【期末常考压轴题】湘教版八年级数学下册-专题10 解题技巧专题：平面直角坐标系求面积、新定义与规律探究问题

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专题10 解题技巧专题：平面直角坐标系求面积、新定义与规律探究问题
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目录
【典型例题】 1
【考点一 直接利用面积公式求图形的面积】 1
【考点二 利用补形法或分割法求图形的面积】 7
【考点三 与图形面积相关的点的存在性问题】 11
【考点四 平面直角坐标系中新定义规律探究问题】 16
【考点五 平面直角坐标系中点运动规律探究问题】 20
【考点六 平面直角坐标系中图形变换规律探究问题】 25

【典型例题】
【考点一 直接利用面积公式求图形的面积】
例题：（2022·北京大兴·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，，，连接AB交y轴于点C．

(1)求三角形AOB的面积；
(2)求点C的坐标．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根据点A、B的坐标求出OA、点B到OA的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解；
（2）根据三角形面积和列等式，根据（1）中：△AOB的面积=6，即可得解．
(1)
解：过点B作BM垂直于x轴点M．

∵，
∴BM＝2．
∵，
∴OA＝2．
∴．
(2)
过点B作BN垂直于y轴点N．

，
∴．
∵点C在y轴的正半轴，
∴点C的坐标是．
【点睛】本题考查了三角形的面积和点的坐标，熟练掌握坐标和图形的性质是本题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·山东济宁·七年级统考期末）如图，△ABC的顶点A的坐标为（﹣2，1），把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A'B'C'．

(1)画出△A'B'C并写出点A′的坐标；
(2)点P在y轴上，且△BCP的面积是△ABC面积2倍，求点P的坐标．
【答案】(1)画图见解析，A′（0，4）
(2)（0，4）或（0，-8）
【分析】（1）将三个顶点分别向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）先求出△ABC的面积，再得到△BCP的面积，设点P（0，a），求出a值即可得到点P坐标．
（1）
解：如图，△A′B′C′即为所求，其中A′（0，4）；

（2）
由图可知：
△ABC的面积为：=6，
∵△BCP的面积是△ABC面积2倍，
∴△BCP的面积为12，
设点P（0，a），
则=12，
解得：a=6，
∴点P的坐标为（0，4）或（0，-8）．
【点睛】本题考查的是作图-平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，过作轴于．

(1)求三角形的面积；
(2)若线段与轴交于点，在轴上是否存在点，使得三角形和三角形的面积相等，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】(1)36
(2)或
【分析】（1）先根据非负数的性质求出，的值，进而得出，两点的坐标，根据三角形的面积公式即可得出结论；
（2）设，利用三角形和三角形的面积相等可得到关于的方程，再解方程求出即可得点坐标.
【详解】（1），
，，
解得，，
，，
轴，
，
，，
；
（2）设，

，
，
三角形和三角形的面积相等，，
，
，即，
解得：或，
或；
【点睛】本题昰三角形综合题，考查了非负数的性质、坐标与图形性质以及三角形面积公式，理解坐标与长度的关系是解题的关键．
3．（2023·全国·七年级专题练习）已知：如图，的三个顶点位置分别是．

(1)求的面积是多少？
(2)若点的位置不变，当点P在y轴上时，且，求点P的坐标？
(3)若点的位置不变，当点Q在x轴上时，且，求点Q的坐标？
【答案】(1)6
(2)
(3)
【分析】（1）根据点A、C的坐标求出AC的长，然后利用三角形的面积列式计算即可得解；
（2）分点P在y轴正半轴和负半轴两种情况讨论求解；
（3）分点Q在C的左边和右边两种情况讨论求解．
【详解】（1）∵，
∴，
点B到的距离为3，
∴的面积；
（2）∵，
∴以为底时，的高，
∴点P在y轴正半轴时，；
点P在y轴负半轴时，；
（3）∵，
∴以为底时，的高为3，底边，
∴点Q在C的左边时，，即；
点Q在C的右边时，，即．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积解决本题的关键在于要分情况讨论．
4．（2022·山东临沂·七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A(，0)，B(，0)，其中，满足，点M为第三象限内一点．

