2022北京房山初三一模数学（教师版）

这是一份2022北京房山初三一模数学（教师版），共32页。

2022北京房山初三一模
数 学
考生须知：
1．本试卷共10页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和准考证号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）


A. 三棱柱 B. 长方体 C. 圆锥 D. 圆柱
2. 2021年我国加大农村义务教育薄弱环节建设力度，提高学生营养改善计划补助标准，约37000000学生受益．将37000000用科学记数法表示应为（ ）
A. 0.37×106 B. 3.7×106 C. 3.7×107 D. 37×106
3. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）

A. b-c＜0 B. b＞-2 C. a+c＞0 D. |b|＞|c|
4. 下列多边形中，内角和为720°的是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A. 平行四边形 B. 等腰三角形 C. 正五边形 D. 矩形
6. 将宽为2 cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕AB的长是(　　)

A. cm B. 2cm C. 4cm D. cm
7. 第 24 届冬奥会将于 2022 年在北京和张家口举行，冬奥会的项目有滑雪（如跳台滑雪、高山滑雪、单板滑雪等）、滑冰（如短道速滑、速度滑冰、花样滑冰等）、冰球、冰壶等．如图，有 5 张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有高山滑雪、速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶五种不同的图案，背面完全相同．现将这 5 张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪项目图案的概率是（ ）

A. B. C. D.
8. 某长方体木块的底面是正方形，它的高比底面边长还多50cm，把这个长方体表面涂满油漆时，如果每平方米费用为16元，那么总费用与底面边长满足的函数关系是（ ）
A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系
C. 反比例函数关系 D. 二次函数关系
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是__________．
10. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D 点．若 BD 平分∠ABC, 则∠A＝________________ °．

11. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______．
12. 写出一个比大且比4小的无理数_______．
13. 如图，点A，B，C在⊙O上，若∠OCB=20°，则∠A度数为_________．

14. 已知点A(1，2)，B在反比例函数的图象上，若OA=OB，则点B的坐标为_________．
15. 下表记录了甲、乙、丙三名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：

甲
乙
丙
平均数
9.35
9.35
9.34
方差
6.6
6.9
6.7
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择________．
16. 某市为进一步加快文明城市的建设，园林局尝试种植A、B两种树种．经过试种后发现，种植A种树苗a棵，种下后成活了棵，种植B种树苗b棵，种下后成活了（b-2）棵．第一阶段两种树苗共种植40棵，且两种树苗的成活棵树相同，则种植A种树苗_________棵．第二阶段，该园林局又种植A种树苗m棵，B种树苗n棵，若m=2n，在第一阶段的基础上进行统计，则这两个阶段种植A种树苗成活棵数_________种植B种树苗成活棵数（填“＞”“＜”或“＝”）．
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21—22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27—28题，每题7分）．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
17. 计算：．
18. 解不等式组:
19. 已知，求代数式的值．
20. 已知：如图，点M为锐角∠APB 的边PA上一点．
求作：∠AMD，使得点D在边PB上，且∠AMD ＝2∠P．
作法：
①以点M为圆心，MP长为半径画圆，交PA于另一点C，交PB于点D点；
②作射线MD．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．
证明：∵P、C、D都⊙M 上，
∠P为弧CD所对的圆周角，∠CMD为弧CD所对的圆心角，
∴∠P＝∠CMD（ ）（填推理依据）．
∴∠AMD＝2∠P．
21. 如图，一个单向隧道断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度为4米，最高处到地面的距离为4米，两侧墙高均为3米，距左侧墙壁1米和3米时，隧道高度均为3.75米．设距左侧墙壁水平距离为x米的地点，隧道高度为y米．

请解决以下问题：
（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接；
（2）请结合所画图象，写出抛物线的对称轴；
（3）今有宽为2.4米的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的高度为3.2米，要求卡车从隧道中间通过时，为保证安全，要求卡车载物后最高点到隧道顶面对应的点的距离均不小于0.6米，结合所画图象，试判断该卡车能否通过隧道．
22. 如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，过点C作CFEB交AB的延长线于点F．

