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2022北京西城初三一模数学（教师版）
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这是一份2022北京西城初三一模数学（教师版），共35页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
2022北京西城初三一模
数 学
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 圆柱 B. 五棱柱 C. 长方体 D. 五棱锥
2. 国家速滑馆“冰丝带”上方镶嵌着许多光伏发电玻璃，据测算，“冰丝带”屋顶安装的光伏电站每年可输出约44. 8万度清洁电力．将448000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，直线，直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F，点G在直线CD上，GE⊥EF．若，则∠2的大小为（ ）
A. 145° B. 135° C. 125° D. 120°
4. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为（ ）
A. B. C. D.
6. △ABC和△DEF是两个等边三角形，AB=2，DE=4，则△ABC与△DEF的面积比是（ ）
A. B. C. D.
7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A. 1 B. -1 C. -5 D. -6
8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标是，点B是函数图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧），且AD=BC，连接AB，CD．有如下四个结论：
①四边形ABCD可能是菱形；
②四边形ABCD可能正方形；
③四边形ABCD的周长是定值；
④四边形ABCD的面积是定值．
所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①④
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为_________________.
10. 分解因式：=____.
11. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠CBA=50°，则∠CDB=______°．
12. 方程的解为______．
13. 在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点，且在每一个象限内，y随x的增大而增大，则点P在第______象限．
14. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG=EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是______．（写出一个即可）
15. 某校学生会在同学中招募志愿者作为校庆活动讲解员，并设置了“即兴演讲”“朗诵短文”“电影片段配音”三个测试项目，报名的同学通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一项进行测试．甲、乙两位同学报名参加测试，恰好都抽到“即兴演讲”项目的概率是______．
16. 叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式来估算叶面的面积，其中a，b分别是稻叶的长和宽（如图1），k是常数，则由图1可知k______1（填“＞”“＝”或“＜”）．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图2），大致都在稻叶的处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中k的值约为_______（结果保留小数点后两位）．
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
18. 解不等式组 ：
19. 已知，求代数式的值．
20. 已知：如图，线段AB．
求作：点C，D，使得点C，D在线段AB上，且AC=CD=DB．
作法：①作射线AM，在射线AM上顺次截取线段AE=EF=FG，连接BG；
②以点E为圆心，BG长为半径画弧，再以点B为圆心，EG长为半径画弧，两弧在AB上方交于点H；
③连接BH，连接EH交AB于点C，在线段CB上截取线段CD=AC．
所以点C，D就是所求作的点．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵EH=BG，BH=EG，
∴四边形EGBH是平行四边形．（______）（填推理的依据）
∴，即．
∴AC∶______=AE∶AG．
∵AE=EF=FG，
∴AE=______AG．
∴．
∴．
∴AC=CD=DB．
21. 如图，在△ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE=DF，连接AE，CE，AF，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若BA⊥AF，AD=4，，求BD和AE的长．
22. 2022年北京冬奥会的举办促进了冰雪旅游，小明为了解寒假期间冰雪旅游的消费情况，从甲、乙两个滑雪场的游客中各随机抽取了50人，获得了这些游客当天消费额（单位：元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出部分信息：a．甲滑雪场游客消费额的数据的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）：
b．甲滑雪场游客消费额的数据在这一组的是：
410 430 430 440 440 440 450 450 520 540
c．甲、乙两个滑雪场游客消费额的数据的平均数、中位数如下：
平均数
中位数
甲滑雪场
420
m
乙滑雪场
390
n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）一名被调查游客当天的消费额为380元，在他所在的滑雪场，他的消费额超过了一半以上的被调查的游客，那么他是哪个滑雪场的游客？请说明理由；
（3）若乙滑雪场当天的游客人数为500人，估计乙滑雪场这个月（按30天计算）的游客消费总额．
23. 在平面直角坐标系xOy中，直线与坐标轴分别交于，两点．将直线在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余的部分保持不变，得到一个新的图形，这个图形与直线分别交于点C，D．
（1）求k，b的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AC，CD，DA围成的区域（不含边界）为W．
①当m=1时，区域W内有______个整点；
②若区域W内恰有3个整点，直接写出m的取值范围．
24. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在弧BC上，AF与CD交于点G，点H在DC的延长线上，且HG=HF，延长HF交AB的延长线于点M．
（1）求证：HF是⊙O的切线；
（2）若，BM=1，求AF的长．
25. 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出的水与池中心的水平距离为x m，距地面的高度为y m．测量得到如下数值：
x/m
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.37
y/m
2.44
3.15
3.49
3.45
3.04
2.25
1.09
0
小腾根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；
（2）结合函数图象，出水口距地面的高度为_______m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为_______m（结果保留小数点后两位）；
（3）为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，如果只调整水管的高度，其他条件不变，结合函数图象，估计出水口至少需要_______（填“升高”或“降低”）_______m（结果保留小数点后两位）．
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点．
（1）若，
①求此抛物线的对称轴；
②当时，直接写出y的取值范围；
（2）已知点，在此抛物线上，其中．若，且，比较，的大小，并说明理由．
27. 已知正方形ABCD，将线段BA绕点B旋转（），得到线段BE，连接EA，EC．
（1）如图1，当点E在正方形ABCD内部时，若BE平分∠ABC，AB=4，则∠AEC=______°，四边形ABCE的面积为______；
（2）当点E在正方形ABCD外部时，
①在图2中依题意补全图形，并求∠AEC的度数；
②作∠EBC的平分线BF交EC于点G，交EA的延长线于点F，连接CF．用等式表示线段AE，FB，FC之间的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC与⊙O，给出如下定义：若△ABC与⊙O有且只有两个公共点，其中一个公共点为点A，另一个公共点在边BC上（不与点B，C重合），则称△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．
（1）如图，⊙O的半径为1，点．△AOC为⊙O的“点A关联三角形”．
①在，这两个点中，点A可以与点______重合；
②点A的横坐标的最小值为_______；
（2）⊙O的半径为1，点，点B是y轴负半轴上的一个动点，点C在x轴下方，△ABC是等边三角形，且△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．设点C的横坐标为m，求m的取值范围；
（3）⊙O的半径为r，直线与⊙O在第一象限的交点为A，点．若平面直角坐标系xOy中存在点B，使得△ABC是等腰直角三角形，且△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围．
参考答案
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 圆柱 B. 五棱柱 C. 长方体 D. 五棱锥
【答案】B
【解析】
【分析】根据三视图可知正视图是一个正五边形，左视图是一个大长方形，里面有两个小长方形，俯视图是一个大长方形，竖着分成两个小长方形且有两条线看不见，由此即可得到答案．
【详解】解：由三视图可知正视图是一个正五边形，左视图是一个大长方形，里面有两个小长方形，俯视图是一个大长方形，竖着分成两个小长方形且有两条线看不见，由此可知这个几何体是五棱柱，
故选B．
【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，解题的关键在于能够正确理解图中的三视图．
2. 国家速滑馆“冰丝带”上方镶嵌着许多光伏发电玻璃，据测算，“冰丝带”屋顶安装的光伏电站每年可输出约44. 8万度清洁电力．将448000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接用科学记数法的形式表示即可．
【详解】解：448000=
故选：C
【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，此时中，，n为正整数且n等于原数的整数位数减1．
3. 如图，直线，直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F，点G在直线CD上，GE⊥EF．若，则∠2的大小为（ ）
A. 145° B. 135° C. 125° D. 120°
【答案】A
【解析】
【分析】根据，由两直线平行同位角相等可推导；根据GE⊥EF，可知；然后借助三角形外角性质“三角形外角等于不相邻的两个内角和”，利用（）计算∠2即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵GE⊥EF，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质及三角形外角的定义和性质，解题关键是熟练掌握相关性质并灵活运用．
4. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据a，b，c对应的点在数轴上的位置，逐一判断即可．
【详解】解：由题意得：−3＜a＜−2＜−1＜b＜0＜3＜c＜4
∴a＜b＜c，|b|<|c|，a+c＞0，ab
故选B．
【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，绝对值的概念，有理数的和的符号，积的符号的确定，掌握以上知识是解题的关键．
5. 若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正多边形的外角度数求出多边形的边数，根据多边形的内角和公式即可求出多边形的内角和.
