湖北省黄冈中学2015年春季高二年级期末考试数学试题（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟．

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）

1、若复数（1＋bi）（2＋i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b＝（　）

A．－2　　　　　　　　　　　　　　B．

C．　　　　　　　　　　　　　　 D．2

2、如果命题“p且q”是假命题，“非p”是真命题，那么（　）

A．命题p一定是真命题

B．命题q一定是真命题

C．命题q可以是真命题也可以是假命题

D．命题q一定是假命题

3、若则a的值是（　）

A．2　　　　　　　　　　　　　　　B．3

C．4　　　　　　　　　　　　　　　D．6

4、曲线y＝－5ex＋3在点（0，－2）处的切线方程为（　）

A．5x＋y＋2＝0　　　　　　　　　　B．y＝5x－2

C．y＝5x＋2　　　　　　　　　　　 D．5x－y＋2＝0

5、函数y＝（3－x2）ex的单调递增区间是（　）

A．（－∞，0）　　　　　　　　　　B．（0，＋∞）

C．（－∞，－3）和（1，＋∞）　　 D．（－3，1）

6、已知点A（4，1，3），B（2，－5，1），C为线段AB上一点且，则点C的坐标为（　）

A．　　　　　　　　　　　B．

C．　　　　　　　　　　　D．

7、若在（1，＋∞）上是减函数，则b的取值范围是（　）

A．[－1，＋∞）　　　　　　　　　 B．（－1，＋∞）

C．（－∞，－1]　　　　　　　　　 D．（－∞，－1）

8、已知方程ax2＋by2＝ab和ax＋by＋c＝0（其中ab≠0，a≠b，c＞0），它们所表示的曲线可能是（　）

9、设斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（　）

A．　　　　　　　　　　　　　　B．

C．　　　　　　　　　　　　　　 D．

10、点P是双曲线左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e的取值范围是（　）

A．　　　　　　　　　　　　 B．

C．（1，＋∞）　　　　　　　　　　 D．

11、直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线的距离等于（　）

A．2　　　　　　　　　　　　　　　B．4

C．　　　　　　　　　　　　　　 D．

12、给出下列命题：

①若函数f（x）的导函数为f′（x），则f（x）在定义域内为增函数的充要条件是对于x∈D，f′（x）＞0恒成立；

②对于空间向量，，且//，则；

③对于空间向量，，且与夹角的余弦值为，则；

④若命题“使得”为假命题，则实数m的取值范围是[2，6]．

其中真命题的序号是（　）

A．①②④　　　　　　　　　　　　 B．②③

C．③④　　　　　　　　　　　　　 D．②④

第Ⅱ卷　非选择题

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13、设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且，当点P在y轴上运动时，点N的轨迹方程为__________．

14、观察下列等式：

……

则当m＜n且m，n∈N时，

（最后结果用m，n表示）．

15、（甲）【平面几何选讲】如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，，∠OAP＝30°，则CP的长为__________．

　　（乙）【极坐标与参数方程】已知直线的参数方程为：，圆C的极坐标方程为，那么，直线l与圆C的位置关系是__________．

　　（丙）【不等式选讲】若，则P，Q的大小关系为__________．

16、（甲）【平面几何选讲】如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G．给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG．

其中正确结论的序号是__________．

　　（乙）【极坐标与参数方程】⊙O1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，⊙O2的参数方程为，则⊙O1与⊙O2公共弦的长度为__________．

　　（丙）【不等式选讲】已知函数，则不等式f（x）≥x2的解集为__________．

三、解答题（本大题共6小题，70分）

17、（本小题满分12分）已知y＝f（x）是二次函数，方程f（x）＝0有两相等实根，且f′（x）＝2x＋2．

　　（1）求f（x）的解析式．

　　（2）求函数y＝f（x）与函数y＝－x2－4x＋1所围成的图形的面积．

18、（本小题满分12分）设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．

　　（1）若a＝1，且pq为真，求实数x的取值范围；

　　（2）p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

19、（本小题满分12分）已知函数f（x）＝lnx－a2x2＋ax（x∈R）．

　　（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；

　　（2）若函数f（x）在区间（1，＋∞）上是减函数，求实数a的取值范围．

20、（本小题满分12分）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝60°，N是BC的中点，将梯形ABCD绕AB旋转90°，得到梯形ABC′D′（如图）．