（1）求证：四边形BFCE是矩形；
（2）连接AC，若AB=BE=2，，求AC长
23. 如图1，一次函数y=kx+4k（k≠0）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且经过点C（2，m）．

（1）当时，求一次函数的解析式并求出点A的坐标；
（2）当x>-1时，对于x的每一个值，函数y=x的值大于一次函数y=kx+4k（k≠0）的值，求k的取值范围．
24. 如图，BE是⊙O直径，点A是⊙O外一点：OA⊥OB，AP切⊙O于点P，连接BP交AO于点C．

（1）求证：∠PAO=2∠PBO；
（2）若⊙O半径为5，，求BP的长．
25. 为庆祝中国共产党建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，继承革命先烈的优良传统，某中学开展了建党100周年知识测试．该校七、八年级各有300名学生参加，从中各随机抽取了50名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：
a．八年级的频数分布直方图如下（数据分为5组：50≤x<60﹐60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100）；

b．八年级学生成绩在80≤x<90的这一组是：
80 81 82 83 83 83.5 83.5 84 84 85 86 86.5 87 88 89 89
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
87.2
85
91
八年级
85.3
m
90
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为_______________________；
（2）在随机抽样的学生中，建党知识成绩为84分的学生，在___________年级抽样学生中排名更靠前，理由是_______________________；
（3）若成绩85分及以上为“优秀”，请估计八年级达到“优秀”的人数．
26. 已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（1，0）与点C（0，-3），其顶点为P．

（1）求二次函数的解析式及P点坐标；
（2）当m≤x≤m+1时，y的取值范围是-4≤y≤2m，求m的值．
27. 已知：等边△ABC，过点B作AC平行线l．点P为射线AB上一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转60°交直线l于点D．

（1）如图1，点P在线段AB上时，依题意补全图形；
①求证：∠BDP=∠PCB；
②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数里关系，并证明；
（2）点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．
28. 如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P，Q两点（Q在P，H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把PQ·PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．

（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4），半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A，B，C，D．
①过点E作垂直于y轴的直线m﹐则⊙O关于直线m的“远点”是点__________________（填“A”，“B”，“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为_____________；
②若直线n的函数表达式为，求⊙O关于直线n的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系xOy、中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点N（–1，0）是⊙F关于直线l的“远点”，且⊙F关于直线l的“特征数”是，直接写出直线l的函数解析式．

参考答案
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）


A. 三棱柱 B. 长方体 C. 圆锥 D. 圆柱
【答案】A
【解析】
【分析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．
故选：A．
【点睛】此题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是熟记一些简单的几何体的三视图．
2. 2021年我国加大农村义务教育薄弱环节建设力度，提高学生营养改善计划补助标准，约37000000学生受益．将37000000用科学记数法表示应为（ ）
A. 0.37×106 B. 3.7×106 C. 3.7×107 D. 37×106
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，解题的关键是正确确定的值以及的值．
3. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）

A. b-c＜0 B. b＞-2 C. a+c＞0 D. |b|＞|c|
【答案】B
【解析】
【分析】由图得，利用有理数的加减运算法则及绝对值的意义即可完成．
【详解】由图知：，
则，则A错误，不符合题意；
，则B正确，符合题意；
，则C错误，不符合题意；
，则D错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴上有理数大小的比较，有理数的加减法则，绝对值的意义，数形结合是本题的关键．
4. 下列多边形中，内角和为720°的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用n边形内角和公式为(n-2)×180°，构造方程确定n即可．
【详解】∵n边形内角和公式为(n-2)×180°，
∴(n-2)×180°=720°，
解得n=6，
故选D．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，熟练掌握公式，准确解方程，准确识图是解题的关键．
5. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A. 平行四边形 B. 等腰三角形 C. 正五边形 D. 矩形
【答案】D
【解析】
【分析】一个图形绕着某固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可．
【详解】四个选项中是中心对称图形的是：平行四边形和矩形；四个选项中是轴对称图形的是：等腰三角形、正五边形及矩形，所以满足题意的是矩形；
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，掌握两者的概念并知道一些常见中心对称图形和轴对称图形是关键．
6. 将宽为2 cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕AB的长是(　　)

A. cm B. 2cm C. 4cm D. cm
【答案】A
【解析】
【分析】由图中条件可知纸片重叠部分的三角形ABO是等边三角形，此三角形的高是AM=2，求边长，利用锐角三角函数可求．
【详解】解：如图，

作AM⊥OB，BN⊥OA，垂足为M、N，
∵长方形纸条的宽为2cm，
∴AM=BN=2cm，
∴OB=OA，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
Rt△ABN中，AB===cm．
故选A．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定及解直角三角形的运用．关键是由已知推出等边三角形ABO，有一定难度．
7. 第 24 届冬奥会将于 2022 年在北京和张家口举行，冬奥会项目有滑雪（如跳台滑雪、高山滑雪、单板滑雪等）、滑冰（如短道速滑、速度滑冰、花样滑冰等）、冰球、冰壶等．如图，有 5 张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有高山滑雪、速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶五种不同的图案，背面完全相同．现将这 5 张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪项目图案的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先找出滑雪项目图案的张数，结合5 张形状、大小、质地均相同的卡片，再根据概率公式即可求解．
【详解】∵有 5 张形状、大小、质地均相同的卡片，滑雪项目图案的有高山滑雪和单板滑雪2张，
∴从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪项目图案的概率是.
故选B．
【点睛】本题考查了简单事件的概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8. 某长方体木块的底面是正方形，它的高比底面边长还多50cm，把这个长方体表面涂满油漆时，如果每平方米费用为16元，那么总费用与底面边长满足的函数关系是（ ）
A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系
C. 反比例函数关系 D. 二次函数关系
【答案】D
【解析】
【分析】设底面边长为xcm，则正方体的高为(x+50)cm，设总费用为y元，则可表示出y与x的函数关系，根据关系式即可作出选择．
【详解】设底面边长为xcm，则正方体的高为(x+50)cm，设总费用为y元，
由题意得：，
这是关于一个二次函数．
故选：D．
【点睛】本题考查了列函数关系并判断函数形式，关键是根据题意列出函数关系式．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件即可求得．
【详解】解：代数式有意义，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握和运用分式有意义的条件是解决本题的关键．
10. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D 点．若 BD 平分∠ABC, 则∠A＝________________ °．

【答案】36．
【解析】
【详解】试题分析：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵AB垂直平分线MN交AC于D点．
∴∠A＝∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠C＝2∠A＝∠ABC，
设∠A为x，
可得：x+x+x+2x＝180°，
解得：x＝36°，
故答案为36．
点睛：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得出角相等，然后在一个三角形中利用内角和定理列方程即可得出答案．
11. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出a的范围即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
整理得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式的意义是解题的关键．
12. 写出一个比大且比4小的无理数_______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据实数的大小比较即可求出答案．
【详解】解：∵11＜13＜16，
∴
∴比大且比4小的无理数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查实数比较大小，解题的关键是熟练运用实数比较大小的法则，本题属于基础题型．
13. 如图，点A，B，C在⊙O上，若∠OCB=20°，则∠A度数为_________．

【答案】70°
【解析】
【分析】由OB＝OC，∠OCB＝20°，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠BOC的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，求得∠A的度数．
【详解】解：∵OB＝OC，∠OCB＝20°，
∴∠OBC＝∠OCB＝20°，
∴∠BOC＝180°―∠OBC―∠OCB＝180°﹣20°﹣20°＝140°，
∴∠A＝∠BOC＝70°
故答案为：70°
【点睛】此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．
14. 已知点A(1，2)，B在反比例函数的图象上，若OA=OB，则点B的坐标为_________．
【答案】（2，1）
【解析】
【分析】根据点A，B关于y=x（y-x=0）的对称，求解即可
【详解】解：∵点A(1，2)，B在反比例函数的图象上，OA=OB，
∴点A，B关于直线y=x（y-x=0）的对称，
设点（1，2）关于直线y=x（y-x=0）的对称点设为（a，b）
由两点中点在直线y=x上及过两点的直线垂直直线y=x（斜率之积为-1）
可以得到：，
解得：a=2，b=1，
∴点B的坐标为（2,1）
故答案为：（2，1）