【详解】由题意，正多边形的边数为，
其内角和为．
故选C.
【点睛】考查多边形的内角和与外角和公式，熟练掌握公式是解题的关键.
6. △ABC和△DEF是两个等边三角形，AB=2，DE=4，则△ABC与△DEF的面积比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】所有的等边三角形都相似，且相似比等于其边长比，再利用两个相似三角的面积之比等于其相似比的平方，即可求解．
【详解】∵△ABC和△DEF是两个等边三角形，
∴，且有相似比为：，
又∵两个相似三角的面积比等于其相似比的平方，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的基本性质，利用两个相似三角的面积比等于其相似比的平方是解答本题关键．
7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A. 1 B. -1 C. -5 D. -6
【答案】D
【解析】
【分析】根据根的判别式得到，然后解关于m的不等式，即可求出m的取值范围，并根据选项判断．
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴m+1>4，m>3，或m+1<-4，m<-5．
故选D ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根时，Δ>0．
8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是，点B是函数图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧），且AD=BC，连接AB，CD．有如下四个结论：
①四边形ABCD可能是菱形；
②四边形ABCD可能是正方形；
③四边形ABCD的周长是定值；
④四边形ABCD的面积是定值．
所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①④
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得四边形ABCD是平行四边形，设点，则，根据BC=AB，可得关于a的方程，有解，可得①正确；若四边形ABCD是正方形，则AB⊥x轴，AB⊥BC，BC=AB，可得到点B，C的坐标，从而得到AB≠BC，可得②错误；取a的不同的数值，可得③错误；根据平行四边的面积，可得平行四边的面积等于8，可得④正确，即可求解．
【详解】解：如图，
∵BC⊥y轴，
∴BC∥AD，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
设点，则，
①若四边形ABCD是菱形，则BC=AB，
∴，
∵点A的坐标是，
∴，
∴，解得：，该方程有解，
∴四边形ABCD可能是菱形，故①正确；
②若四边形ABCD是正方形，则AB⊥x轴，AB⊥BC，BC=AB，
∵点A的坐标是，
∴点B的横坐标为5，
∵点B是函数图象上，
∴点B的纵坐标为，
∴
∵BC⊥y轴，
∴点C的纵坐标为，
∵点C是函数的图象的一点，
∴点C的横坐标为，
∴此时，
∴四边形ABCD不可能是正方形，故②错误；
③若a=1时，点，则，
∴AD=BC=7，，
∴此时四边形ABCD的周长为，
若a=2时，点，则，
∴AD=BC=4，，
∴此时四边形ABCD的周长为，
∴四边形ABCD的周长不是定值，故③错误；
∵，，
∴AD=，点B到x轴的距离为a，
∴四边形ABCD的面积为，
∴四边形ABCD的面积是定值，故④正确；
∴正确的有①④．
故选：D
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，平行四边形的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的周长、面积公式，利用数形结合思想解答是解题的关键．
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为_________________.
【答案】
【解析】
【分析】根据根式有意义的条件，得到不等式，解出不等式即可.
详解】要使有意义，则需要，解出得到.
【点睛】本题考查根式有意义的条件，能够得到不等式是解题关键.
10. 分解因式：=____.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：．
11. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠CBA=50°，则∠CDB=______°．
【答案】40
【解析】
【分析】根据AB是⊙O的直径，可得∠ACB=90°，从而得到∠A=40°，再由圆周角定理，即可求解．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CBA=50°，
∴∠A=90°-∠CBA=40°，
∵∠CDB=∠A，
∴∠CDB=40°．
故答案为：40
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握直径所对的圆周角是直角，圆周角定理是解题的关键．
12. 方程的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】先去分母，整理成整式方程，求解即可．
【详解】解：两边同乘以去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：当时，
∴方程的解为．
【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：去分母变成整式方程再进行求解．
13. 在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点，且在每一个象限内，y随x的增大而增大，则点P在第______象限．
【答案】四
【解析】
【分析】直接利用反比例函数的性质确定m的取值范围，进而分析得出答案．
【详解】解：∵反比例函数（k≠0）图象在每个象限内y随着x的增大而增大，
∴k＜0，
又反比例函数的图象经过点，
∴
∴
∴第四象限．
故答案为：四．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确记忆点的坐标的分布是解题关键．
14. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG=EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是______．（写出一个即可）
【答案】或
【解析】
【分析】由DE是中位线得出，又DG=EF表示的是对角线相等，根据：对角线相等的平行四边形是矩形；增加条件使四边形DFGE是平行四边形即可．
【详解】解：分别是的中点，
，
当时，四边形DFGE是平行四边形，
，
四边形DFGE是矩形；
当时，四边形DFGE是平行四边形，
，
四边形DFGE是矩形；
故答案为：或．
【点睛】本题考查矩形的判定、平行四边形的判定，根据：对角线相等的平行四边形是矩形；准确分析出平行四边形的判定是解题关键．
15. 某校学生会在同学中招募志愿者作为校庆活动讲解员，并设置了“即兴演讲”“朗诵短文”“电影片段配音”三个测试项目，报名的同学通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一项进行测试．甲、乙两位同学报名参加测试，恰好都抽到“即兴演讲”项目的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】列表后，再根据概率公式计算概率即可.
【详解】解：列表如下：
即兴演讲
朗诵短文
电影片段配音
即兴演讲
（即兴演讲，即兴演讲）
（即兴演讲，朗诵短文）
（即兴演讲，电影片段配音）
朗诵短文
（朗诵短文，即兴演讲）
（朗诵短文，朗诵短文）
（朗诵短文，电影片段配音）
电影片段配音
（电影片段配音，即兴演讲）
（电影片段配音，朗诵短文）
（电影片段配音，电影片段配音）
共有9种等可能结果，其中甲、乙都抽到“即兴演讲”项目的结果有1种，
故P（甲、乙都抽到“即兴演讲”项目）=，
故答案为：
【点睛】此题考查了概率的计算，正确列出表格是解答此题的关键.