(1)请直接写出A、B两点的坐标：A( ，0)，B( ，0)；
(2)若M为(，)，请用含的式子表示ABM的面积；
(3)若M(，)到坐标轴的距离相等，MNAB且NM=AB，求N点坐标．
【答案】(1)﹣1，3
(2)
(3)N(-6，-2)或(2，-2)
【分析】（1）根据非负数的性质可求出答案；
（2）根据三角形面积公式求出答案即可；
（3）由题意可求出m＝4或8，求出M的坐标，则可得出答案．
（1）
∵（a+1）2＝0，
∴0，（a+1）2＝0，
∴b﹣3＝0，a+1＝0，
∴b＝3，a＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
故答案为：﹣1，3；
（2）
如图，

∵M为（﹣2，m），且M在第三象限内，
∴m＜0，
∴△ABM的面积2m；
（3）
∵M（2﹣m，2m﹣10）到坐标轴的距离相等，
∴2﹣m＝2m﹣10或2﹣m＝﹣（2m﹣10），
∴m＝4或8，
∵M为第三象限内一点，
∴M（﹣2，﹣2），
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
∵MN∥AB，NM＝AB，
∴N（﹣6，﹣2）或（2，﹣2）．
【点睛】本题考查了二次根式的性质、偶次方的非负性、三角形的面积、坐标与图形的性质等知识点，难度适中，能准确求三角形的面积和掌握图形与坐标的性质是关键．

【考点二 利用补形法或分割法求图形的面积】
例题：（2022·河南三门峡·七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，求的面积．

【答案】5
【分析】根据割补法可进行求解三角形的面积．
【详解】解：由题意画出如下草图：

∵A(－1，3)，B(－2，0)，C(2，2)，
∴D（2，0），E（－2，3），F（2，3），
∴，
∴
=
=5．
【点睛】本题主要考查图形与坐标，熟练掌握利用割补法求解图形的面积是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·全国·七年级专题练习）如图，已知点，求四边形的面积．

【答案】
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，根据进行计算便可．
【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，

∵，
∴，，，，，
∴，，
∴

．
【点睛】本题考查了点的坐标的特征，三角形的面积计算，关键是把四边形的面积转化为三角形与梯形的面积进行计算．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）坐标平面内有个点为．
(1)建立坐标系，描出这4个点；
(2)顺次连接，组成四边形，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，画出坐标系，然后描点即可求解；
（2）用矩形围住四边形，用矩形的面积减去4个三角形的面积即可求解．
【详解】（1）坐标系及4个点的位置，如图所示；

（2）如图，用矩形围住四边形，则



．
【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．
3．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）已知：在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）.

(1)求△ABC的面积；
(2)设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)4
(2)P（10，0），P（-6，0）
【分析】（1）过点C作CD⊥x轴，CE⊥y，垂足分别为D、E，由根据三角形面积公式计算即可；
（2）设点P的坐标为（x，0），则BP＝|x﹣2|，根据三角形面积公式，列出关于x的方程，解出方程即可得出结果．
【详解】（1）解：过点C作CD⊥x轴，CE⊥y，垂足分别为D、E．


＝3×42×41×22×3
＝12﹣4﹣1﹣3
＝4．
（2）设点P的坐标为（x，0），则BP＝|x﹣2|．
∵△ABP与△ABC的面积相等，
∴1×|x﹣2|＝4．
解得：x＝10或x＝﹣6．
所以点P的坐标为（10，0）或（﹣6，0）．
【点睛】本题考查直角坐标系，三角形面积计算，方程思想，分类讨论思想，熟练运用三角形面积公式是解题的关键．

【考点三 与图形面积相关的点的存在性问题】
例题：（2022·湖北十堰·七年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为：A（0，0），B（7，0），C（9，5），D（2，7）．

(1)求此四边形的面积；
(2)在x轴上，你能否找到一点P，使？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)44
(2)（-13，0）或（27，0）
【分析】（1）利用分割法，把四边形分割成一个三角形加上一个梯形后再减去一个三角形求面积；
（2）分两种情况：点P在x轴上，点P在y轴上，利用三角形的面积求得答案即可．
（1）
解：如图，

