湖北省黄冈中学2011-2012学年高一下学期期末考试数学（理）试题

黄冈中学2012年春季高一数学期末考试试题（理科）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

１．直线的倾斜角为，则实数满足的关系是　　　    （　 　）

A．  　　 B． 　　　 C．  　  D．

解：Ａ　　因为斜率．

2．给出下列命题：                                                      

①平行于同一条直线的两直线互相平行；②平行于同一平面的两条直线互相平行；

③垂直于同一直线的两条直线互相平行；④垂直于同一平面的两条直线互相平行．

   其中真命题的个数是                                                  （     ）

   A．1       　B．2    　  C．3        D．4

解：B     ②和③的两直线还可以异面或相交．

3．已知直线与，若，则 （     ）

A．2           B．           C．               D．

解：C   因为，得 当时两直线重合．

4．某几何体的正视图和侧视图均如图（1）所示，则该几何体的俯视图不可能是 （     ）

解：D   因为图形为D时，正视图上方的矩形中间应该有一条虚线．

5．直线（）的倾斜角范围是                （     ）

 A．        B．       C．      D．

解：C 因为所以直线的斜率，所以有．

6．过点P（-1，1）的直线与圆相交于A、B两点，当|AB|取最小值时，直线的方程是                                                （　　 ）

A．    B．  C．      D．

解：D  |AB|取最小值，则直线与点P和圆心的连线垂直，所以直线的斜率等于-1，方程为．

７．下列四个正方体图形中，，为正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是                                                                                                  （   ）             

①                 ②                   ③                   ④

A．①、②             B．①、③             C． ②、③         D．②、④

解：B  在①中平行所在正方体的那个侧面的对角线，从而平行，所以平面；在③中设过点且垂直于上底面的棱与上底面交点为，则由，可知平面平行平面，即平面．                

8．若直线与圆交于M，N两点，且M，N关于直线

对称，则实数                                       （      ）                         A．                B．                   C．              D．

解：B 由题意知的中垂线为直线，所以，此时圆：

，所以圆心坐标为，代入得，所以.

9．一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是

等边三角形，该四棱锥的体积是　（　　　）

正（主）视图　　侧（左）视图　

A．　　　　　　　Ｂ．

Ｃ．　　　　　　Ｄ．　  　　　　　　　　　　　　　俯视图

9．解：A可得棱锥的直观图如右，等边三角形的高即为

棱锥的高，所以棱锥体积为．

10．已知矩形，，．将△沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列结论正确的是                               （     ）

A．存在某个位置，使得直线与直线垂直．

B．存在某个位置，使得直线与直线垂直．

C．存在某个位置，使得直线与直线垂直．

D．对任意位置，三对直线“与”，“ 与”，“ 与”均不垂直．

解：C 易知A错，对于结论B、C，我们首先考察两个特殊情形：在翻折过程中，

平面平面，和平面平面，可以发现．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案写在横线上.

11．若直线与互相垂直，则的值是_________．

11．解：  ，得．

12．已知点,自点Ｍ向圆引切线，则切线方程是___________．

12．解：当斜率存在时，可以求得方程为；当斜率不存在时，可以求得方程为．  故可填：和.

13．将直线绕原点顺时针旋转，再向左平移１个单位，所得到的直线的方程为_________．

13．解：直线绕原点顺时针旋转的直线为，再将向左平移１个单位得，即．

14．已知底面边长为2的四棱锥的顶点都在球O的表

面上，且PA⊥平面ABCD．若PA=2,则球O的表面积为_________．

14．解：可以将四棱锥补成球的内接长方体，其对角线的长等于，即球的半径长等于，所以其表面积等于

15．若方程有两个实数根，则实数的取值范围是        ．

15．解：令，当时，，当时， 综上作出它的图象，要使它与直线有两个不同的交点，则直线必须通过蓝色或黄色区域内，如图，则此时当直线经过黄色区域时，满足，当经过蓝色区域时，满足，综上实数的取值范围是或．

【答案】或．

三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤.