16. 叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式来估算叶面的面积，其中a，b分别是稻叶的长和宽（如图1），k是常数，则由图1可知k______1（填“＞”“＝”或“＜”）．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图2），大致都在稻叶的处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中k的值约为_______（结果保留小数点后两位）．
【答案】 ①. > ②. 1.27
【解析】
【分析】根据叶面的面积<矩形的面积，即S=，可求k>1；根据和，列出方程，求出k即可．
【详解】解：∵叶面的面积<矩形的面积，即S
∴k>1，
∵
∴
∴
故答案为：>，1.27．
【点睛】本题考查了数据的处理和应用，涉及不等式的性质，方程等知识，理清题意，找到相等关系是解题的关键．
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
【答案】3
【解析】
【分析】根据二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂的法则，先化简，再进行积极运算．
【详解】解：原式=
【点睛】本题考查了实数的混合运算，以及特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握运算法则．
18. 解不等式组 ：
【答案】
【解析】
【分析】分别求出两个不等式的解集，即可求解．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．
19. 已知，求代数式的值．
【答案】7
【解析】
【分析】先利用完全平方公式和整式的乘法运算法则化简，再把变形为，然后再代入，即可求解．
【详解】解：
∵，
∴，
∴原式
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．
20. 已知：如图，线段AB．
求作：点C，D，使得点C，D在线段AB上，且AC=CD=DB．
作法：①作射线AM，在射线AM上顺次截取线段AE=EF=FG，连接BG；
②以点E为圆心，BG长为半径画弧，再以点B为圆心，EG长为半径画弧，两弧在AB上方交于点H；
③连接BH，连接EH交AB于点C，在线段CB上截取线段CD=AC．
所以点C，D就是所求作的点．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵EH=BG，BH=EG，
∴四边形EGBH是平行四边形．（______）（填推理的依据）
∴，即．
∴AC∶______=AE∶AG．
∵AE=EF=FG，
∴AE=______AG．
∴．
∴．
∴AC=CD=DB．
【答案】（1）见解析；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；AB；．
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）先证明四边形EGBH是平行四边形，再通过平行线分线段成比例定理来解决问题．
【小问1详解】
、
补全图形如下图所示：
【小问2详解】
证明：∵EH=BG，BH=EG，
∴四边形EGBH是平行四边形．（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
∴，即．
∴AC∶AB=AE∶AG．
∵AE=EF=FG，
∴AE=AG．
∴．
∴．
∴AC=CD=DB．
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；AB；．
【点睛】本题考查基本作图，平行四边形的判定和性质及平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21. 如图，在△ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE=DF，连接AE，CE，AF，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若BA⊥AF，AD=4，，求BD和AE的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由等腰三角形的性质得到，再由菱形的判定定理即可得到结论；
（2）先求出 ，由勾股定理得出BD的长度，解直角三角形求出AF的长度，再由菱形的性质即可求解．
【小问1详解】
BA=BC，BD平分∠ABC
DE=DF
四边形AECF是菱形；
【小问2详解】
，BA⊥AF
，BA=BC
AD=4
在 中，
四边形AECF是菱形
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理及利用同角的三角函数关系求值，熟练掌握知识点是解题的关键．
22. 2022年北京冬奥会的举办促进了冰雪旅游，小明为了解寒假期间冰雪旅游的消费情况，从甲、乙两个滑雪场的游客中各随机抽取了50人，获得了这些游客当天消费额（单位：元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出部分信息：a．甲滑雪场游客消费额的数据的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）：
b．甲滑雪场游客消费额的数据在这一组的是：
410 430 430 440 440 440 450 450 520 540
c．甲、乙两个滑雪场游客消费额的数据的平均数、中位数如下：
平均数
中位数
甲滑雪场
420
m
乙滑雪场
390
n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）一名被调查的游客当天的消费额为380元，在他所在的滑雪场，他的消费额超过了一半以上的被调查的游客，那么他是哪个滑雪场的游客？请说明理由；
（3）若乙滑雪场当天的游客人数为500人，估计乙滑雪场这个月（按30天计算）的游客消费总额．
【答案】（1）430 （2）乙滑雪场的游客，理由见解析
（3）5850000
【解析】
【分析】（1）根据题意得到位于第25位和第26位分别为430和430，即可求解；
（2）根据甲滑雪场游客消费额的中位数为430，且被调查的游客当天的消费额为380元，可得他不是甲滑雪场的游客，即可求解；
（3）用乙滑雪消费的平均数乘以每天的人数，再乘以时间，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意得：位于第25位和第26位的分别为430和430，
∴m=430；
【小问2详解】
解：∵甲滑雪场游客消费额的中位数为430，且被调查的游客当天的消费额为380元，
∴他不是甲滑雪场的游客，而是乙滑雪场的游客；
【小问3详解】
根据题意得：乙滑雪场这个月（按30天计算）的游客消费总额为：元．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和统计表，求中位数，中位数和平均数的应用，明确题意，准确从统计图和统计表中获取信息是解题的关键．
23. 在平面直角坐标系xOy中，直线与坐标轴分别交于，两点．将直线在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余的部分保持不变，得到一个新的图形，这个图形与直线分别交于点C，D．
（1）求k，b的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AC，CD，DA围成的区域（不含边界）为W．
①当m=1时，区域W内有______个整点；
②若区域W内恰有3个整点，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）
（2）1；
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的解析式；
（2）①画出图象，确定点B关于x轴的对称点及与直线的交点C，根据图象可求解；②利用图象找到区域W内恰好有1个整点和恰有3个整点时的m的取值即可求解．
【小问1详解】
∵直线与坐标轴分别交于，两点,
∴，
解得，且．
【小问2详解】
如图所示，点B关于x轴的对称点坐标为(0，-4)
当m=1时，直线l2的解析式为，恰好过(0，-4)，即为交点C，此时区域W内有1个整点E，
故答案为：1
如图所示，当m=1时，直线l2的解析式为，恰好经过整点G，F，
当直线恰好经过整点H时，区域W内恰有3个整点，此时把整点H的坐标(0，-5)代入得，，
解得，
∴区域W内恰有3个整点时，m的取值范围为：．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，利用图象求解问题，通过画图象确定临界点是解题的关键．
24. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在弧BC上，AF与CD交于点G，点H在DC的延长线上，且HG=HF，延长HF交AB的延长线于点M．
（1）求证：HF是⊙O的切线；
（2）若，BM=1，求AF的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接OF，根据CD⊥AB，可得∠A+∠AGE=90°，再由HG=HF，可得∠HFG =∠AGE，然后根据OA=OF，可得∠A=∠OFA，即可求证；
（2）连接BF，先证得△BFM∽△FAM，可得，再由，可得OM=5，AM=9，AB=8，FM=3，从而得到，然后由勾股定理，即可求解．
【小问1详解】
证明：连接OF，
∵CD⊥AB，
∴∠AEG=90°，
∴∠A+∠AGE=90°，
∵HG=HF，
∴∠HFG=∠HGF，
∵∠HGF=∠AGE，
∴∠HFG =∠AGE，
∵OA=OF，
∴∠A=∠OFA，
∴∠OFA+∠HFG=90°，即∠OFH=90°，
∴HF是⊙O的切线；
【小问2详解】
解：如图，连接BF，
由（1）得：∠OFM=90°，
∴∠BFO+∠BFM=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠A+∠ABF=90°，
∵OB=OF，
∴∠ABF=∠BFO，
∴∠BFM=∠A，
∵∠M=∠M，
∴△BFM∽△FAM，
∴，
∵，
∴，
∵BM=1，OB=OF，
∴，
解得：OF=4，
∴OM=5，AM=9，AB=8，
∴FM=，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了圆的综合题，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，理解锐角三角函数是解题的关键．
25. 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出的水与池中心的水平距离为x m，距地面的高度为y m．测量得到如下数值：
x/m
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.37
y/m
2.44
3.15
3.49
3.45
3.04
2.25
1.09
0
小腾根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；
（2）结合函数图象，出水口距地面的高度为_______m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为_______m（结果保留小数点后两位）；