过D，C分别作DE，CF垂直于AB，E、F分别为垂足，则有：
S=S△AED+S梯形EFCD-S△CFB
=×AE×DE+×（CF+DE）×EF-×FC×FB．
=×2×7+×（7+5）×7-×2×5
=44．
故四边形ABCD的面积为44．
（2）
当点P在x轴上，设P点坐标为（x，0）；
如图，

S△PBC=|7-x|×5=50，
解得：x=-13或27，
点P坐标为（-13，0），（27，0）．
【点睛】此题考查了坐标与图形，四边形的面积，数形结合是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022·河南·潢川县中小学教研室七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，同时将点、向上平移2个单位长度再向右平移1个单位长度，分别得到A、B的对应点C、D．连接，，．

(1)求点C、D的坐标，并描出A、B、C、D点，求四边形面积；
(2)在x坐标轴上是否存在点P；连接、使？若存在，求点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)C（0，2）、D（4，2）；见解析；8
(2)存在，点P坐标为（7，0）或（－9，0）．
【分析】（1）根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加写出点C、D的坐标即可，再根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解；
（2）分点P在x轴和y轴上两种情况，依据即可求解．
(1)
解：∵将点、向上平移2个单位长度再向右平移1个单位长度，分别得到A、B的对应点C、D，
∴C（0，2）、D（4，2）；
如图，

由平移的性质可知四边形是平行四边形，
∴．
(2)
解：存在点P使．
当点P在x轴上时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴点P坐标为（7，0）或（－9，0）．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，平移的性质，三角形的面积，平行四边形的面积，坐标与图形变化－平移等，熟记相关性质以及利用分类讨论思想是解题的关键．
2．（2022·云南昭通·七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（3，c）三点，且a、b满足关系式：，．

(1)求a、b的值；
(2)求四边形AOBC的面积；
(3)是否存在点P（m，－m），使得△AOP的面积为四边形AOBC面积的2倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，点P的坐标为（18，-6）或（-18，6）
【分析】（1）根据“几个非负数相加和为0，则每一个非负数的值均为0”解出a，b的值；
（2）由点A、O、B、C的坐标可得四边形AOBC为直角梯形，根据直角梯形的面积公式计算即可；
（3）设存在点P（m，－m），使△AOP的面积为四边形AOBC的面积的两倍，根据面积列出方程号，解方程即可．
（1）
解：∵，
∴，；
（2）
由（1）可得：A（0，2），B（3，0），
∴，，
∴，
∵C（3，c），
∴，
∴轴，
∴；
（3）
存在，理由如下：
∵，
∴，
∴，即或，
∴点P的坐标为（18，-6）或（-18，6）．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，非负数的性质，梯形的面积，三角形的面积，难度适中，根据非负数的性质求出a，b的值是解题的关键．
3．（2023秋·安徽宣城·八年级统考期末）如图所示，，，点在轴上，且．

(1)求点的坐标；
(2)求三角形的面积；
(3)在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)或；
(2)；
(3)存在，或
【分析】（1）分点在点的左边和右边两种情况解答；
（2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解；
（3）利用三角形的面积公式列式求出点到轴的距离，然后分两种情况写出点的坐标即可．
【详解】（1）如图，

当点在点的右边时，，
当点在点的左边时，，
所以的坐标为或；
（2）的面积，
答：的面积为；
（3）设点到轴的距离为，
则，
解得，
当点在轴正半轴时，，
当点在轴负半轴时，，
综上所述，点的坐标为或
【点睛】本题考查了点的坐标的确定，三角形的面积公式，分类讨论，坐标轴上两点间的距离公式等有关知识；能求出符合条件的点的坐标是解此题的关键．

