高中数学初高衔接教材精编版——第1讲 数与式的运算

第一讲 数与式的运算

 在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．

一、乘法公式

【公式1】

证明：

   等式成立

【例1】计算：

解：原式=

 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．

 【公式2】(立方和公式)

 证明:

 说明:请同学用文字语言表述公式2.

 【例2】计算：

 解：原式=

 我们得到：

 【公式3】(立方差公式)

请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式．

【例3】计算：

（1）  （2）

（3） （4）

解：（1）原式=

 （2）原式=

 （3）原式=

 （4）原式=

说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．

      （2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．

【例4】已知，求的值．

解：   

原式=

 说明：本题若先从方程中解出的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．

【例5】已知，求的值．

解：

 原式=

    ①

  ②，把②代入①得原式=

说明：注意字母的整体代换技巧的应用．

引申：同学可以探求并证明：

二、根式

 式子叫做二次根式，其性质如下：

 (1)     (2)

 (3)  (4)

【例6】化简下列各式：

(1)   (2)

解：(1) 原式=

 (2) 原式=

说明：请注意性质的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．

【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：

(1)   (2)   (3)

解：(1) 原式=

 (2) 原式=

 (3) 原式=

说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(如)或被开方数有分母(如)．这时可将其化为形式(如可化为) ，转化为 “分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如化为，其中与叫做互为有理化因式)．

【例8】计算：

(1)   (2)

解：(1) 原式=

 (2) 原式=

说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．

【例9】设，求的值．

解：

原式=

说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．

三、分式

当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．

【例10】化简

解法一：原式=

解法一：原式=

说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．

【例11】化简

解：原式=

说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．

 A    组

1．二次根式成立的条件是( )

 A．   B．   C．   D．是任意实数

2．若，则的值是( )

 A．－３    B．３    C．－９    D．９

3．计算：

 (1)       (2)

 (3)    (4)

4．化简(下列的取值范围均使根式有意义)：

 (1)         (2)

 (3)        (4)

5．化简：

 (1)    (2)

 B    组

1．若，则的值为( )：

 A．    B．    C．     D．

2．计算：

 (1)   (2)

3．设，求代数式的值．

4．当，求的值．

5．设、为实数，且，求的值．

6．已知，求代数式的值．

7．设，求的值．

8．展开

9．计算

10．计算

11．化简或计算：

 (1)    

 (2)

 (3)   

 (4)

第一讲 习题答案

A组

1． C  2． A

3． (1)    (2)

 (3)         (4)

4．

5．

B组

1． D   2．      3．

4．  5．  6．  3    7．

8．

9．

10．

11．