（3）为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，如果只调整水管的高度，其他条件不变，结合函数图象，估计出水口至少需要_______（填“升高”或“降低”）_______m（结果保留小数点后两位）．
【答案】（1）见解析；
（2）出水口距地面的高度为2.44m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为1.20m；
（3）出水口至少需要降低0.52m．
【解析】
【分析】（1）根据表格中的数据，描点，连线画出图象；
（2）设y=ax²+bx+2.44，将点(1，3.49)，(2，3.04)代入求出解析式，然后求出对称轴即可；
（3）根据水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，得出a，b不变，只有c改变，将x=3.2代入求解即可．
【小问1详解】
如图所示：
【小问2详解】
由图象可得：当x=0时，y=2.44，
∴c=2.44，设y=ax²+bx+2.44，
将点(1，3.49)，(2，3.04)代入得：，解得：，
∴y=-0.75x²+1.8x+2.44，
∴抛物线的对称轴为：，
∴y=-0.75×1.2²+1.8×1.2+2.44=3.52，
∴出水口距地面的高度为2.44m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为1.20m；
【小问3详解】
为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，此时y=ax²+bx+c中，a，b不变，只有c改变，
∴y=-0.75×3.2²+1.8×3.2+c，解得c=1.92，2.44-1.92=0.52(m)，
∴出水口至少需要降低0.52m．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，解题的关键是数形结合并熟练掌握待定系数法．
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点．
（1）若，
①求此抛物线的对称轴；
②当时，直接写出y的取值范围；
（2）已知点，在此抛物线上，其中．若，且，比较，的大小，并说明理由．
【答案】（1）①，②
（2）
【解析】
【分析】（1）①抛物线经过点，求出a，再代入对称轴公式求解即可；②因为，所以顶点是最低点，分别求出x=1和x=5时y的值，即可求解；
（2）根据得>，说明 的中点 在对称轴的左侧，即离对称轴较近，离对称轴较远，由即可求解．
【小问1详解】
解：①∵抛物线经过点．
∴
解得a=1，
∴
∴对称轴；
②当 时，y
当x=1时，y=-1，
当x=5时，y=3
∴当时， ．
【小问2详解】
解：∵抛物线经过点．
∴m=4a-2(a+4)+3=2a-5>0
∴a
对称轴
∵a
∴
∴
∵
∴
∴> ，
又∵
∴ 的中点 在对称轴的右侧，即离对称轴较近，离对称轴较远，
又∵a>0，抛物线的开口向上，则自变量x离对称轴距离越近函数值越小
∴
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式、对称轴公式、顶点坐标、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
27. 已知正方形ABCD，将线段BA绕点B旋转（），得到线段BE，连接EA，EC．
（1）如图1，当点E在正方形ABCD的内部时，若BE平分∠ABC，AB=4，则∠AEC=______°，四边形ABCE的面积为______；
（2）当点E在正方形ABCD的外部时，
①在图2中依题意补全图形，并求∠AEC的度数；
②作∠EBC的平分线BF交EC于点G，交EA的延长线于点F，连接CF．用等式表示线段AE，FB，FC之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）135，
（2）①作图见解析，45°；②
【解析】
【分析】（1）过点E作于点K，由正方形的性质、旋转的性质及角平分线的定义可得，再利用等腰三角形的性质和解直角三角形可求出，，继而可证明，便可求解；
（2）①根据题意作图即可；由正方形的性质、旋转的性质可得，再根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质求出，即可求解；
②过点B作 垂足为H，由等腰三角形的性质得到 ，再证明
即可得到 ，再推出 为等腰直角三角形，即可得到三者之间的关系．
【小问1详解】
过点E作于点K
四边形ABCD是正方形
BE平分∠ABC，AB=4，将线段BA绕点B旋转（），得到线段BE
，
，四边形ABCE的面积为
故答案为：135，
【小问2详解】
①作图如下
四边形ABCD是正方形
由旋转可得，
②，理由如下：
如图，过点B作 垂足为H
，∠EBC的平分线BF交EC于点G
为等腰直角三角形
即
【点睛】本题属于四边形和三角形的综合题目，涉及正方形的性质、旋转的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质和判定、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等，灵活运用上述知识点是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC与⊙O，给出如下定义：若△ABC与⊙O有且只有两个公共点，其中一个公共点为点A，另一个公共点在边BC上（不与点B，C重合），则称△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．
（1）如图，⊙O的半径为1，点．△AOC为⊙O的“点A关联三角形”．
①在，这两个点中，点A可以与点______重合；
②点A的横坐标的最小值为_______；
（2）⊙O的半径为1，点，点B是y轴负半轴上的一个动点，点C在x轴下方，△ABC是等边三角形，且△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．设点C的横坐标为m，求m的取值范围；
（3）⊙O的半径为r，直线与⊙O在第一象限的交点为A，点．若平面直角坐标系xOy中存在点B，使得△ABC是等腰直角三角形，且△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围．
【答案】（1）①，②
（2）m>
（3）4．
【解析】
【分析】（1）根据“点A的关联三角形”的定义，只有除OC与⊙O有一个交点外，线段AC与⊙O也只有一个交点，所以当过点C作⊙O的切线时，点A应在弧MN上，求出M点的坐标，即可知点A的横坐标为，即可判断点A应与重合，点A的横坐标的最小值为；
（2）作OA的垂直平分线GH，交⊙O于G，OA于H，那么C点应在直线GH的右侧，根据△OGA是等边三角形，可求结论；
（3）符合△ABC等腰直角三角形的B点有6个，当r较小时，没有符合题意的B点，随着r增大，当AB1与圆O有交点，直到B1落在圆O上，r=，此时仍不满足题意，当r>时，符合，直至下图的临界位置：AC与圆O相切，B1与O重合，此时 r==，分①r>，②4，进行讨论，即可求解．
【小问1详解】
解：①当点A与点重合时，连接与圆相交，而OC也与圆相交，这样△AOC就与圆有三个交点，所以不符合“点A关联三角形”的定义；
过C作⊙O的切线CM，交⊙O于M，连接OM，如图，
∴OC=2，OM=1，
∴
设M（x，y），则
解得或
当时，线段CM与⊙O有唯一交点，
∵
∴当点A与重合时，△AOC与⊙O是“点A的关联三角形”；
②由①得，
∴点A的横坐标的最小值为；
【小问2详解】
解：作OA的垂直平分线GH，交⊙O于G，OA于H，
那么C点应在直线GH的右侧，
∵OG=GA=OA=1，
∴△OGA是等边三角形，
∴C的横坐标为m>
【小问3详解】
解：如图，符合△ABC等腰直角三角形的B点有6个，当r较小时，没有符合题意的B点，随着r增大，如下图所示，
当AB1与圆O有交点，直到B1落在圆O上，如图，设A（m，m），C（4，0），B（x，y）
则r=OA=m
过A作x轴平行线，交y轴于D，过C作CE⊥AD于E
则△ADB1≌△ACE
∴AD=CE=m=m-x，DB1=AE=4-m=m-y
∴x=0，y=2m-4
即B1点恒在y轴上，
当B1点在圆O上时，即OB1=r时，可得：r+m=4-m，
故m+m=4-m
解得：m=，
∴r=，此时仍不满足题意，
当r>时，符合，直至下图的临界位置：AC与圆O相切，B1与O重合
易得：r==AC==
①当r>时，由图可知，AC将与圆O存在两个交点，不符题意
∴
设A（m，m），C（4，0），B（x，y），r2=2m2
∵，
∴
∵
∴△ACE≌△AB4D
∴AD=y-m=CE=4-m，DB4=AE=m=x-m
∴y=4，x=2m
此时OB42=4m2+16>r2
即B4圆O外部，C在圆O内部，B4C与圆O必有一个交点，符合题意
∴r>4符合题意
综上所述，r的取值范围是：4．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了直线与圆的位置关系，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，综合运用这些知识点是解题的关键．
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数 学
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 圆柱 B. 五棱柱 C. 长方体 D. 五棱锥
2. 国家速滑馆“冰丝带”上方镶嵌着许多光伏发电玻璃，据测算，“冰丝带”屋顶安装的光伏电站每年可输出约44. 8万度清洁电力．将448000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，直线，直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F，点G在直线CD上，GE⊥EF．若，则∠2的大小为（ ）
A. 145° B. 135° C. 125° D. 120°
4. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为（ ）
A. B. C. D.
6. △ABC和△DEF是两个等边三角形，AB=2，DE=4，则△ABC与△DEF的面积比是（ ）
A. B. C. D.
7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A. 1 B. -1 C. -5 D. -6
8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标是，点B是函数图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧），且AD=BC，连接AB，CD．有如下四个结论：
①四边形ABCD可能是菱形；
②四边形ABCD可能正方形；
③四边形ABCD的周长是定值；
④四边形ABCD的面积是定值．
所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①④
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为_________________.