【考点四 平面直角坐标系中新定义规律探究问题】
例题：（2023秋·陕西西安·八年级西安市西光中学校考期末）已知a，b都是实数，设点P（a，b），若满足3a＝2b＋5，则称点P为“新奇点”．
(1)判断点A（3，2 ）是否为“新奇点”，并说明理由；
(2)若点M（m－1，3m＋2）是“新奇点”，请判断点M在第几象限，并说明理由．
【答案】(1)点A（3，2）是“新奇点”，理由见解析，
(2)点M在第三象限，理由见解析．
【分析】（1）根据题目中“新奇点”的判断方法，将，，代入判断，即可证明；
（2）根据点是“新奇点”，可得，求解代入得出，即可确定点的坐标，然后判断在哪个象限即可．
【详解】（1）解：点是“新奇点”，理由如下：
当A(3，2)时，，，
∴，，
∴．
∴点是“新奇点”；
（2）点M在第三象限，理由如下：
∵点是“新奇点”，
∴，，
∴，
解得：，
∴，，
∴点在第三象限．
【点睛】题目主要考查求代数式的值及解一元一次方程，判定点所在象限，理解题中新的定义是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·四川宜宾·八年级期末）在平面直角坐标系中，如果点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的终结点．已知点P的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到，，，，，，若点P的坐标为，则点的坐标为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别求，，，，发现循环规律即可解题．
【详解】解：点的坐标为，
的终结点为的坐标为（-1，2），
点的终结点为的坐标为（1，4），
点的终结点为的坐标为（3，2），
点的终结点为的坐标为（1，0），
观察发现，P点坐标四个一循环，
2022÷4=505……2，
点的坐标与的坐标相同，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标变换规律，根据坐标变换方法，求出点的坐标并发现循环规律是解题关键．
2．（2022·江苏南通·七年级期末）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P'（y﹣1，﹣x﹣1）叫做点P的和谐点，已知点A1的和谐点为点A2，点A2的和谐点为点A3，点A3的和谐点为点A4，……以此类推，当点A1的坐标为（1，3）时，点A2022的坐标为 _____．
【答案】（2，﹣2）
【分析】根据和谐点的定义及点A1的坐标为（1，3），顺次求出几个和谐点的坐标，可发现循环规律，据此可解．
【详解】解：观察，发现规律：A1（1，3），A2（2，−2），A3（−3，−3），A4（−4，2），A5（1，3），…，
根据上面规律可知，每4个点循环一次，
∵2022＝505×4＋2，
∴点A2022的坐标为（2，−2）．
故答案为：（2，−2）．
【点睛】本题主要考查了规律型的点的坐标，从已知条件得出循环规律：每4个点为一个循环是解题的关键．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）对于平面直角坐标系xOy中的点P(a，b)，若点P′的坐标为(a+nb，na+b)（其中n为常数，且n≠0），则称点P'为点P的“n属派生点”．
例如：P(1，4)的“2属派生点”为P'(1+2×4，2×1+4)，即P'(9，6)．
(1)点P(﹣3，5)的“2属派生点”P'的坐标为_______；
(2)若点P的“3属派生点”P'的坐标为(6，2)，则a+b的值为_______；
(3)若点P在x轴上，点P的“n属派生点”为P'点，且线段PP'的长度为线段OP长度的倍，求n的值．
【答案】(1)
(2)2
(3)
【分析】（1）根据“属派生点”的定义即可得；
（2）根据“属派生点”的定义建立方程组，由此即可得；
（3）设点的坐标为，则，再根据“属派生点”的定义可得点的坐标为，从而可得，然后根据“线段的长度为线段长度的倍”建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：由题意得：的坐标为，即为，
故答案为：．
（2）解：由题意得：，
由①②得：，
解得，
故答案为：2．
（3）解：由题意，设点的坐标为，则，
所以点的“属派生点”的坐标为，即为，
所以，
因为线段的长度为线段长度的倍，
所以，
解得．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、平面直角坐标系等知识点，掌握理解“属派生点”的定义是解题关键．
4．（2023·全国·七年级专题练习）我们约定：若点P的坐标为，则把坐标为的点成为点P的“k阶益点”（其中k为正整数），例如：即就是点的“2阶益点”．
(1)已知点是点的“3阶益点”，求点P的坐标；
(2)已知点P2是点的“2阶益点”，将点P2先向右移动6个单位，再向下移动3个单位得到点Q，若点Q落在第四象限，求t的取值范围；
(3)已知点的“k阶益点”是，若，求符合要求的点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或或．
【分析】（1）根据新定义构建方程组求解即可；
（2）根据新定义构建不等式组解决问题即可；
（3）根据新定义列方程组并求解，再根据不等式组，求出整数k，可得结论．
【详解】（1）解：由题意，解得，，
∴；
（2）解：由题意，
解得，；
（3）解：由题意，，
解得，，
∵，，
∴，
解得，，
∵k是正整数，
∴或3或4，
∴或或，
∴满足条件的点P的坐标为或或．
【点睛】本题考查新定义，坐标与图形变化﹣平移，解一元一次方程，不等式组等知识，解题的关键是理解题意，根据新定义构建方程或不等式解决问题．


