【期末满分攻略】2022-2023学年人教版八年级数学下册讲学案-专题31 一次函数中平行四边形存在问题综合应用（原卷版+解析版）

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 专题31 一次函数中平行四边形存在问题综合应用
解答方法



1．坐标系中的平行四边形：

（1）对边平行且相等：



（2）对角线互相平分： 即 A、C 中点与 B、D 中点重合．




以上两条可统一为：

总结：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和相等

方法归纳：
1、列出四个点坐标
2、分三组对角线讨论列方程组，解方程组
3、验证点是否符合题意






为AB’典例分析


【典例1】（2021春•柳南区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，线段OA，OC的长分别是m，n且满足（m﹣6）2+＝0，点D是线段OC上一点，将△AOD沿直线AD翻折，点O落在矩形对角线AC上的点E处
（1）求线段OD的长；
（2）求点E的坐标；
（3）DE所在直线与AB相交于点M，点N在x轴的正半轴上，以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形时，求N点坐标．

【答案】（1）DE＝OD＝3 （2）E的坐标为（4.8，2.4） （3）N的坐标为（0.5，0）或（15.5，0）
【解答】解：（1）设OD＝x，
∵线段OA，OC的长分别是m，n且满足（m﹣6）2+＝0，
∴OA＝m＝6，OC＝n＝8，
由翻折的性质可得：OA＝AE＝6，OD＝DE＝x，DC＝8﹣OD＝8﹣x，
AC＝＝＝10，
可得：EC＝10﹣AE＝10﹣6＝4，
在Rt△DEC中，由勾股定理可得：DE2+EC2＝DC2，
即x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
可得：DE＝OD＝3，
（2）过E作EG⊥OC，

在Rt△DEC中，DE•EC＝DC•EG，
即×3×4＝×5•EG，
解得：EG＝2.4，
在Rt△DEG中，DG＝＝＝1.8，
所以点E的坐标为（4.8，2.4），

（3）设直线DE的解析式为：y＝kx+b，
把D（3，0），E（4.8，2.4）代入解析式可得，
解得：，
所以DE的解析式为：y＝x﹣4，
把y＝6代入DE的解析式y＝x﹣4，可得：x＝7.5，
即AM＝7.5，

当以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形时，
CN＝AM＝7.5，
所以ON＝8+7.5＝15.5，ON'＝8﹣7.5＝0.5，
即存在点N，且点N的坐标为（0.5，0）或（15.5，0）．
【变式1-1】（2021春•兴宁区校级期末）如图，已知函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y＝x的图象交于点M，点M的坐标为（2，m）．
（1）直接写出b和m的值：b＝　　，m＝　　．
（2）在x轴上有一动点P（a，0）（其中a＞2），过点P作x轴的垂线，分别交函数和y＝x的图象于点C、D．是否存在这样的点P，使以B、O、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1） 3，2 （2）P（4，0）．
【解答】解：（1）∵M（2，m）在直线y＝x上，
∴m＝2，即M（2，2），
∵M（2，2）在直线y＝﹣x+b上，
∴2＝﹣×2+b，
∴b＝3，
故答案为：3，2；
（2）存在，理由如下：
如图：

∵BO∥CD，
∴以B、O、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则只需BO＝CD，
由①知：CD＝a﹣3，BO＝3，
∴a﹣3＝3，
解得a＝4，
∴P（4，0）．
【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+8的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴的正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．
（1）求直线AM的函数解析式．
（2）在坐标平面内是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x+4； （2）（3，﹣4），（3，4）或（﹣3，12）．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+8＝8，
∴点B的坐标为（0，8），
当y＝0时，﹣x+8＝0，
解得：x＝3，
∴点A的坐标为（3，0）．
∵点M为线段OB的中点，
∴点M的坐标为（0，4）．
设直线AM的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（3，0），M（0，4）代入y＝kx+b，得，
解得，
∴直线AM的函数解析式为y＝﹣x+4；
（2）①∵点M为线段OB的中点．
∴S△ABM＝S△AOM，
∴点P于点M重合，
∴点P的坐标为（0，4）；
②如图，