（1）求证：AC⊥平面ABC′；

（2）求证：C′N∥平面ADD′；

（3）求二面角A－C′N－C的余弦值．

21、（本小题满分12分）如图，已知圆G：经过椭圆的右焦点F及上顶点B，过圆外一点（m，0）（m＞a）倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点，

　　（1）求椭圆的方程；

　　（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求m的取值范围．

四、选考题（本小题满分10分）

22、【平面几何选讲】

　　如图所示，在四边形ABCP中，线段AP与BC的延长线交于点D，已知AB＝AC且A，B，C，P四点共圆．

　　（1）求证：；（2）若AC＝4，求AP·AD的值．

23、【极坐标与参数方程】在极坐标系下，已知圆O：和直线l：，

　　（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；

　　（2）当时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．

24、【不等式选讲】已知函数f（x）＝|x＋1|＋|x－3|．

（1）解不等式f（x）≤3x＋4；

（2）若不等式f（x）≥m的解集为R，设求实数m的取值范围.

答案解析：

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟．

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）

1、若复数（1＋bi）（2＋i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b＝（　）

A．－2　　　　　　　　　　　　　　B．

C．　　　　　　　　　　　　　　 D．2

1、D

解析：为纯虚数，则．

2、如果命题“p且q”是假命题，“非p”是真命题，那么（　）

A．命题p一定是真命题

B．命题q一定是真命题

C．命题q可以是真命题也可以是假命题

D．命题q一定是假命题

2、C

解析：“非p”是真命题，则p为假命题，命题q可以是真命题也可以是假命题．

3、若则a的值是（　）

A．2　　　　　　　　　　　　　　　B．3

C．4　　　　　　　　　　　　　　　D．6

3、A

4、曲线y＝－5ex＋3在点（0，－2）处的切线方程为（　）

A．5x＋y＋2＝0　　　　　　　　　　B．y＝5x－2

C．y＝5x＋2　　　　　　　　　　　 D．5x－y＋2＝0

4、A

解析：曲线y＝－5ex＋3在点（0，－2）处的切线斜率为－5，所以切线方程为y＝－5x－2．

5、函数y＝（3－x2）ex的单调递增区间是（　）

A．（－∞，0）　　　　　　　　　　B．（0，＋∞）

C．（－∞，－3）和（1，＋∞）　　 D．（－3，1）

5、D

解析：y′＝－2xex＋（3－x2）ex＝（－2x＋3－x2）ex＞0，∴2x－3＋x2＜0，∴x∈（－3，1）．

6、已知点A（4，1，3），B（2，－5，1），C为线段AB上一点且，则点C的坐标为（　）

A．　　　　　　　　　　　B．

C．　　　　　　　　　　　D．

6、A

解析：，设C点坐标为（x，y，z），则，．

7、若在（1，＋∞）上是减函数，则b的取值范围是（　）

A．[－1，＋∞）　　　　　　　　　 B．（－1，＋∞）

C．（－∞，－1]　　　　　　　　　 D．（－∞，－1）

7、C

解析：在[1，＋∞）恒成立．∴b≤x（x－2），∴b≤（x（x－2））min＝－1．

8、已知方程ax2＋by2＝ab和ax＋by＋c＝0（其中ab≠0，a≠b，c＞0），它们所表示的曲线可能是（　）

8、B

解析：ax2＋by2＝ab，，当a，b异号时代表双曲线，此时直线斜率为正的，A排除，B符合条件；当a，b都大于0时代表椭圆，此时直线斜率为负的，排除C、D．

9、设斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（　）

A．　　　　　　　　　　　　　　B．

C．　　　　　　　　　　　　　　 D．

9、D

解析：直线与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，由对称性知直线过原点．第一象限内交点的坐标为，．．

10、点P是双曲线左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e的取值范围是（　）

A．　　　　　　　　　　　　 B．

C．（1，＋∞）　　　　　　　　　　 D．

10、B

解析：设双曲线的左焦点为F1，则，∵|PF1|＋|PF|≥2c，，．

11、直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线的距离等于（　）

A．2　　　　　　　　　　　　　　　B．4

C．　　　　　　　　　　　　　　 D．

11、C

解析：直线4kx－4y－k＝0恒过，为抛物线y2＝x的焦点，设A（xA，yA），B（xB，yB），则，则弦AB的中点到直线的距离等于．

12、给出下列命题：

①若函数f（x）的导函数为f′（x），则f（x）在定义域内为增函数的充要条件是对于x∈D，f′（x）＞0恒成立；

②对于空间向量，，且//，则；

③对于空间向量，，且与夹角的余弦值为，则；

④若命题“使得”为假命题，则实数m的取值范围是[2，6]．

其中真命题的序号是（　）

A．①②④　　　　　　　　　　　　 B．②③

C．③④　　　　　　　　　　　　　 D．②④

12、D

解析：①f′（x）在少数点可以为0；②对于空间向量，，且平行于，则；③对于空间向量，，且与夹角的余弦值为，则；④若命题“使得”为假命题，则．

第Ⅱ卷　非选择题

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13、设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且，当点P在y轴上运动时，点N的轨迹方程为__________．

