹣2y）2﹣52
＝（x﹣2y+5）（x﹣2y﹣5）．
【变式5-8】（2021秋•普陀区期末）分解因式：a2﹣b2﹣2b﹣1．
【答案】（a﹣b﹣1）（a+b+1）．
【解答】解：a2﹣b2﹣2b﹣1
＝a2﹣（b2+2b+1）
＝a2﹣（b+1）2
＝（a﹣b﹣1）（a+b+1）．
【变式5-9】（2022秋•代县期末）先阅读下列两段材料，再解答下列问题：
（一）例题：分解因式：＝（a+b）2﹣2（a+b）+1．
解：将“a+b”看成整体，设M＝a+b，则原式＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2，再将“M”还原，得原式＝（a+b﹣1）2上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法；
得原式＝（a+b﹣1）2上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法；
（二）常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式，就可以完整的分解了．过程为：
x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x2﹣4y2）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）
这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法．
利用上述数学思想方法解决下列问题：
（1）分解因式：（5a+3b）2﹣（3a+5b）2；
（2）分解因式：x2﹣2x﹣4y﹣4y2．
【答案】（1）16（a+b）（a﹣b）；
（2）（x+2y）（x﹣2y﹣2）．
【解答】解：（1）（5a+3b）2﹣（3a+5b）2
＝[（5a+3b）+（3a+5b）][（5a+3b）﹣（3a+5b）]
＝（5a+3b+3a+5b）（5a+3b﹣3a﹣5b）
＝（8a+8b）（2a﹣2b）
＝16（a+b）（a﹣b）；
（2）x2﹣2x﹣4y﹣4y2
＝x2﹣2x+1﹣1﹣4y﹣4y2
＝（x2﹣2x+1）﹣（1+4y+4y2）
＝（x﹣1）2﹣（1+2y）2
＝[（x﹣1）+（1+2y）][（x﹣1）﹣（1+2y）]
＝（x﹣1+1+2y）（x﹣1﹣1﹣2y）
＝（x+2y）（x﹣2y﹣2）．
【题型六：因式分解的巧用】
【典例6】（2022秋•青县期末）如图，长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b+2a2b2+ab3的值为（　　）

A．2560 B．490 C．70 D．49
【答案】B
【解答】解：∵长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，
∴ab＝10，a+b＝7，
∴a3b+2a2b2+ab3＝ab（a+b）2＝10×72＝490．
故选：B．
【变式6-1】（2022秋•文登区期末）如果多项式x2﹣5x+m可分解为（x+n）（x﹣3），则m，n的值分别为（　　）
A．24，﹣8 B．﹣5，﹣3 C．﹣6，2 D．6，﹣2
【答案】D
【解答】解：∵（x+n）（x﹣3）＝x2﹣3x+nx﹣3n，
又∵多项式x2﹣5x+m可分解为（x+n）（x﹣3），
∴﹣3+n＝﹣5，﹣3n＝m，
解得n＝﹣2，m＝6，
故选：D．
【变式6-2】（2022秋•灵宝市期末）已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a2b+ab2的值是（　　）A
A．﹣6 B．6 C．﹣1 D．1
【答案】A
【解答】解：∵ab＝﹣3，a+b＝2，
∴a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝﹣3×2
＝﹣6，
故选：A．
【变式6-3】（2022秋•韩城市期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x﹣y，a﹣b，2，x2﹣y2，a，x+y，分别对应下列六个字：华，我、爱、美、游、中，现将2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．爱我中华 B．我游中华 C．中华美 D．我爱游
【答案】A
【解答】解：2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）＝2（x2﹣y2）（a﹣b）＝2（x+y）（x﹣y）（a﹣b），
信息中的汉字有：爱、中、华、我．
所以结果呈现的密码信息可能为爱我中华．
故选：A．
【变式6-4】（2022秋•天山区校级期末）已知a﹣b＝6，则a2﹣b2﹣12b+1的值为（　　）
A．36 B．25 C．26 D．37
【答案】D
【解答】解：∵a﹣b＝6，
∴a2﹣b2﹣12b+1
＝（a+b）（a﹣b）﹣12b+1
＝6（a+b）﹣12b+1
＝6a+6b﹣12b+1
＝6（a﹣b）+1
＝6×6+1
＝37．
故选：D．
【变式6-5】（2022秋•大兴区校级期末）若x2﹣mx﹣10＝（x﹣5）（x+n），则nm的值为（　　）
A．﹣6 B．8 C． D．
【答案】B
【解答】解：∵（x﹣5）（x+n）＝x2+（n﹣5）x﹣5n，
又∵x2﹣mx﹣10＝（x﹣5）（x+n），
∴可得：，
解得：，
∴nm＝23＝8．
故选：B．
【变式6-6】（2022秋•如东县期末）已知a+b＝1，ab＝﹣6，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为（　　）
A．57 B．120 C．﹣39 D．﹣150
【答案】D
【解答】解：∵a+b＝1，ab＝﹣6，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝1+24＝25
∴a3b﹣2a2b2+ab3
＝ab（a2﹣2ab+b2）
＝ab（a﹣b）2
＝﹣6×25
＝﹣150，
故选：D．
【典例7】（2022秋•长春期末）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请回答下列问题：
（1）写出图②中所表示的数学等式 　 　；
（2）猜测（a+b+c+d）2＝　 　．
（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c＝12，ab+bc+ca＝48，求a2+b2+c2的值；
（4）在（3）的条件下，若a、b、c分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．