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用已知条件得出：点A，B关于直线y=x（y-x=0）的对称是解题的关键．
15. 下表记录了甲、乙、丙三名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：

甲
乙
丙
平均数
9.35
9.35
9.34
方差
6.6
6.9
6.7
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择________．
【答案】甲
【解析】
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小参加比赛．
【详解】解：∵甲和乙的平均数相同且大于丙的平均数，
∴从甲和乙中选择一人参加竞赛，
∵甲的方差较小，
∴选择甲参加比赛，
故答案为：甲．
【点睛】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
16. 某市为进一步加快文明城市的建设，园林局尝试种植A、B两种树种．经过试种后发现，种植A种树苗a棵，种下后成活了棵，种植B种树苗b棵，种下后成活了（b-2）棵．第一阶段两种树苗共种植40棵，且两种树苗的成活棵树相同，则种植A种树苗_________棵．第二阶段，该园林局又种植A种树苗m棵，B种树苗n棵，若m=2n，在第一阶段的基础上进行统计，则这两个阶段种植A种树苗成活棵数_________种植B种树苗成活棵数（填“＞”“＜”或“＝”）．
【答案】 ①. 22 ②. >
【解析】
【详解】解：第一阶段，依题意得：，
解得：，
则种植A种树苗22棵；
第二阶段，∵种植A种树苗m棵，B种树苗n棵，若m=2n，
∴A种树苗成活了 n+5(棵)，
B种树苗成活了n-2(棵)，
∴这两个阶段A种树苗共成活了×22+5+ n+5= n+21(棵)，
B种树苗共成活了18-2+ n-2= n+14(棵)，
∵n+21> n+14，
∴这两个阶段A种树苗共成活棵数>B种树苗共成活棵数，
故答案为：>．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，列代数式，整式的加减运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21—22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27—28题，每题7分）．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据特殊三角函数值、负整数指数幂、零指数幂的法则、二次根式的化简进行计算即可．
【详解】解：
＝2×－4 ＋1－
＝－4 ＋1－

【点睛】本题考查了特殊三角函数值、负整数指数幂、零指数幂的法则、二次根式的运算等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18. 解不等式组:
【答案】
【解析】
【分析】先求得每个不等式的解集，后根据口诀确定不等式组的解集．
【详解】解：
，
，
∴
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握解不等式组的基本步骤是解题的关键．
19. 已知，求代数式的值．
【答案】3
【解析】
【分析】先对分式通分、因式分解、化简，化成最简分式，后变形已知条件，整体代入求值．
【详解】解：

，
，
，

【点睛】本题考查了分式的化简求值，运用完全平方公式，通分，约分等技巧化简是解题的关键，整体代入求值是解题的灵魂．
20. 已知：如图，点M为锐角∠APB 的边PA上一点．
求作：∠AMD，使得点D在边PB上，且∠AMD ＝2∠P．
作法：
①以点M为圆心，MP长为半径画圆，交PA于另一点C，交PB于点D点；
②作射线MD．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．
证明：∵P、C、D都在⊙M 上，
∠P为弧CD所对的圆周角，∠CMD为弧CD所对的圆心角，
∴∠P＝∠CMD（ ）（填推理依据）．
∴∠AMD＝2∠P．
【答案】（1）见详解；（2）在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.
【解析】
【分析】（1）由题意根据题干中要求的作法进行作图即可补全图形；
（2）由题意根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半即可完成证明．
【详解】解：（1）如图，即为补全的图形，

（2）证明：∵P、C、D都在⊙M上，
∠P为弧CD所对的圆周角，∠CMD为弧CD所对的圆心角，
∴∠P=∠CMD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半），
∴∠AMD=2∠P．
故答案为：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理．
21. 如图，一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度为4米，最高处到地面的距离为4米，两侧墙高均为3米，距左侧墙壁1米和3米时，隧道高度均为3.75米．设距左侧墙壁水平距离为x米的地点，隧道高度为y米．