【考点五 平面直角坐标系中点运动规律探究问题】
例题：（2022·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．

(1)填写下列各点的坐标：（______，______），（______，______）；
(2)写出点的坐标（是正整数）（______，______）；
(3)求出的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）观察图形，即可求解；
（2）观察图形，由（1）发现规律，即可求解；
（3）由（1）发现规律：，即可求解．
（1）
观察图形得∶
，
故答案为：；
（2）
由（1）发现规律：，
故答案为：；
（3）
解：由（1）发现规律：，
∵，
∴的坐标为．
【点睛】本题主要考查规律型：点的坐标，读懂题意，准确找出点的坐标规律是解答此题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，动点P按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，则第2023次运动到点（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据前几次运动的规律可知第次接着运动到点，第次接着运动到点，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，根据规律求解即可
【详解】解：由题意可知，第1次从原点运动到点，
第2次接着运动到点，
第3次接着运动到点，
第4次从原点运动到点，
第5次接着运动到点，
第6次接着运动到点，
……
第次接着运动到点，
第次接着运动到点，
第次从原点运动到点，
第次接着运动到点，
∵，
∴第2023次接着运动到点，
故选C．
【点睛】本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题．
2．（2022春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，长方形的各边分别平行于轴或轴，物体甲和物体乙分别由点，同时出发，沿长方形的边作环绕运动．物体甲按逆时针方向以个单位秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以个单位秒匀速运动，则两个物体运动后的第次相遇地点的坐标是（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为和，物体甲是物体乙的速度的倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
【详解】解：由题意知：矩形的边长为和，
①第一次相遇物体甲与物体乙运动的时间为秒，
第一次相遇地点的坐标是；
②第二次相遇物体甲与物体乙运动的时间为秒，
第二次相遇地点的坐标是；
③第三次相遇地点的坐标是；
④第四次相遇地点的坐标是；

则每相遇三次，为一个循环，
，
故两个物体运动后的第次相遇地点的坐标为：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查点的坐标，是规律型题目，理解题意找准规律是解题的关键．
3．（2022春·广东河源·八年级校考期末）如图，正方形 的各边分别平行于 轴或者 轴，蚂蚁甲和蚂蚁乙都由点 出发，同时沿正方形 的边做环绕运动，蚂蚁甲按顺时针方向以 个单位长度/秒的速度做匀速运动，蚂蚁乙按逆时针方向以 个单位长度/秒的速度做匀速运动，则两只蚂蚁出发后第三次相遇点的坐标是____．

【答案】
【分析】根据两只蚂蚁运动速度和正方形周长，得到两只蚂蚁的相遇时间间隔，进而得到两只蚂蚁相遇的位置规律．
【详解】解：由已知，正方形周长为，
∵甲、乙速度分别为3单位/秒，1单位/秒，
则两只蚂蚁每次相遇时间间隔为秒，
则两只蚂蚁相遇点依次为，
故答案为：
【点睛】本题为平面直角坐标系内的动点坐标规律探究题，解答关键是找到两只蚂蚁相遇的位置的变化规律．
4．（2022春·甘肃武威·七年级统考期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为，则点的坐标是__________．

【答案】（3，0）
【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2023除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
【详解】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，

根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），
∵2023÷6=337…1，
当点P第2023次碰到矩形的边时为第338个循环组的第1次反弹，点P的坐标为（3，0），
故答案为：（3，0）．
【点睛】本题考查了矩形的性质、点的坐标的规律；作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．
5．（2023秋·湖北荆门·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，某点按向下、向右、向上、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其运动路线如图所示，根据图形规律，解决下列问题．

(1)点的坐标为___________，点的坐标为___________，点的坐标为___________，点的坐标为___________．
(2)直接写出点到点的距离：___________．
【答案】(1)；；；
(2)1012
【分析】（1）根据题意可得点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；……由此发现规律，即可求解；
（2）根据，可得点的坐标为，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
……
由此发现，点的坐标为；
故答案为：；；；；
（2）解：∵，
∴点的坐标为，即，
∵点的坐标为，
∴点到点的距离1012．
故答案为：1012
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系，点的坐标的规律题，明确题意，准确得到点的坐标为是解题的关键．
6．（2022秋·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，点从原点出发，沿轴正方向按折线不断向前运动，其移动路线如图所示．这时点，，，的坐标分别为，，，，，按照这个规律，解决下列问题：