10. 分解因式：=____.
11. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠CBA=50°，则∠CDB=______°．
12. 方程的解为______．
13. 在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点，且在每一个象限内，y随x的增大而增大，则点P在第______象限．
14. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG=EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是______．（写出一个即可）
15. 某校学生会在同学中招募志愿者作为校庆活动讲解员，并设置了“即兴演讲”“朗诵短文”“电影片段配音”三个测试项目，报名的同学通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一项进行测试．甲、乙两位同学报名参加测试，恰好都抽到“即兴演讲”项目的概率是______．
16. 叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式来估算叶面的面积，其中a，b分别是稻叶的长和宽（如图1），k是常数，则由图1可知k______1（填“＞”“＝”或“＜”）．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图2），大致都在稻叶的处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中k的值约为_______（结果保留小数点后两位）．
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
18. 解不等式组 ：
19. 已知，求代数式的值．
20. 已知：如图，线段AB．
求作：点C，D，使得点C，D在线段AB上，且AC=CD=DB．
作法：①作射线AM，在射线AM上顺次截取线段AE=EF=FG，连接BG；
②以点E为圆心，BG长为半径画弧，再以点B为圆心，EG长为半径画弧，两弧在AB上方交于点H；
③连接BH，连接EH交AB于点C，在线段CB上截取线段CD=AC．
所以点C，D就是所求作的点．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵EH=BG，BH=EG，
∴四边形EGBH是平行四边形．（______）（填推理的依据）
∴，即．
∴AC∶______=AE∶AG．
∵AE=EF=FG，
∴AE=______AG．
∴．
∴．
∴AC=CD=DB．
21. 如图，在△ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE=DF，连接AE，CE，AF，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若BA⊥AF，AD=4，，求BD和AE的长．
22. 2022年北京冬奥会的举办促进了冰雪旅游，小明为了解寒假期间冰雪旅游的消费情况，从甲、乙两个滑雪场的游客中各随机抽取了50人，获得了这些游客当天消费额（单位：元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出部分信息：a．甲滑雪场游客消费额的数据的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）：
b．甲滑雪场游客消费额的数据在这一组的是：
410 430 430 440 440 440 450 450 520 540
c．甲、乙两个滑雪场游客消费额的数据的平均数、中位数如下：
平均数
中位数
甲滑雪场
420
m
乙滑雪场
390
n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）一名被调查游客当天的消费额为380元，在他所在的滑雪场，他的消费额超过了一半以上的被调查的游客，那么他是哪个滑雪场的游客？请说明理由；
（3）若乙滑雪场当天的游客人数为500人，估计乙滑雪场这个月（按30天计算）的游客消费总额．
23. 在平面直角坐标系xOy中，直线与坐标轴分别交于，两点．将直线在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余的部分保持不变，得到一个新的图形，这个图形与直线分别交于点C，D．
（1）求k，b的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AC，CD，DA围成的区域（不含边界）为W．
①当m=1时，区域W内有______个整点；
②若区域W内恰有3个整点，直接写出m的取值范围．
24. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在弧BC上，AF与CD交于点G，点H在DC的延长线上，且HG=HF，延长HF交AB的延长线于点M．
（1）求证：HF是⊙O的切线；
（2）若，BM=1，求AF的长．
25. 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出的水与池中心的水平距离为x m，距地面的高度为y m．测量得到如下数值：
x/m
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.37
y/m
2.44
3.15
3.49
3.45
3.04
2.25
1.09
0
小腾根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；
（2）结合函数图象，出水口距地面的高度为_______m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为_______m（结果保留小数点后两位）；
（3）为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，如果只调整水管的高度，其他条件不变，结合函数图象，估计出水口至少需要_______（填“升高”或“降低”）_______m（结果保留小数点后两位）．
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点．
（1）若，
①求此抛物线的对称轴；
②当时，直接写出y的取值范围；
（2）已知点，在此抛物线上，其中．若，且，比较，的大小，并说明理由．
27. 已知正方形ABCD，将线段BA绕点B旋转（），得到线段BE，连接EA，EC．
（1）如图1，当点E在正方形ABCD内部时，若BE平分∠ABC，AB=4，则∠AEC=______°，四边形ABCE的面积为______；
（2）当点E在正方形ABCD外部时，
①在图2中依题意补全图形，并求∠AEC的度数；
②作∠EBC的平分线BF交EC于点G，交EA的延长线于点F，连接CF．用等式表示线段AE，FB，FC之间的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC与⊙O，给出如下定义：若△ABC与⊙O有且只有两个公共点，其中一个公共点为点A，另一个公共点在边BC上（不与点B，C重合），则称△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．
（1）如图，⊙O的半径为1，点．△AOC为⊙O的“点A关联三角形”．
①在，这两个点中，点A可以与点______重合；
②点A的横坐标的最小值为_______；
（2）⊙O的半径为1，点，点B是y轴负半轴上的一个动点，点C在x轴下方，△ABC是等边三角形，且△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．设点C的横坐标为m，求m的取值范围；
（3）⊙O的半径为r，直线与⊙O在第一象限的交点为A，点．若平面直角坐标系xOy中存在点B，使得△ABC是等腰直角三角形，且△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围．
参考答案
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 圆柱 B. 五棱柱 C. 长方体 D. 五棱锥
【答案】B
【解析】
【分析】根据三视图可知正视图是一个正五边形，左视图是一个大长方形，里面有两个小长方形，俯视图是一个大长方形，竖着分成两个小长方形且有两条线看不见，由此即可得到答案．
【详解】解：由三视图可知正视图是一个正五边形，左视图是一个大长方形，里面有两个小长方形，俯视图是一个大长方形，竖着分成两个小长方形且有两条线看不见，由此可知这个几何体是五棱柱，
故选B．
【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，解题的关键在于能够正确理解图中的三视图．
2. 国家速滑馆“冰丝带”上方镶嵌着许多光伏发电玻璃，据测算，“冰丝带”屋顶安装的光伏电站每年可输出约44. 8万度清洁电力．将448000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接用科学记数法的形式表示即可．
【详解】解：448000=
故选：C
【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，此时中，，n为正整数且n等于原数的整数位数减1．
3. 如图，直线，直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F，点G在直线CD上，GE⊥EF．若，则∠2的大小为（ ）
A. 145° B. 135° C. 125° D. 120°
【答案】A
【解析】
【分析】根据，由两直线平行同位角相等可推导；根据GE⊥EF，可知；然后借助三角形外角性质“三角形外角等于不相邻的两个内角和”，利用（）计算∠2即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵GE⊥EF，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质及三角形外角的定义和性质，解题关键是熟练掌握相关性质并灵活运用．
4. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据a，b，c对应的点在数轴上的位置，逐一判断即可．
【详解】解：由题意得：−3＜a＜−2＜−1＜b＜0＜3＜c＜4
∴a＜b＜c，|b|<|c|，a+c＞0，ab
故选B．
【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，绝对值的概念，有理数的和的符号，积的符号的确定，掌握以上知识是解题的关键．
5. 若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正多边形的外角度数求出多边形的边数，根据多边形的内角和公式即可求出多边形的内角和.