请解决以下问题：
（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接；
（2）请结合所画图象，写出抛物线的对称轴；
（3）今有宽为2.4米的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的高度为3.2米，要求卡车从隧道中间通过时，为保证安全，要求卡车载物后最高点到隧道顶面对应的点的距离均不小于0.6米，结合所画图象，试判断该卡车能否通过隧道．
【答案】（1）见解析 （2）直线x=2
（3）不能通过隧道
【解析】
【分析】（1）由题意描出点A(0,3)、B(1,3.75)、C(4,3)及点D(3,3.75)，用光滑的曲线连接起来即可得到所画的曲线；
（2）
【小问1详解】

【小问2详解】
由图象知，抛物线的对称轴为直线x=2
【小问3详解】
设抛物线的解析式为
把A、B、C三点的坐标代入得：
解得：
故函数解析式为
当时，
∵3.64−3.2=0.44<0.6
∴卡车不能通过隧道
【点睛】本题是二次函数的实际应用问题，考查了建立适当坐标系画二次函数的图象，求二次函数图象的对称轴、解析式及函数值等知识，能够根据实际问题转化为数学问题并解答．
22. 如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，过点C作CFEB交AB的延长线于点F．

（1）求证：四边形BFCE是矩形；
（2）连接AC，若AB=BE=2，，求AC的长
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先证明四边形BFCE是平行四边形，再根据即可求证；
（2）利用矩形的性质得到，根据得到，根据勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：

∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形
∵
∴
∴四边形是矩形．
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理以及三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
23. 如图1，一次函数y=kx+4k（k≠0）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且经过点C（2，m）．

（1）当时，求一次函数的解析式并求出点A的坐标；
（2）当x>-1时，对于x的每一个值，函数y=x的值大于一次函数y=kx+4k（k≠0）的值，求k的取值范围．
【答案】（1）一次函数表达式为，点的坐标为（﹣4，0）
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，把点C的坐标代入y=kx+4k（k≠0），即可求得k的值，得到一次函数表达式，再求出点A的坐标即可；
（2）根据图像得到不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴将点代入，
解得；
∴一次函数表达式为，
当y＝0时，，
解得x＝﹣4
∵一次函数的图象与x轴交于点A，
∴点的坐标为（﹣4，0）．
【小问2详解】
解：∵当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，结合函数图象可知，
当时，，
解得．
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用函数图像解不等式，数形结合是解答本题关键．
24. 如图，BE是⊙O直径，点A是⊙O外一点：OA⊥OB，AP切⊙O于点P，连接BP交AO于点C．

（1）求证：∠PAO=2∠PBO；
（2）若⊙O的半径为5，，求BP的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，由切线的性质及垂直条件可得，再由等腰三角形的性质即可证得结果；
（2）过点作于点，，设，则可求得OB，从而可得k的值，则在中由勾股定理即可求得PB的长．
【小问1详解】
证明：连接

∵切⊙O于点
∴
∴
∵
∴
∴
∵OP=OB
∴∠OPB=∠PBO
∴
∴
【小问2详解】
解：过点作于点
∵
∴
∴设
∴由勾股定理得：
∵⊙O半径为5
∴
∴
∴
∴
∴在中，

【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及正切函数的定义等知识，连接半径是关键．
25. 为庆祝中国共产党建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，继承革命先烈的优良传统，某中学开展了建党100周年知识测试．该校七、八年级各有300名学生参加，从中各随机抽取了50名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：
a．八年级的频数分布直方图如下（数据分为5组：50≤x<60﹐60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100）；