16．（本小题满分12分）已知圆C的圆心在直线上，与轴相切，且被直线 截得的弦长为，求圆C的方程．

16．解： 依题意设圆心C，则半径为．

因为圆被直线截得的弦长为，所以圆心到直线的距离，解得，和．

于是，所求圆C的方程为：或．

17．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC＝２，BC＝，E是PC的中点．

（Ⅰ）证明：PA∥平面EDB；

（Ⅱ）求异面直线AD 与BE所成角的大小． 

17．证明：（Ⅰ）连接AC，设AC∩BD=O，连接EO，

∵四边形ABCD为矩形，∴O为AC的中点．

∴OE为△PAC的中位线． 

∴PA∥OE，而OE平面EDB，PA平面EBD，

∴PA∥平面EDB.                    ……………6分

（Ⅱ）∵AD∥BC，∴就是异面直线AD 与BE所成的角或补角. ………8分

  ∵PD⊥平面ABCD， BC平面ABCD ，∴BC⊥PD.又四边形ABCD为矩形，

∴BC⊥DC．又因为PDDC= D，所以BC⊥平面PDC. 

 在BCE中BC＝，EC＝，∴.   

   即异面直线AD 与BE所成角大小为．   ……………12分

18．（本小题满分12分）如图，三棱锥V—ABC中， VA=VB＝AC=BC=２，AB＝，VC=1．

（Ⅰ）证明： AB⊥VC；

（Ⅱ）求三棱锥V—ABC的体积．

18．证明：（Ⅰ）取AB的中点为D，连接VD，CD．

∵VA=VB，∴AB⊥VD；同理AB⊥CD．

于是AB⊥平面VDC．又VC平面VDC，故AB⊥VC．

解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知AB⊥平面VDC．由题设可知VD＝CD =1，又VC=1，

故三棱锥V—ABC的体积等于．

19．（本小题满分12分）已知中，边上的高所在的直线方程为， 的角平分线所在的直线方程为，点的坐标为．

（Ⅰ）求点和点的坐标；

（Ⅱ）又过点作直线与轴、轴的正半轴分别交于点，求的面积最小值及此时直线的方程.

20．解：（Ⅰ）因为点在边上的高上，又在 的角平分线上，所以解方程组  得.……………2分

边上的高所在的直线方程为，，

点的坐标为，所以直线的方程为，

， ，所以直线的方程为，

解方程组  得,

故点和点的坐标分别为，．       ……………6分

（Ⅱ）依题意直线的斜率存在，设直线的方程为：，则，所以

，当且仅当时取等号，所以，此时直线的方程是．                 ……………12分

20．（本小题满分13分）如图，在三棱锥中，，，，，且平面平面．

（Ⅰ）求直线与平面所成的角的正切值；

（Ⅱ）求二面角的正切值．

解：（Ⅰ）过点作于，连接．由平面平面，知平面，即所成的角．……………2分

因为不妨设PA=2，

则OP=, AO= 1，AB=4．

因为，所以，

OC=．

在Rttan．

即直线与平面所成的角的正切值为．……………6分

（2）过C作CD于Ｄ，由平面平面，知CD平面PAB.

过点Ｄ作DE PA于E，连接CE，据三垂线定理可知CE⊥PA，

所以，.…………9分

由（1）知AB=4，又，，

所以CD=，DE=．

在Rt△CDE中，tan

故             ……………13分

21. （本小题满分14分）已知定点，，动点到定点距离与到定点的距离的比值是.

（Ⅰ）求动点的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；

（Ⅱ）当时，记动点的轨迹为曲线.

①若是圆上任意一点，过作曲线的切线，切点是，求的取值范围；

②已知，是曲线上不同的两点，对于定点，有.试问无论，两点的位置怎样，直线能恒和一个定圆相切吗？若能，求出这个定圆的方程；若不能，请说明理由.

解（Ⅰ）设动点的坐标为，则由，得，

整理得: .

，

当时，则方程可化为：，故方程表示的曲线是线段的垂直平分线；

当时，则方程可化为，即方程表示的曲线是以为圆心，为半径的圆. ……………5分

（Ⅱ）当时，曲线的方程是，

故曲线表示圆，圆心是，半径是.

①由，及有：

两圆内含，且圆在圆内部.如图所示，由有: ,故求的取值范围就是求的取值范围.而是定点，是圆上的动点，故过作

圆的直径，得，，故，. ……………9分

②解法一：设点到直线的距离为，，

则由面积相等得到，且圆的半径. 

即于是顶点 到动直线的距离为定值，

即动直线与定圆相切.

②解法二：设，两点的坐标分别为，，则由有：，结合有：

，若经过、两点的直线的斜率存在，设直线的方程为，由，消去有： ，则，，

所以，由此可得，也即，……………………（ ※ ）.

假设存在定圆，总与直线相切，则

是定值，即与无关，与……（ ※ ）对比，有，此时，故存在定圆，当直线的斜率不存在时，，直线的方程是，显然和圆相切.故直线能恒切于一个定圆.             ……………14分