【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）（a+b+c+d）2＝a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd，
故答案为：a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd；
（3）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴122＝2×48+（a2+b2+c2），
∴a2+b2+c2＝144﹣96＝48；
（4）∵a2+b2+c2＝48，ab+ac+bc＝48，
∴a2+b2+c2＝ab+ac+bc，即a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝0，
∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，（a﹣c）2≥0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴该三角形是等边三角形．
【变式7-1】（2022秋•辛集市期末）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．
（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是 　 ；
（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片 　 　张，3号卡片 　 　张；
（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大长方形的面积可以把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是 　 　；
（4）小刚又选取了2张1号卡片，3张2号卡片和7张3号卡片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为 　 ．
【解答】解：（1）这个乘法公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）由如图③可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片2张，3号卡片3张，
故答案为：2，3；
（3）由图③可知矩形面积为（a+2b）•（a+b），所以a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），
故答案为：（a+2b）（a+b）；
（4）长方形的面积为2a2+3b2+7ab＝（2a+b）（a+3b），
∴周长为：2[（2a+b）+（a+3b）]＝6a+8b，
故答案为：6a+8b．
【变式7-2】（2022春•新吴区期中）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．
例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
（1）根据图2，写出一个代数恒等式：　 　．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝8，ab+ac+bc＝25，则a2+b2+c2＝ ．
（3）小红同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+3b）长方形，则x+y+z＝　 　．

【解答】解：（1）图2中大正方形的面积为：（a+b+c）2，
该大正方形的面积还可以表示为：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．
（2）由（1）知：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．
∴（a+b+c）2﹣（2ab+2bc+2ac）＝a2+b2+c2．
82﹣2×25＝a2+b2+c2＝14．
故答案为：14．
（3）∵（2a+b）（a+3b）＝2a2+7ab+3b2．
∴x＝2，y＝3，z＝7．
∴x+y+z＝12．
故答案为：12．
【变式7-3】（2022春•市中区校级期中）【数学实验探索活动】
实验材料现有若干块如图①所示的正方形和长方形硬纸片．
实验目的：
用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径．
例如，选取正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积写出相应的等式有a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
探索问题：
（1）小明想用拼图的方法解释多项式乘法（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么需要两种正方形纸片 　　张，长方形纸片 　　张；
（2）选取正方形、长方形硬纸片共8块可以拼出一个如图③的长方形，计算图③的面积，并写出相应的等式；
（3）试借助拼图的方法，把二次三项式2a2+5b+2b2分解因式，并把所拼的图形画在虚线方框内．

【解答】解：（1）由（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，可知需要两种正方形纸片3张，长方形纸片3张；
故答案为：3，3；
（2）a2+4ab+3b2＝（a+3b）（a+b）或（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2；
（3）如图④，2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b），

【变式7-4】（2022春•左权县期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
（1）探究发现：
小明计算下面几个题目：
①（x+2）（x﹣4）；②（x﹣4）（x+1）；③（y+4）（y﹣2）；④（y﹣5）（y﹣3）后发现，形如（x+p）（x+q）的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明完善发现的规律：（x+p）（x+q）＝　 　+　　 x+　 　．
（2）面积说明：
上面规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算（x+p）（x+q）发现这个规律是正确的，小明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积说明乘法公式，于是画出如图，说明他发现的规律．

（3）逆用规律：
学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面因式分解的多项式进行了因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式：x2﹣7x+10．
（4）拓展提升：
现有足够多的正方形和矩形卡片（如图），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重复，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为2a2+3ab+b2并利用你所画的图形面积对2a2+3ab+b2进行因式分解．
【解答】解：（1）规律为：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq．
故答案为：x2，（p+q），pq；
（3）按照小明发现的规律：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，
∵x2﹣7x+10＝x2+[（﹣2）+（﹣5）]x+（﹣2）×（﹣5），
∴x2﹣7x+10＝（x﹣2）（x﹣5）；
（4）如图所示：