13、y2＝4x

解析：设，

则，

，

．

14、观察下列等式：

……

则当m＜n且m，n∈N时，

（最后结果用m，n表示）．

14、n2－m2

解析：第一行m＝0，n＝1，右边的值为1；第二行m＝2，n＝4，右边的值为12＝42－22；第三行m＝5，n＝8，右边的值为39＝82－52；

所以猜想．

15、（甲）【平面几何选讲】如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，，∠OAP＝30°，则CP的长为__________．

　　（乙）【极坐标与参数方程】已知直线的参数方程为：，圆C的极坐标方程为，那么，直线l与圆C的位置关系是__________．

　　（丙）【不等式选讲】若，则P，Q的大小关系为__________．

15、（甲）【平面几何选讲】

解析：因为圆O的半径为a，，，

而．

（乙）【极坐标与参数方程】相交

解析：直线l的直角坐标方程为，圆C的直角坐标方程为，圆心到直线的距离，直线l与圆C的位置关系是相交．

（丙）【不等式选讲】P<Q

解析：，

．

16、（甲）【平面几何选讲】如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G．给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG．

其中正确结论的序号是__________．

　　（乙）【极坐标与参数方程】⊙O1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，⊙O2的参数方程为，则⊙O1与⊙O2公共弦的长度为__________．

　　（丙）【不等式选讲】已知函数，则不等式f（x）≥x2的解集为__________．

16、（甲）【平面几何选讲】①②

解析：

①

②

（乙）【极坐标与参数方程】

解析：⊙O1极坐标方程为ρ＝4cosθ，直角坐标方程为（x－2）2＋y2＝4；⊙O2参数方程为，直角坐标方程为x2＋（y＋2）2＝4，两式相减，得到x＋y＝0，O1到此直线的距离为，公共弦长为．

（丙）【不等式选讲】[－1，1]

解析：或，所以不等式f（x）≥x2的解集为x∈[－1，1]．

三、解答题（本大题共6小题，70分）

17、（本小题满分12分）已知y＝f（x）是二次函数，方程f（x）＝0有两相等实根，且f′（x）＝2x＋2．

　　（1）求f（x）的解析式．

　　（2）求函数y＝f（x）与函数y＝－x2－4x＋1所围成的图形的面积．

解析：（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）．由题意得

∴a＝1，b＝2，c＝1．（3分）

∴f（x）＝x2＋2x＋1．（4分）

（2）由题．（6分）

．（12分）

18、（本小题满分12分）设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．

　　（1）若a＝1，且pq为真，求实数x的取值范围；

　　（2）p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解析：（1）由x2－4ax＋3a2＜0，得（x－3a）（x－a）＜0．

又a＞0，所以a＜x＜3a，

当a＝1时，1＜x＜3，即p为真命题时，1＜x＜3．（2分）

由，

解得，即2＜x≤3．

所以q为真时，2＜x≤3．（4分）

若为真，则，

所以实数x的取值范围是（2，3）．（5分）

（2）设，

因为是的充分不必要条件，

所以．（7分）

所以0＜a≤2且3a＞3，即1＜a≤2．

所以实数a的取值范围是（1，2]．（12分）

19、（本小题满分12分）已知函数f（x）＝lnx－a2x2＋ax（x∈R）．

　　（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；

　　（2）若函数f（x）在区间（1，＋∞）上是减函数，求实数a的取值范围．

解析：（1）当a＝1时，f（x）＝lnx－x2＋x，其定义域是（0，＋∞），

，（2分）

令f（x）＝0，即，解得或x＝1．

∵x＞0，∴x＝1．

当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0．

∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，＋∞）上单调递减．（4分）

（2）显然函数f（x）＝lnx－a2x2＋ax的定义域为（0，＋∞），

．（5分）

①当a＝0时，，

∴f（x）在区间（1，＋∞）上为增函数，不合题意．（6分）

②当a＞0时，f′（x）≤0（x＞0）等价于

（2ax＋1）·（ax－1）≥0（x＞0），即，

此时f（x）的单调递减区间为．

由．（7分）

③当a＜0时，f′（x）≤0（x＞0）等价于

（2ax＋1）·（ax－1）≥0（x＞0），即，

此时f（x）的单调递减区间为．

由．（8分）

综上，实数a的取值范围是．（12分）

20、（本小题满分12分）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝60°，N是BC的中点，将梯形ABCD绕AB旋转90°，得到梯形ABC′D′（如图）．