b．八年级学生成绩在80≤x<90的这一组是：
80 81 82 83 83 83.5 83.5 84 84 85 86 86.5 87 88 89 89
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
87.2
85
91
八年级
85.3
m
90
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为_______________________；
（2）在随机抽样的学生中，建党知识成绩为84分的学生，在___________年级抽样学生中排名更靠前，理由是_______________________；
（3）若成绩85分及以上为“优秀”，请估计八年级达到“优秀”的人数．
【答案】（1）83 （2）八，该学生的成绩大于八年级样本数据的中位数83，在八年级成绩中排名21名；该学生成绩小于七年级样本数据的中位数，在七年级排名在后25名
（3）120人
【解析】
【分析】(1)根据八年级共有50名学生，第25， 26名学生的成绩为83分，83分，即可求出m的值；
(2)根据八年级的中位数是83分，七年级的中位数是85分，可得该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数，进而可得结论；
(3)用样本的优秀率估计总体的优秀率，根据总人数和优秀率求得优秀人数．
【小问1详解】
解：八年级共有50名学生，第25， 26名学生的成绩为83分，83分，
∴ (分)；
故答案为： 83；
【小问2详解】
解：在八年级排名更靠前，理由如下：
∵八年级的中位数是83分，七年级的中位数是85分，
根据已知条件，该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，在八年级成绩中排名21名；小于七年级成绩的中位数，在七年级排名在后25名，
∴在八年级排名更靠前．
故答案为：八，该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，在八年级成绩中排名21名；小于七年级成绩的中位数，在七年级排名在后25名．
【小问3详解】
解：∵八年级50名随机抽样的学生中，成绩85分及以上有20人，八年级共有300人，
(人)，
∴估计八年级达到优秀的人数为120人．
【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
26. 已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（1，0）与点C（0，-3），其顶点为P．

（1）求二次函数的解析式及P点坐标；
（2）当m≤x≤m+1时，y的取值范围是-4≤y≤2m，求m的值．
【答案】（1），顶点的坐标为
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用待定系数法求二次函数得出答案；
（2）分①时，②当时，两种情况分别求解即可．
【小问1详解】
解：解：点、在二次函数的图象上，
，
解得，
二次函数的解析式为：，

顶点的坐标为；
【小问2详解】
解：时，的最小值为，
，即，
①时，，
由，解得：（舍去），，
②当时，，
由，
解得：（舍去），（舍去），
综上：的值为．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识，解题的关键是正确分类讨论得出的取值范围．
27. 已知：等边△ABC，过点B作AC的平行线l．点P为射线AB上一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转60°交直线l于点D．

（1）如图1，点P在线段AB上时，依题意补全图形；
①求证：∠BDP=∠PCB；
②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数里关系，并证明；
（2）点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．
【答案】（1）①见解析；②BC=BD+BP，证明见解析
（2）BC=BD−BP
【解析】
【分析】（1）①根据题意补全图形即可；根据等边三角形的性质、平行线的性质及旋转的性质得出∠DPE=∠CPE=60°，进而可得结论；
②在BC上取一点Q使得BQ=BP，证明△PBQ是等边三角形，再证明△PBD≌△PQC，即可得到BC=BD+BP；
（2）在BD上取一点E使得BE=BP，证明△PBE是等边三角形，再证明△CBP≌△DEP，即可得到BC=BD−BP．
【小问1详解】
①补全图形如图所示，

证明：设PD交BC于点E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵将射线PC绕点P顺时针旋转60°，
∴∠DPC=60°，
∵l//AC，
∴∠DBE=∠ACB=60°，
∴∠DBE=∠CPE=60°，
∵∠BED=∠PEC，
∴∠BDP=∠PCB；
解：②BC=BD+BP，理由如下：
在BC上取一点Q使得BQ=BP，连接PQ，

∵∠ABC=60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴PB=PQ，∠BPQ=60°，
∴∠BPD=∠CPQ，
又∵∠BDP=∠PCB，
∴△PBD≌△PQC，
∴BD=QC，
∵BC=BQ+QC，
∴BC=BD+BP；
【小问2详解】
解：BC=BD−BP，理由如下：
在BD上取一点E使得BE=BP，连接PE，