∵点A的坐标为（3，0）．点M的坐标为（0，4）．
∴S△AOM＝×3×4＝6，
∵S△ABP＝S△AOM，
∴S△ABP＝S△PBM﹣S△ABM＝＝S△PBM﹣S△AOM＝6，
设点P的坐标为：（x，﹣x+4），
∴×4x﹣6＝6，解得x＝6，
∴点P的坐标为（6，﹣4）；
∴点P的坐标为（0，4）或（6，﹣4）；

（3）设点N的坐标为（m，n）．
分三种情况考虑（如图所示）：

①当AM为对角线时，
∵A（3，0），B（0，8），M（0，4）．
∴，
解得，
∴点N1的坐标为（3，﹣4）；
②当AB为对角线时，
，
解得，
∴点N2的坐标为（3，4）；
③当BM为对角线时，
，
解得，
∴点N3的坐标为（﹣3，12）．
综上所述：在坐标平面内存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，点N的坐标为（3，﹣4），（3，4）或（﹣3，12）．



夯实基础


1．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC的顶点A（8，0），C（0，6），将矩形OABC的一个角沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与x轴交于点D．
（1）线段OB的长度 　 　；
（2）求直线BD所对应的函数表达式；
（3）若点Q在线段BD上，在线段BC上是否存在点P，使以D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）10；
（2）y＝2x﹣10；
（3）存在，点的P坐标为（5，6）．
【解答】解：（1）由题意，得：点B的坐标为（8，6），OA＝8，AB＝OC＝6，
∴OB＝＝10，
故答案为：10．
（2）设AD＝a，则DE＝a，OD＝8﹣a，OE＝OB﹣BE＝10﹣6＝4
∵OD2＝OE2+DE2，即（8﹣a）2＝42+a2，
∴a＝3，
∴OD＝5，
∴点D的坐标为（5，0）．
设直线BD所对应的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
将B（8，6），D（5，0）代入y＝kx+b，得：
，
解得：，
∴直线BD所对应的函数表达式为y＝2x﹣10；
（3）存在，理由：过点E作EF⊥x轴于点F，如图所示．

∵∠BED＝∠BAD＝90°，
∴∠OED＝180°﹣∠BED＝90°
∴S△ODE＝OD•EF＝OE•DE，
∴EF＝＝＝，
在Rt△OEF中，OF＝＝，
∴点E的坐标为（），
由PE∥BD，设直线PE的解析式为：y＝2x+b，
把E（）代入得：，解得：b＝﹣4，
∴直线PE的解析式为：y＝2x﹣4，
令y＝6，则6＝2x﹣4，解得：x＝5，
∴存在，点P的坐标为：（5，6）．
2．如图，直线l1：y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C；直线l2：y＝kx+b与x轴交于点B（3，0），与直线l1交于点D，且点D的纵坐标为4．
（1）不等式kx+b＞2x+2的解集是 　 　；
（2）求直线l2的解析式及△CDE的面积；
（3）点P在坐标平面内，若以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形，直接写出符合条件的所有点P的坐标．

【答案】（1）x＜1；
（2）y＝﹣2x+6，S△CDE＝2；
（3）（5，4）或（1，﹣4）或（﹣3，4）．
【解答】解：（1）在y＝2x+2中，令y＝4得：4＝2x+2，
解得：x＝1，
∴D（1，4），
由图可知：直线l2：y＝kx+b在直线l1：y＝2x+2上方时，x＜1，
故答案为：x＜1；
（2）将点B（3，0）、D（1，4）的坐标代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴直线l2：y＝﹣2x+6，
在y＝2x+2中，令x＝0得y＝2，
∴C（0，2），
在y＝﹣2x+6中，令x＝0得y＝6，
∴E（0，6），
∴CE＝6﹣2＝4，
∴S△CDE＝CE•xD＝×4×1＝2；
（3）在y＝2x+2中，令y＝0得x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
设P（m，n），而B（3，0）、D（1，4），
①以AP、BD为对角线，则AP中点即是BD中点，如图：