（1）求证：AC⊥平面ABC′；

（2）求证：C′N∥平面ADD′；

（3）求二面角A－C′N－C的余弦值．

解析：（1）证明：

，N是BC的中点，∴AD＝NC，又AD∥BC，

∴四边形ANCD是平行四边形，

∴AN＝DC，又∠ABC＝60°，∴AB＝BN＝AD，

∴四边形ANCD是菱形，

，

∴∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又平面C′BA⊥平面ABC，

平面C′BA∩平面ABC＝AB，∴AC⊥平面ABC′．（3分）

（2）证明：∵AD∥BC，AD′∥BC′，AD∩AD′＝A，BC∩BC′＝B，

∴平面ADD′∥平面BCC′，又C′N平面BCC′，

∴C′N∥平面ADD′．（6分）

（3）解：∵AC⊥平面ABC′，AC′⊥平面ABC．

如图建立空间直角坐标系，

设

，

设平面C′NC的法向量为n＝（x，y，z）

取z＝1，则．

∵AC′⊥平面ABC，∴平面C′AN⊥平面ABC，又BD⊥AN，

平面C′AN∩平面ABC＝AN，∴BD⊥平面C′AN，BD与AN交于点O，

O则为AN的中点，，∴平面C′AN的法向量．

，

由图形可知二面角A—C′N—C为钝角，

所以二面角A—C′N—C的余弦值为．（12分）

21、（本小题满分12分）如图，已知圆G：经过椭圆的右焦点F及上顶点B，过圆外一点（m，0）（m＞a）倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点，

　　（1）求椭圆的方程；

　　（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求m的取值范围．

解析：（Ⅰ）∵圆G：经过点F、B．，

．故椭圆的方程为．（4分）

（Ⅱ）设直线l的方程为．

由消去y得．（6分）

设，则，

．

．

∵点F在圆E的外部，，（10分）

即，解得m＜0或m＞3．

由，解得．

又．（12分）

四、选考题（本小题满分10分）

22、【平面几何选讲】

　　如图所示，在四边形ABCP中，线段AP与BC的延长线交于点D，已知AB＝AC且A，B，C，P四点共圆．

　　（1）求证：；（2）若AC＝4，求AP·AD的值．

解：（1）证明：因为点A，B，C，P四点共圆，所以∠ABC＋∠APC＝180°，又因为∠DPC＋∠APC＝180°，所以∠DPC＝∠ABC，又因为∠D＝∠D，所以△DPC∽△DBA，所以，又因为AB＝AC，所以．（5分）

（2）因为AB＝AC，所以∠ACB＝∠ABC，又∠ACD＋∠ACB＝180°，所以∠ACD＋∠ABC＝180°．由于∠ABC＋∠APC＝180°，所以∠ACD＝∠APC，又∠CAP＝∠DAC，所以△APC∽△ACD，所以，所以AP·AD＝AC2＝16．（10分）

23、【极坐标与参数方程】在极坐标系下，已知圆O：和直线l：，

　　（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；

　　（2）当时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．

解：（1）圆O：，即

圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0．（2分）

直线l：，即

则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0．（5分）

（Ⅱ）由．（8分）

故直线l与圆O公共点的一个极坐标为．（10分）

24、【不等式选讲】已知函数f（x）＝|x＋1|＋|x－3|．

（1）解不等式f（x）≤3x＋4；

（2）若不等式f（x）≥m的解集为R，设求实数m的取值范围.

解：（1），

原不等式等价于：，

∴不等式的解集为[0，＋∞）；

（2）由绝对值的几何意义可知，|x＋1|＋|x－3|≥4，当且仅当－1≤x≤3时，等号成立，即f（x）min＝4，从而要使f（x）≥m的解集为R，只需m≤f（x）min，即实数m的取值范围是（－∞，4]．