∵∠ABC=∠ACB=60°，l//AC，
∴∠DBC=∠ACB=60°，
∴∠PBD=180°-∠DBC-∠ACB=60°，
∴△PBE是等边三角形，
∴PB=PE，∠BEP=∠BPE=60°，
∴∠CBP=∠DEP=180°-60°=120°，∠BPC+∠CPE=∠EPD+∠CPE=60°，
∴∠CBP=∠DEP，∠BPC=∠EPD，
∴△CBP≌△DEP，
∴BC=DE，
∵BD=BE+ED，
∴BC=BD-BP．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
28. 如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P，Q两点（Q在P，H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把PQ·PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．

（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4），半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A，B，C，D．
①过点E作垂直于y轴的直线m﹐则⊙O关于直线m的“远点”是点__________________（填“A”，“B”，“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为_____________；
②若直线n的函数表达式为，求⊙O关于直线n的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系xOy、中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点N（–1，0）是⊙F关于直线l的“远点”，且⊙F关于直线l的“特征数”是，直接写出直线l的函数解析式．
【答案】（1）①D；10；② ⊙O关于直线n的“特征数”为6；
（2）或
【解析】
【分析】（1）①根据题干中“远点”及“特征数”的定义直接作答即可；②过圆心O作OH⊥直线n，垂足为点H，交⊙O于点P、Q，首先判断直线n也经过点E（0，4），在中，利用三角函数求出∠EFO=60°，进而求出PH的长，再根据“特征数”的定义计算即可；
（2）连接NF并延长，设直线l的解析式为y=kx+b1,用待定系数法得到，再根据两条直线互相垂直，两个一次函数解析式的系数k互为负倒数的关系可设直线NF的解析式为y=x+b2,用待定系数法同理可得，消去b1和b2，得到关于m、n的方程组；根据⊙F关于直线l的“特征数”是，得出NA=，再利用两点之间的距离公式列出方程(m+1)2+n2=，把代入，求出k的值，便得到m、n的值即点A的坐标，再根据待定系数法求直线l的函数表达式．注意有两种情况，不要遗漏．
【小问1详解】
解：（1）①⊙O关于直线m的“远点”是点D，
⊙O关于直线m的“特征数”为=2×5=10；
②如下图：过圆心O作OH⊥直线n，垂足为点H，交⊙O于点P、Q，

∵直线n的函数表达式为，
当x=0时，y=4；
当y=0时，x=，
∴直线n经过点E（0，4），点F（，0），
在中，
∵===，
∴∠FEO=30°，
∴∠EFO=60°，
在中，
∵，
∴HO=·FO=2，
∴PH=HO+OP=3，
∴PQ·PH=2×3=6，
∴⊙O关于直线n的“特征数”为6；
【小问2详解】
如下图，∵点F是圆心，点是“远点”，
∴连接NF并延长，则直线NF⊥直线l，设NF与直线l的交点为点A（m，n），

设直线l的解析式为y=kx+b1（k≠0）,
将点与A（m，n）代入y=kx+b1中，

②-①得：n-4=mk-k，③
又∵直线NF⊥直线l，
∴设直线NF的解析式为y=x+b2（k≠0）,
将点与A（m，n）代入y=x+b2中，

④-⑤得：-n=+，⑥
联立方程③与方程⑥，得：

解得：，
∴点A的坐标为（，）；
又∵⊙F关于直线l的“特征数”是，⊙F的半径为，
∴NB·NA=，
即2·NA=，
解得：NA=，
∴[m-(-1)]2+(n-0)2=()2，
即(m+1)2+n2=18，
把代入，解得k=-1或k=；
当k=-1时，m=2，n=3，
∴点A的坐标为（2，3），
把点A（2，3）与点代入y=kx+b1中，解得直线l的解析式为；
当k=时，m=，n=，
∴点A的坐标为（，），
把点A（，）与点代入y=kx+b1中，解得直线l的解析式为．
∴直线l的解析式为或．
【点睛】本题是一次函数与圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系、一次函数的图象和性质、解直角三角形等，理解“远点”和“特征数”的意义，熟练掌握一次函数的图象和性质、两点之间距离公式、两条直线互相垂直的两个一次函数解析式中系数k互为负倒数的关系是解题的关键．