【详解】由题意，正多边形的边数为，
其内角和为．
故选C.
【点睛】考查多边形的内角和与外角和公式，熟练掌握公式是解题的关键.
6. △ABC和△DEF是两个等边三角形，AB=2，DE=4，则△ABC与△DEF的面积比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】所有的等边三角形都相似，且相似比等于其边长比，再利用两个相似三角的面积之比等于其相似比的平方，即可求解．
【详解】∵△ABC和△DEF是两个等边三角形，
∴，且有相似比为：，
又∵两个相似三角的面积比等于其相似比的平方，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的基本性质，利用两个相似三角的面积比等于其相似比的平方是解答本题关键．
7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A. 1 B. -1 C. -5 D. -6
【答案】D
【解析】
【分析】根据根的判别式得到，然后解关于m的不等式，即可求出m的取值范围，并根据选项判断．
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴m+1>4，m>3，或m+1<-4，m<-5．
故选D ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根时，Δ>0．
8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是，点B是函数图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧），且AD=BC，连接AB，CD．有如下四个结论：
①四边形ABCD可能是菱形；
②四边形ABCD可能是正方形；
③四边形ABCD的周长是定值；
④四边形ABCD的面积是定值．
所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①④
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得四边形ABCD是平行四边形，设点，则，根据BC=AB，可得关于a的方程，有解，可得①正确；若四边形ABCD是正方形，则AB⊥x轴，AB⊥BC，BC=AB，可得到点B，C的坐标，从而得到AB≠BC，可得②错误；取a的不同的数值，可得③错误；根据平行四边的面积，可得平行四边的面积等于8，可得④正确，即可求解．
【详解】解：如图，
∵BC⊥y轴，
∴BC∥AD，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
设点，则，
①若四边形ABCD是菱形，则BC=AB，
∴，
∵点A的坐标是，
∴，
∴，解得：，该方程有解，
∴四边形ABCD可能是菱形，故①正确；
②若四边形ABCD是正方形，则AB⊥x轴，AB⊥BC，BC=AB，
∵点A的坐标是，
∴点B的横坐标为5，
∵点B是函数图象上，
∴点B的纵坐标为，
∴
∵BC⊥y轴，
∴点C的纵坐标为，
∵点C是函数的图象的一点，
∴点C的横坐标为，
∴此时，
∴四边形ABCD不可能是正方形，故②错误；
③若a=1时，点，则，
∴AD=BC=7，，
∴此时四边形ABCD的周长为，
若a=2时，点，则，
∴AD=BC=4，，
∴此时四边形ABCD的周长为，
∴四边形ABCD的周长不是定值，故③错误；
∵，，
∴AD=，点B到x轴的距离为a，
∴四边形ABCD的面积为，
∴四边形ABCD的面积是定值，故④正确；
∴正确的有①④．
故选：D
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，平行四边形的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的周长、面积公式，利用数形结合思想解答是解题的关键．
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为_________________.
【答案】
【解析】
【分析】根据根式有意义的条件，得到不等式，解出不等式即可.
详解】要使有意义，则需要，解出得到.
【点睛】本题考查根式有意义的条件，能够得到不等式是解题关键.
10. 分解因式：=____.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：．
11. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠CBA=50°，则∠CDB=______°．
【答案】40
【解析】
【分析】根据AB是⊙O的直径，可得∠ACB=90°，从而得到∠A=40°，再由圆周角定理，即可求解．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CBA=50°，
∴∠A=90°-∠CBA=40°，
∵∠CDB=∠A，
∴∠CDB=40°．
故答案为：40
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握直径所对的圆周角是直角，圆周角定理是解题的关键．
12. 方程的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】先去分母，整理成整式方程，求解即可．
【详解】解：两边同乘以去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：当时，
∴方程的解为．
【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：去分母变成整式方程再进行求解．
13. 在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点，且在每一个象限内，y随x的增大而增大，则点P在第______象限．
【答案】四
【解析】
【分析】直接利用反比例函数的性质确定m的取值范围，进而分析得出答案．
【详解】解：∵反比例函数（k≠0）图象在每个象限内y随着x的增大而增大，
∴k＜0，
又反比例函数的图象经过点，
∴
∴
∴第四象限．
故答案为：四．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确记忆点的坐标的分布是解题关键．
14. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG=EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是______．（写出一个即可）
【答案】或
【解析】
【分析】由DE是中位线得出，又DG=EF表示的是对角线相等，根据：对角线相等的平行四边形是矩形；增加条件使四边形DFGE是平行四边形即可．
【详解】解：分别是的中点，
，
当时，四边形DFGE是平行四边形，
，
四边形DFGE是矩形；
当时，四边形DFGE是平行四边形，
，
四边形DFGE是矩形；
故答案为：或．
【点睛】本题考查矩形的判定、平行四边形的判定，根据：对角线相等的平行四边形是矩形；准确分析出平行四边形的判定是解题关键．
15. 某校学生会在同学中招募志愿者作为校庆活动讲解员，并设置了“即兴演讲”“朗诵短文”“电影片段配音”三个测试项目，报名的同学通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一项进行测试．甲、乙两位同学报名参加测试，恰好都抽到“即兴演讲”项目的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】列表后，再根据概率公式计算概率即可.
【详解】解：列表如下：
即兴演讲
朗诵短文
电影片段配音
即兴演讲
（即兴演讲，即兴演讲）
（即兴演讲，朗诵短文）
（即兴演讲，电影片段配音）
朗诵短文
（朗诵短文，即兴演讲）
（朗诵短文，朗诵短文）
（朗诵短文，电影片段配音）
电影片段配音
（电影片段配音，即兴演讲）
（电影片段配音，朗诵短文）
（电影片段配音，电影片段配音）
共有9种等可能结果，其中甲、乙都抽到“即兴演讲”项目的结果有1种，
故P（甲、乙都抽到“即兴演讲”项目）=，
故答案为：
【点睛】此题考查了概率的计算，正确列出表格是解答此题的关键.