2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b）．
【题型七：材料阅读题-配方法】
【典例8】（2023春•拱墅区月考）阅读材料：
①用配方法因式分解：a2+6a+8．
解：原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）．
②若M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值．
解：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1．
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，
∴当a＝b＝1时，M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之称为完全平方式：a2+4a+　 　．
（2）用配方法因式分解：a2﹣24a+143．
（3）若M＝﹣a2+2a﹣1，求M的最大值．
【解答】解：（1）a2+4a+4＝（a+2）2，
故答案为：4，（a+2）2；
（2）a2﹣24a+143
＝a2﹣24a+144﹣1
＝（a﹣12）2﹣12
＝（a﹣12+1）（a﹣12﹣1）
＝（a﹣11）（a﹣13）；
（3）M＝﹣a2+2a﹣1
＝﹣（a2﹣8a+16）+3
＝﹣（a﹣4）2+3，
∴当a＝4时，M有最大值3．
【变式8-1】（2021秋•康定市期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：a2+4a+3．
解：原式＝a2+4a+4﹣1＝（a+2）2﹣1＝（a+2+1）（a+2﹣1）＝（a+3）（a+1）．
②M＝a2﹣2a+6，利用配方法求M的最小值．
解：M＝a2﹣2a+6＝a2﹣2a+1+5＝（a﹣1）2+5．
∵（a﹣1）2≥0，∴当a＝1时，M有最小值5．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）利用上述方法分解因式：x2﹣6x+8；
（2）若，求M的最小值．
【解答】解：（1）x2﹣6x+8
＝x2﹣6x+9﹣1
＝（x﹣3）2﹣1
＝（x﹣3）2﹣12
＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）
＝（x﹣2）（x﹣4）；
（2）∵
＝4x2﹣4x+1﹣1﹣
＝（2x﹣1）2﹣1﹣
＝（2x﹣1）2﹣，
∵（2x﹣1）2≥0，
∴当时，M的最小值为．
【变式8-2】（2022秋•上海期末）阅读材料：
在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为A2﹣B2的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解．例如，分解因式：x4+4．
解：原式＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）
即原式＝（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）
请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题．
分解因式：（1）4x4+1；
（2）x4+x2+1．
【解答】解：（1）4x4+1
＝4x4+4x2+1﹣4x2
＝（2x2+1）2﹣4x2
＝（2x2+1+2x）（2x2+1﹣2x）；
（2）x4+x2+1
＝x4+2x2+1﹣x2
＝（x2+1）2﹣x2
＝（x2+1+x）（x2+1﹣x）．
【变式8-3】（2022秋•衡山县期末）我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3．
原式＝（x2+2x+1﹣1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．
求代数式2x2+4x﹣6的最小值．2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6＝2（x+1）2﹣8．
可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值﹣8．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）填空：x2+　　 +36＝（x+6）2；3m2+6m＝3（m+1）2　 　；
（2）利用配方法分解因式：x2﹣6x﹣27（注意：用其它方法不给分）；
（3）当x为何值时，多项式﹣x2﹣4x+1有最大值，并求出这个最大值．
【解答】解：（1）x2+2x×6+36＝x2+12x+36＝（x+6）2；3m2+6m＝3（m2+2m）＝3（m2+2m+1﹣1）＝3（m2+2m+1）﹣3＝3（m+1）2﹣3
故答案为：12x，﹣3；
（2）x2﹣6x﹣27＝x2﹣6x+9﹣36
＝（x﹣3）2﹣62
＝（x﹣3+6）（x﹣3﹣6）
＝（x+3）（x﹣9）；
（3）﹣x2﹣4x+1
＝﹣（x2+4x+4﹣4）+1
＝﹣（x2+4x+4）+4+1
＝﹣（x+2）2+5，
∵（x+2）2≥0，
∴﹣（x+2）2≤0，即﹣（x+2）2+5≤5，
则当x＝﹣2时，多项式﹣x2﹣4x+1有最大值，最大值为5．
【变式8-4】（2022秋•顺平县期末）问题情境：我们知道形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式．对于一些不是完全平方式的多项式，我们可做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
例如（1）分解因式x2﹣2x﹣3．
原式＝x2﹣2x+1﹣1﹣3＝（x2﹣2x+1）﹣4＝（x﹣1）2﹣4＝（x﹣1+2）（x﹣1﹣2）＝（x+1）（x﹣3）；
例如（2）求代数式x2+4x+6的最小值．
原式＝x2+4x+4﹣4+6＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2．∵（x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，x2+4x+6有最小值是2．
解决问题：
（1）若多项式x2﹣10x+m是一个完全平方式，那么常数m的值为 　 　；
（2）分解因式：x2+8x+7；
（3）求代数式﹣x2﹣12x+9的最大或最小值．
【解答】解：（1）∵10x＝2×5⋅x，且x2﹣10x+m是一个完全平方式，
所以m的值为25，
故答案为：25．
（2）x2+8x+7
＝x2+8x+16﹣16+7
＝（x2+8x+16）﹣9
＝（x+4）2﹣9
＝（x+4+3）（x+4﹣3）
＝（x+7）（x+1）；
（3）﹣x2﹣12x+9
＝﹣（x2+12x﹣9）
＝﹣（x2+12x+36﹣36﹣9）
＝﹣[（x2+12x+36）﹣36﹣9]
＝﹣[（x2+6）2﹣45]
＝﹣（x2+6）2+45，
∵﹣（x+6）2≤0，
∴当x＝﹣6时，﹣x2﹣12x2+9有最大值45．