∴，解得，
∴P（5，4），
②以AB、PD为对角线，则AB中点即是PD的中点，如图：

∴，解得，
∴P（1，﹣4），
③以AD、PB为对角线，则AD中点即是PB的中点，如图：

∴，解得，
∴P（﹣3，4）；
综上所述，以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形，点P（5，4）或（1，﹣4）或（﹣3，4）．
3．如图，直线l1：y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C；直线l2：y＝kx+b与x轴交于点B（3，0），与直线l1交于点D，且点D的纵坐标为4．
（1）不等式kx+b＞2x+2的解集是　 　；
（2）求直线l2的解析式及△CDE的面积；
（3）点P在坐标平面内，若以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求符合条件的所有点P的坐标．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）l1：y＝2x+2，则点C（0，2），点A（﹣1，0），
直线l1交于点D，且点D的纵坐标为4，则4＝2x+2，解得：x＝1，故点D（1，4），
从图象看，当x＜1时，kx+b＞2x+2，
故答案为：x＜1；
（2）将点B、D的坐标代入y＝kx+b得：，解得：，
故直线l2：y＝﹣2x+6，点E（0，6），则CE＝6﹣2＝4，
S△CDE＝×CE×xD＝4×1＝2；
（3）分别过点A、B作l2、l1的平行线交于点P″，交过点D作x轴的平行线于点P、P′，

①当AB是平行四边形的一条边时，
此时符合条件的点为下图中点P和P′，
则AB＝4＝PA＝P′D，
故点P的坐标为（﹣3，4）或（5，4）；
②当AB是平行四边形的对角线时，
此时符合条件的点为下图中点P″，DA平行且等于BP“，由平移可知，点P″（1，﹣4）；
综上，点P（﹣3，4）或（5，4）或（1，﹣4）．
4．如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4交x轴于点A，直线y＝﹣x+2交x轴于点B，两直线交于点C．
（1）求证：△ABC是直角三角形．
（2）平面直角坐标系内是否存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵直线y＝2x+4交x轴于点A，
∴当y＝0时，x＝﹣2，
∴点A的坐标为（﹣2，0），
∵直线y＝﹣x+2交x轴于点B，
∴当y＝0时，x＝4，
∴点B的坐标为（4，0），
由，得，
∴点C的坐标为（﹣，），
∴AC＝＝，
BC＝＝，
AB＝4﹣（﹣2）＝4+2＝6，
∵AC2+BC2＝（）2+（）2＝62＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）平面直角坐标系内存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为（﹣，），（，﹣）或（，），
如右图所示，
当CD1∥AB时，
∵点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣，），
∴AB＝CD1＝6，
∴D1的坐标为（﹣，）；
当AC∥DB2时，
设直线AC的函数解析式为y＝kx+b，
，得，
即直线AC的函数解析式为y＝2x+4，
设直线BD2对应的函数解析式为y＝2x+c，
∵点B（4，0）在该直线上，
∴0＝2×4+c，得c＝﹣8，
∴直线BD2对应的函数解析式为y＝2x﹣8，
∵点D2的纵坐标为，
∴＝2x﹣8，
解得x＝，
∴D2的坐标为（，﹣）；
当CD3∥AB时，
∵点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣，），
∴AB＝CD3＝6，
∴D3的坐标为（，）；
由上可得，点D的坐标为（﹣，），（，﹣）或（，）．

5．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．

（1）求证：△BOC≌△CED；
（2）求点D的坐标；
（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）（，）；（3）（3，）或（﹣3，）或（6，0）．
【解答】（1）证明：∵将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，DE⊥x轴，
∴∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°，
∴∠OCB+∠DCE＝90°，∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠BCO＝∠CDE．
在△BOC和△CED中，
，
∴△BOC≌△CED（ASA）；
（2）解：∵直线y＝﹣x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，
∴A（6，0），B（0，3），
∴OA＝6，OB＝3，
∵△BOC≌△CED，
∴OC＝DE，BO＝CE＝3，
设OC＝DE＝m，则点D的坐标为（m+3，m），
∵点D在直线AB上，
∴m＝﹣（m+3）+3，
∴m＝，
∴点D的坐标为（，）；
（3）存在，设点Q的坐标为（n，﹣n+3）．
由（2）知OC＝，
∵动点C在线段OA上，
∴点C的坐标为（，0），
分两种情况考虑，如图2所示：