16. 叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式来估算叶面的面积，其中a，b分别是稻叶的长和宽（如图1），k是常数，则由图1可知k______1（填“＞”“＝”或“＜”）．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图2），大致都在稻叶的处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中k的值约为_______（结果保留小数点后两位）．
【答案】 ①. > ②. 1.27
【解析】
【分析】根据叶面的面积<矩形的面积，即S=，可求k>1；根据和，列出方程，求出k即可．
【详解】解：∵叶面的面积<矩形的面积，即S
∴k>1，
∵
∴
∴
故答案为：>，1.27．
【点睛】本题考查了数据的处理和应用，涉及不等式的性质，方程等知识，理清题意，找到相等关系是解题的关键．
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
【答案】3
【解析】
【分析】根据二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂的法则，先化简，再进行积极运算．
【详解】解：原式=
【点睛】本题考查了实数的混合运算，以及特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握运算法则．
18. 解不等式组 ：
【答案】
【解析】
【分析】分别求出两个不等式的解集，即可求解．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．
19. 已知，求代数式的值．
【答案】7
【解析】
【分析】先利用完全平方公式和整式的乘法运算法则化简，再把变形为，然后再代入，即可求解．
【详解】解：
∵，
∴，
∴原式
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．
20. 已知：如图，线段AB．
求作：点C，D，使得点C，D在线段AB上，且AC=CD=DB．
作法：①作射线AM，在射线AM上顺次截取线段AE=EF=FG，连接BG；
②以点E为圆心，BG长为半径画弧，再以点B为圆心，EG长为半径画弧，两弧在AB上方交于点H；
③连接BH，连接EH交AB于点C，在线段CB上截取线段CD=AC．
所以点C，D就是所求作的点．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵EH=BG，BH=EG，
∴四边形EGBH是平行四边形．（______）（填推理的依据）
∴，即．
∴AC∶______=AE∶AG．
∵AE=EF=FG，
∴AE=______AG．
∴．
∴．
∴AC=CD=DB．
【答案】（1）见解析；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；AB；．
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）先证明四边形EGBH是平行四边形，再通过平行线分线段成比例定理来解决问题．
【小问1详解】
、
补全图形如下图所示：
【小问2详解】
证明：∵EH=BG，BH=EG，
∴四边形EGBH是平行四边形．（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
∴，即．
∴AC∶AB=AE∶AG．
∵AE=EF=FG，
∴AE=AG．
∴．
∴．
∴AC=CD=DB．
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；AB；．
【点睛】本题考查基本作图，平行四边形的判定和性质及平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21. 如图，在△ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE=DF，连接AE，CE，AF，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若BA⊥AF，AD=4，，求BD和AE的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由等腰三角形的性质得到，再由菱形的判定定理即可得到结论；
（2）先求出 ，由勾股定理得出BD的长度，解直角三角形求出AF的长度，再由菱形的性质即可求解．
【小问1详解】
BA=BC，BD平分∠ABC
DE=DF
四边形AECF是菱形；
【小问2详解】
，BA⊥AF
，BA=BC
AD=4
在 中，
四边形AECF是菱形
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理及利用同角的三角函数关系求值，熟练掌握知识点是解题的关键．
22. 2022年北京冬奥会的举办促进了冰雪旅游，小明为了解寒假期间冰雪旅游的消费情况，从甲、乙两个滑雪场的游客中各随机抽取了50人，获得了这些游客当天消费额（单位：元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出部分信息：a．甲滑雪场游客消费额的数据的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）：
b．甲滑雪场游客消费额的数据在这一组的是：
410 430 430 440 440 440 450 450 520 540
c．甲、乙两个滑雪场游客消费额的数据的平均数、中位数如下：
平均数
中位数
甲滑雪场
420
m
乙滑雪场
390
n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）一名被调查的游客当天的消费额为380元，在他所在的滑雪场，他的消费额超过了一半以上的被调查的游客，那么他是哪个滑雪场的游客？请说明理由；
（3）若乙滑雪场当天的游客人数为500人，估计乙滑雪场这个月（按30天计算）的游客消费总额．
【答案】（1）430 （2）乙滑雪场的游客，理由见解析
（3）5850000
【解析】
【分析】（1）根据题意得到位于第25位和第26位分别为430和430，即可求解；
（2）根据甲滑雪场游客消费额的中位数为430，且被调查的游客当天的消费额为380元，可得他不是甲滑雪场的游客，即可求解；
（3）用乙滑雪消费的平均数乘以每天的人数，再乘以时间，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意得：位于第25位和第26位的分别为430和430，
∴m=430；
【小问2详解】
解：∵甲滑雪场游客消费额的中位数为430，且被调查的游客当天的消费额为380元，
∴他不是甲滑雪场的游客，而是乙滑雪场的游客；
【小问3详解】
根据题意得：乙滑雪场这个月（按30天计算）的游客消费总额为：元．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和统计表，求中位数，中位数和平均数的应用，明确题意，准确从统计图和统计表中获取信息是解题的关键．
23. 在平面直角坐标系xOy中，直线与坐标轴分别交于，两点．将直线在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余的部分保持不变，得到一个新的图形，这个图形与直线分别交于点C，D．
（1）求k，b的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AC，CD，DA围成的区域（不含边界）为W．
①当m=1时，区域W内有______个整点；
②若区域W内恰有3个整点，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）
（2）1；
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的解析式；
（2）①画出图象，确定点B关于x轴的对称点及与直线的交点C，根据图象可求解；②利用图象找到区域W内恰好有1个整点和恰有3个整点时的m的取值即可求解．
【小问1详解】
∵直线与坐标轴分别交于，两点,
∴，
解得，且．
【小问2详解】
如图所示，点B关于x轴的对称点坐标为(0，-4)
当m=1时，直线l2的解析式为，恰好过(0，-4)，即为交点C，此时区域W内有1个整点E，
故答案为：1
如图所示，当m=1时，直线l2的解析式为，恰好经过整点G，F，
当直线恰好经过整点H时，区域W内恰有3个整点，此时把整点H的坐标(0，-5)代入得，，
解得，
∴区域W内恰有3个整点时，m的取值范围为：．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，利用图象求解问题，通过画图象确定临界点是解题的关键．
24. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在弧BC上，AF与CD交于点G，点H在DC的延长线上，且HG=HF，延长HF交AB的延长线于点M．
（1）求证：HF是⊙O的切线；
（2）若，BM=1，求AF的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接OF，根据CD⊥AB，可得∠A+∠AGE=90°，再由HG=HF，可得∠HFG =∠AGE，然后根据OA=OF，可得∠A=∠OFA，即可求证；
（2）连接BF，先证得△BFM∽△FAM，可得，再由，可得OM=5，AM=9，AB=8，FM=3，从而得到，然后由勾股定理，即可求解．
【小问1详解】
证明：连接OF，
∵CD⊥AB，
∴∠AEG=90°，
∴∠A+∠AGE=90°，
∵HG=HF，
∴∠HFG=∠HGF，
∵∠HGF=∠AGE，
∴∠HFG =∠AGE，
∵OA=OF，
∴∠A=∠OFA，
∴∠OFA+∠HFG=90°，即∠OFH=90°，
∴HF是⊙O的切线；
【小问2详解】
解：如图，连接BF，
由（1）得：∠OFM=90°，
∴∠BFO+∠BFM=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠A+∠ABF=90°，
∵OB=OF，
∴∠ABF=∠BFO，
∴∠BFM=∠A，
∵∠M=∠M，
∴△BFM∽△FAM，
∴，
∵，
∴，
∵BM=1，OB=OF，
∴，
解得：OF=4，
∴OM=5，AM=9，AB=8，