(1)写出下列点的坐标：　　，　　，　　，　　；
(2)点和点的位置分别在 　　，　　．（填轴上方、轴下方或轴上）
【答案】(1)，，，
(2)轴上，轴下方
【详解】（1）根据题意可知，，，，，，，，；
故答案为：，，，
（2）根据图象可得移动6次图象完成一个循环，
，，
则点的纵坐标是0，点的纵坐标是，
点在轴上，在轴下方．
故答案为：轴上，轴下方．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标变化规律，关键是由点的坐标变化得到一般规律．

【考点六 平面直角坐标系中图形变换规律探究问题】
例题：（2022·河南·郑州中原一中实验学校八年级期末）如图，矩形的两边、分别在轴、轴上，点与原点重合，点A（-2，3），将矩形ABCD沿轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为，经过第二次翻滚点A对应点记为依此类推，经过3次翻滚后点A对应点的坐标为（    ）

A．（8，2） B．（3，2） C．（3，3） D．（5，0）
【答案】D
【分析】根据A点坐标可知长方形的长和宽，根据长方形的长和宽分析每次翻滚后A点的落点，由此可解决本题．
【详解】解：∵A点坐标为（-2，3），
∴AB=DC=3，AD=BC=2，
第一次翻滚后点坐标为：（3，2），
第二次翻滚后点的坐标为（5，0），
第三次翻滚是以点为中心进行翻滚，故（5，0），
故选：D．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中的点，能够根据题意分析出图形的运动过程是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东菏泽·八年级期中）如图，在直角坐标系中，已知点、，对连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2022的直角顶点的横坐标为（    ）．

A．8080 B．8085 C．8088 D．8092
【答案】C
【分析】由图可知，△OAB每旋转三次为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为4+5+3=12，探究规律求解即可．
【详解】解：∵点A（-3，0），B（0，4），
∴AB==5，
由图可知，△OAB每旋转三次为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为4+5+3=12，
∵2022÷3=674，
∴△2020的直角顶点是第674个循环组的最后一个三角形的直角顶点．
∵674×12=8088，
∴△2022的直角顶点的坐标为（8088，0）．
故选C．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．解决本题的关键是确定循环的次数．
2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（m，n），经过2020次变换后所得的点A的坐标是（　　）

A．（﹣m，n） B．（﹣m，﹣n） C．（m，﹣n） D．（m，n）
【答案】D
【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2020除以4，然后根据商的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．
【详解】解：点A第一次关于y轴对称后在第一象限，
点A第二次关于x轴对称后在第四象限，
点A第三次关于y轴对称后在第三象限，
点A第四次关于x轴对称后在第二象限，
即点A回到原始位置，
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2020÷4＝505，
∴经过第2020次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第一象限，其坐标为（m，n）．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．
3．（2022·河北·石家庄石门实验学校八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点A，交y轴于点，，，，．．．在直线l上，点，，．．．在x轴的正半轴上，若，，，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，已知点A坐标是（－2，0），则点的横坐标为______．

【答案】##
【分析】先求,,的坐标，探究规律后，根据规律即可解出答案．
【详解】由题意得：
∴
∴
∵
∴的横坐标为
故答案为：．
【点睛】本题考查了点的坐标和等腰直角三角形的性质等知识，利用知识点得出每个点的坐标，寻找出规律是解决问题的关键．
4．（2022·湖北十堰·七年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5的直角△ABO沿x轴向右滚动到的位置，再到的位置…依次进行下去，发现，，…那么点的横坐标为______．

【答案】12135
【分析】根据直角的边长求出点 ，再由沿轴向右滚动到的位置，再到的位置…依次进行下去，即可找到规律，即可求解．
【详解】∵ ， ， ， ，
根据题意知： ，
得：；
继续滚动得：；

发现规律：，
∵ ，解得：
则 ，
∴点的横坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了规律型：点的坐标，找到规律是解题的关键．