①当CD为边时，
∵点C的坐标为（，0），点D的坐标为（，），点P的横坐标为0，
∴0﹣n＝或n﹣0＝，
∴n＝﹣3或n＝3，
∴点Q的坐标为（3，），点Q′的坐标为（﹣3，）；
②当CD为对角线时，
∵点C的坐标为（，0），点D的坐标为（，），点P的横坐标为0，
∴n+0＝，
∴n＝6，
∴点Q″的坐标为（6，0）．
综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（3，）或（﹣3，）或（6，0）．
6．如图，平行四边形ABCD在直角坐标系中，点B、点C都在x轴上，其中OA＝8，OB＝6，AD＝12，E是线段OD的中点．
（1）直接写出点C，D的坐标；
（2）求直线AE的关系式；
（3）平面内是否存在一点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）C（6，0），D（12，8）；
（2）；
（3）存在，F坐标为：（﹣6，4）或（18，4）或（6，12）．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝12，AD∥BC，
∵点B、C都在x轴上，点A在y轴上，OA＝8，OB＝6，
∴OC＝BC﹣OB＝12﹣6＝6，点A的坐标为（0，8），点D的坐标为（12，8），
∴点C的坐标为（6，0）；
（2）∵E是线段OD的中点，
∴E（6，4），
设直线AE的关系式为：y＝kx+b，
∵直线AE经过点A，点E，
∴，
解得，
∴直线AE的关系式：；
（3）存在，F坐标为（﹣6，4）或（18，4）或（6，12），
①如图所示，当EF为平行四边形的边时，

EF＝AD＝12，
∴点F的坐标为：（﹣6，4）或（18，4），
②如图所示，当EF为平行四边形的对角线时，

则DG＝AG＝6，FG＝GE＝4，
即点F的坐标为：（6，12），
综上，点F的坐标为：（﹣6，4）或（18，4）或（6，12）．


7．实践与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，点B坐标为（0，3）．直线l2：y＝2x与直线l1相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求直线l1的解析式；
（2）若点D是y轴上一点，且△OCD的面积是△AOC面积的，求点D的坐标；
（3）在y轴右侧是否存在一点E，使得以点O，A，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出符合条件的点E的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x+3；（2）（0，4）或（0，﹣4）；（3）平面内存在一点E，使得以点O，A，C，E为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为（2，﹣2）或（4，2）．
【解答】解：（1）当x＝1时，y＝2x＝2，
∴点C的坐标为（1，2）．
设直线l1的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将B（0，3），C（1，2）代入y＝kx+b，得：，
解得：，
∴直线l1的解析式为y＝﹣x+3．
（2）当y＝0时，﹣x+3＝0，解得：x＝3，
∴点A的坐标为（3，0）．
∵S△OCD＝S△AOC，即×1×OD＝××2×OA，
∴OD＝OA＝4，
∴点D的坐标为（0，4）或（0，﹣4）．
（3）设点E的坐标为（m，n），分三种情况考虑（如图2）：
①当OA为对角线时，∵O（0，0），A（3，0），C（1，2），
∴，解得：，
∴点E1的坐标为（2，﹣2）；
②当OC为对角线时，∵O（0，0），A（3，0），C（1，2），
∴，解得：，
∴点E2的坐标为（﹣2，2）（不合题意）；
③当AC为对角线时，∵O（0，0），A（3，0），C（1，2），
∴，解得：，
∴点E3的坐标为（4，2）．
综上所述：平面内存在一点E，使得以点O，A，C，E为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为（2，﹣2）或（4，2）．