∴FM=，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了圆的综合题，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，理解锐角三角函数是解题的关键．
25. 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出的水与池中心的水平距离为x m，距地面的高度为y m．测量得到如下数值：
x/m
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.37
y/m
2.44
3.15
3.49
3.45
3.04
2.25
1.09
0
小腾根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；
（2）结合函数图象，出水口距地面的高度为_______m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为_______m（结果保留小数点后两位）；
（3）为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，如果只调整水管的高度，其他条件不变，结合函数图象，估计出水口至少需要_______（填“升高”或“降低”）_______m（结果保留小数点后两位）．
【答案】（1）见解析；
（2）出水口距地面的高度为2.44m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为1.20m；
（3）出水口至少需要降低0.52m．
【解析】
【分析】（1）根据表格中的数据，描点，连线画出图象；
（2）设y=ax²+bx+2.44，将点(1，3.49)，(2，3.04)代入求出解析式，然后求出对称轴即可；
（3）根据水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，得出a，b不变，只有c改变，将x=3.2代入求解即可．
【小问1详解】
如图所示：
【小问2详解】
由图象可得：当x=0时，y=2.44，
∴c=2.44，设y=ax²+bx+2.44，
将点(1，3.49)，(2，3.04)代入得：，解得：，
∴y=-0.75x²+1.8x+2.44，
∴抛物线的对称轴为：，
∴y=-0.75×1.2²+1.8×1.2+2.44=3.52，
∴出水口距地面的高度为2.44m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为1.20m；
【小问3详解】
为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，此时y=ax²+bx+c中，a，b不变，只有c改变，
∴y=-0.75×3.2²+1.8×3.2+c，解得c=1.92，2.44-1.92=0.52(m)，
∴出水口至少需要降低0.52m．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，解题的关键是数形结合并熟练掌握待定系数法．
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点．
（1）若，
①求此抛物线的对称轴；
②当时，直接写出y的取值范围；
（2）已知点，在此抛物线上，其中．若，且，比较，的大小，并说明理由．
【答案】（1）①，②
（2）
【解析】
【分析】（1）①抛物线经过点，求出a，再代入对称轴公式求解即可；②因为，所以顶点是最低点，分别求出x=1和x=5时y的值，即可求解；
（2）根据得>，说明 的中点 在对称轴的左侧，即离对称轴较近，离对称轴较远，由即可求解．
【小问1详解】
解：①∵抛物线经过点．
∴
解得a=1，
∴
∴对称轴；
②当 时，y
当x=1时，y=-1，
当x=5时，y=3
∴当时， ．
【小问2详解】
解：∵抛物线经过点．
∴m=4a-2(a+4)+3=2a-5>0
∴a
对称轴
∵a
∴
∴
∵
∴
∴> ，
又∵
∴ 的中点 在对称轴的右侧，即离对称轴较近，离对称轴较远，
又∵a>0，抛物线的开口向上，则自变量x离对称轴距离越近函数值越小
∴
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式、对称轴公式、顶点坐标、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
27. 已知正方形ABCD，将线段BA绕点B旋转（），得到线段BE，连接EA，EC．
（1）如图1，当点E在正方形ABCD的内部时，若BE平分∠ABC，AB=4，则∠AEC=______°，四边形ABCE的面积为______；
（2）当点E在正方形ABCD的外部时，
①在图2中依题意补全图形，并求∠AEC的度数；
②作∠EBC的平分线BF交EC于点G，交EA的延长线于点F，连接CF．用等式表示线段AE，FB，FC之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）135，
（2）①作图见解析，45°；②
【解析】
【分析】（1）过点E作于点K，由正方形的性质、旋转的性质及角平分线的定义可得，再利用等腰三角形的性质和解直角三角形可求出，，继而可证明，便可求解；
（2）①根据题意作图即可；由正方形的性质、旋转的性质可得，再根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质求出，即可求解；
②过点B作 垂足为H，由等腰三角形的性质得到 ，再证明
即可得到 ，再推出 为等腰直角三角形，即可得到三者之间的关系．
【小问1详解】
过点E作于点K
四边形ABCD是正方形
BE平分∠ABC，AB=4，将线段BA绕点B旋转（），得到线段BE
，
，四边形ABCE的面积为
故答案为：135，
【小问2详解】
①作图如下
四边形ABCD是正方形
由旋转可得，
②，理由如下：
如图，过点B作 垂足为H
，∠EBC的平分线BF交EC于点G
为等腰直角三角形
即
【点睛】本题属于四边形和三角形的综合题目，涉及正方形的性质、旋转的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质和判定、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等，灵活运用上述知识点是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC与⊙O，给出如下定义：若△ABC与⊙O有且只有两个公共点，其中一个公共点为点A，另一个公共点在边BC上（不与点B，C重合），则称△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．
（1）如图，⊙O的半径为1，点．△AOC为⊙O的“点A关联三角形”．
①在，这两个点中，点A可以与点______重合；
②点A的横坐标的最小值为_______；
（2）⊙O的半径为1，点，点B是y轴负半轴上的一个动点，点C在x轴下方，△ABC是等边三角形，且△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．设点C的横坐标为m，求m的取值范围；
（3）⊙O的半径为r，直线与⊙O在第一象限的交点为A，点．若平面直角坐标系xOy中存在点B，使得△ABC是等腰直角三角形，且△ABC为⊙O的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围．
【答案】（1）①，②
（2）m>
（3）
【解析】
【分析】（1）根据“点A的关联三角形”的定义，只有除OC与⊙O有一个交点外，线段AC与⊙O也只有一个交点，所以当过点C作⊙O的切线时，点A应在弧MN上，求出M点的坐标，即可知点A的横坐标为，即可判断点A应与重合，点A的横坐标的最小值为；
（2）作OA的垂直平分线GH，交⊙O于G，OA于H，那么C点应在直线GH的右侧，根据△OGA是等边三角形，可求结论；
（3）符合△ABC等腰直角三角形的B点有6个，当r较小时，没有符合题意的B点，随着r增大，当AB1与圆O有交点，直到B1落在圆O上，r=，此时仍不满足题意，当r>时，符合，直至下图的临界位置：AC与圆O相切，B1与O重合，此时 r==，分①r>，②
【小问1详解】
解：①当点A与点重合时，连接与圆相交，而OC也与圆相交，这样△AOC就与圆有三个交点，所以不符合“点A关联三角形”的定义；
过C作⊙O的切线CM，交⊙O于M，连接OM，如图，
∴OC=2，OM=1，
∴
设M（x，y），则
解得或
当时，线段CM与⊙O有唯一交点，
∵
∴当点A与重合时，△AOC与⊙O是“点A的关联三角形”；
②由①得，
∴点A的横坐标的最小值为；
【小问2详解】
解：作OA的垂直平分线GH，交⊙O于G，OA于H，
那么C点应在直线GH的右侧，
∵OG=GA=OA=1，
∴△OGA是等边三角形，
∴C的横坐标为m>
【小问3详解】
解：如图，符合△ABC等腰直角三角形的B点有6个，当r较小时，没有符合题意的B点，随着r增大，如下图所示，
当AB1与圆O有交点，直到B1落在圆O上，如图，设A（m，m），C（4，0），B（x，y）
则r=OA=m
过A作x轴平行线，交y轴于D，过C作CE⊥AD于E
则△ADB1≌△ACE
∴AD=CE=m=m-x，DB1=AE=4-m=m-y
∴x=0，y=2m-4
即B1点恒在y轴上，
当B1点在圆O上时，即OB1=r时，可得：r+m=4-m，
故m+m=4-m
解得：m=，
∴r=，此时仍不满足题意，
当r>时，符合，直至下图的临界位置：AC与圆O相切，B1与O重合
易得：r==AC==
①当r>时，由图可知，AC将与圆O存在两个交点，不符题意
∴
设A（m，m），C（4，0），B（x，y），r2=2m2
∵，
∴
∵
∴△ACE≌△AB4D
∴AD=y-m=CE=4-m，DB4=AE=m=x-m
∴y=4，x=2m
此时OB42=4m2+16>r2
即B4圆O外部，C在圆O内部，B4C与圆O必有一个交点，符合题意
∴r>4符合题意
综上所述，r的取值范围是：
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了直线与圆的位置关系，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，综合运用这些知识点是解题的关键．
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