8．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x+18的图象分别交x轴、y轴于A、B两点．过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．
（1）求直线AM的解析式；
（2）在直线AM上找一点P，使得S△ABP＝S△AOB，求出点P的坐标；
（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝x+9；
（2）点P的坐标为（﹣27，﹣18）或（9，18）；
（3）在坐标平面内存在点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是平行四边形，点H的坐标为（﹣9，﹣9），（﹣9，9）或（9，27）．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝2x+18＝18，
∴点B的坐标为（0，18）；
当y＝0时，2x+18＝0，
解得：x＝﹣9，
∴点A的坐标为（﹣9，0）．
∵点M为线段OB的中点，
∴点M的坐标为（0，9）．
设直线AM的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（﹣9，0），B（0，9）代入y＝kx+b，得：，
解得：，
∴直线AM的函数解析式为y＝x+9；
（2）设点P的坐标为（x，x+9），
∵S△ABP＝S△AOB，
∴，BM•|xP﹣xA|＝OA•OB，即×9×|x+9|＝×9×18，
解得：x1＝﹣27，x2＝9，
∴点P的坐标为（﹣27，﹣18）或（9，18）；
（3）设点H的坐标为（m，n）．
分三种情况考虑（如图所示）：

①当AM为对角线时，，
解得：，
∴点H1的坐标为（﹣9，﹣9）；
②当AB为对角线时，，
解得：，
∴点H2的坐标为（﹣9，9）；
③当BM为对角线时，，
解得：，
∴点H3的坐标为（9，27）．
综上所述：在坐标平面内存在点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是平行四边形，点H的坐标为（﹣9，﹣9），（﹣9，9）或（9，27）．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB的表达式为y＝kx+2，且经过点（1，4），与x轴、y轴分别交于点A、B，将直线AB向下平移4个单位得到直线l．
（1）求直线l的表达式；
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A′OB′（点A的对应点是点A′，点B的对应点是点B′），求直线A′B′与直线AB的交点坐标；
（3）设直线l与x轴交于点C，点D为该平面直角坐标系内的点，如果以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．

【答案】（1）y＝2x﹣2；
（2）（﹣，）；
（3）点D的坐标为（0，﹣2）或（2，2）或（﹣2，2）．
【解答】解：（1）将点（1，4）代入y＝kx+2中得：k+2＝4，
∴k＝2，
∴直线AB的表达式为：y＝2x+2，
∴直线l的表达式为：y＝2x﹣2；
（2）如图1，当x＝0时，y＝2，
当y＝0时，2x+2＝0，
∴x＝﹣1，

∴OA＝1，OB＝2，
由旋转得：OA'＝OA＝1，OB＝OB'＝2，
∴A'（0，﹣1），B'（﹣2，0），
设直线A'B'的解析式为：y＝ax+b，
则，解得：，
∴直线A'B'的解析式为：y＝﹣x﹣1，
∴2x+2＝﹣x﹣1，
解得：x＝﹣，
当x＝﹣时，y＝2×（﹣）+2＝﹣，
∴直线A′B′与直线AB的交点G的坐标是（﹣，）；
（3）由平移得：l∥AB，
则C（1，0）
分三种情况：
①如图2，四边形ABCD是平行四边形，此时D（0，﹣2）；

②如图3，四边形ABDC是平行四边形，此时D（2，2）；

③如图4，四边形ADBC是平行四边形，此时D（﹣2，2）；

综上，点D的坐标为（0，﹣2）或（2，2）或（﹣2，2）．
10．已知：直线经过点A（﹣8，0）和点B（0，6），点C在线段AO上，将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．
（1）求直线AB的表达式．
（2）求AC的长．
（3）点P为平面内一动点，且满足以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合要求的所有P点的坐标．

【答案】（1）y＝x+6；
（2）5；
（3）（﹣5，6）或（﹣11，﹣6）或（5，6）．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+6；
（2）∵D点与C点关于BC对称，
∴CO＝CD，BO＝BD，
∵BO＝6，
∴BD＝6，
∵OA＝8，BO＝6，
∴AB＝10，
∴AD＝4，
在Rt△ACD中，CD2+16＝（8﹣CD）2，
解得CD＝3，
∴CO＝3，
∴AC＝5；
（3）由（2）可得C（﹣3，0），
设P（x，y），
①当AB为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴P（﹣5，6）；
②当AC为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴P（﹣11，﹣6）；
③当AP为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴P（5，6）；
综上所述：P点坐标为（﹣5，6）或（﹣11，﹣6）或（5，6）．