2022-2023学年天津实验中学滨海学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年天津实验中学滨海学校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 2 2B. 32C. 0.5D. 12
2. 下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 2× 3= 6C. 8=4 2D. 4− 2= 2
3. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )
A. 2，3，4B. 1，1，2
C. 1， 3，2D. 2， 3， 7
4. 如图，数轴上点A对应的数是0，点B对应的数是1，BC⊥AB，垂足为B，且BC=1，以A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为( )
A. 2.2B. 2C. 3D. 5
5. 下列说法正确的是( )
A. 对角线互相垂直平分的四边形的正方形B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
6. 如图，已知点A，B的坐标分别为(4,0)，(0,3)，连接AB，取AB的中点C，连接OC.则OC的长度为( )
A. 3
B. 4
C. 52
D. 5
7. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为BC的中点，AB=6，则OE的长为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
8. 菱形的周长为20cm，两个相邻的内角的度数之比为1：2，则较短的对角线长度是( )
A. 20 3cmB. 5 3cmC. 52 3cmD. 5cm
9. 如图，圆柱的高为8cm，底面半径为6πcm，一只蚂蚁从点A沿圆柱外壁爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是( )
A. 6cm
B. 8cm
C. 10cm
D. 12cm
10. 已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为( )
A. 3cm2B. 4cm2C. 6cm2D. 12cm2
11. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、6、2、3，则最大正方形E的面积是( )
A. 14
B. 34
C. 58
D. 72
12. 如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，…，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的有( )
①四边形A2B2C2D2是矩形；
②四边形A4B4C4D4是菱形；
③四边形A5B5C5D5的周长是a+b4；
④四边形AnBnCnDn的面积是ab2n+1．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 式子 5−x在实数范围内有意义，则x的取值范围是______ ．
14. 如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件______，使平行四边形ABCD是矩形．
15. 若 a−1+|b−2|=0，则以a，b为边长的直角三角形的周长为______ ．
16. 如图，从电杆上离地面5m的C处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面钢缆A到电线杆底部B的距离是______ ．
17. 如图，已知菱形ABCD，AC=6，面积等于24，则菱形ABCD的周长等于______ ．
18. 如图，在▱ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE=12cm，CE=5cm.则▱ABCD的周长为______，面积为______．
三、计算题（本大题共2小题，共14.0分）
19. 已知a+1a= 10，求a−1a的值．
20. 如图，已知一块四边形的草地ABCD，其中∠B=90°，AB=20m，BC=15m，CD=7m，DA=24m，求这块草地的面积．
四、解答题（本大题共5小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题16.0分)
计算：
(1) 20− 5+ 45；
(2) 12× 8− 27÷ 3；
(3) 24−3 16+ 6；
(4)(4+ 5)(4− 5)−(3− 2)2．
22. (本小题8.0分)
如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，A，B，C为格点．
(1)判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)求BC边上的高．
23. (本小题8.0分)
已知：如图，▱ABCD中，E，F是AB，CD上两点，且AE=CF.求证：DE=BF．
24. (本小题10.0分)
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE//AC，CE//BD．
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若OD=20，∠DOC=60°，求四边形OCED的面积．
25. (本小题10.0分)
已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B、C重合).以AD为边作正方形ADEF，连接CF．

(1)如图①，当点D在线段BC上时，
①求证：△ABD≌△ACF；
②∠ACF的大小= ______ (度)；
③若BC=8，CD=2，则CF的长= ______ ；
(2)如图②，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，则CF、BC、CD三条线段之间的关系是：CF= ______ ；
(3)如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：
①CF、BC、CD三条线段之间的关系是：CF= ______ ；
②若连接正方形的对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、2 2是最简二次根式；
B、 32= 62，不是最简二次根式；
C、 0.5= 22，不是最简二次根式；
D、 12=2 3，不是最简二次根式；
故选：A．
结合最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．进行解答即可．
本题考查了最简二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式的加减、二次根式的化简、二次根式的乘除等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．
分别根据二次根式的加减法则、二次根式的化简方法、二次根式的乘法法则求解，然后选择正确选项．
【解答】
解：A、 2和 3不是同类二次根式，不能合并，故错误；
B、 2× 3= 6，原式计算正确，故正确；
C、 8=2 2，原式计算错误，故错误；
D、 4− 2=2− 2，原式计算错误，故错误．
故选B．
3.【答案】C
【解析】解：A、∵22+32=13，42=16，
∴22+32≠42，
∴不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵1+1=2，
∴不能构成三角形，
故B不符合题意；
C、∵( 3)2+12=4，22=4，
∴( 3)2+12=22，
∴能构成直角三角形，
故C符合题意；
D、∵( 3)2+( 2)2=5，( 7)2=7，
∴( 3)2+( 2)2≠( 7)2，
∴不能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：C．
利用勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵AB=1，BC=1，BC⊥AB，
∴AC=AD= AB2+BC2= 12+12= 2，
∴点D表示的数为： 2．
故选：B．
直接利用勾股定理求出AD的长，进而得出点D表示的数．
此题主要考查了勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键．
5.【答案】D
【解析】解：(A)对角线互相垂直平分的四边形的菱形，故A错误．
(B)对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故B错误．
(C)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故C错误．
故选：D．
根据特殊的平行四边形的性质即可求出答案．
本题考查平行四边形，解题的关键是正确理解特殊平行四边形的性质，本题属于基础题型．
6.【答案】C
【解析】解：∵点A，B的坐标分别为(4,0)，(0,3)，
∴OA=4，OB=3，
∴AB= OA2+OB2= 42+32=5，
∵C是AB的中点，
∴OC=12AB=52．
故选：C．
由点的坐标可得OA=4，OB=3，根据勾股定理可得AB=5，再根据直角三角形的性质可得OC的长度．
本题考查了点的坐标以及直角三角形的性质，得出AB=5是解答本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC．
又∵点E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴根据三角形的中位线定理可得：AB=2OE=6．
则OE=3．
故选：B．
因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC；再根据点E是BC的中点，得出OE是△ABC的中位线，即可解决问题．
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线的性质：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半．
8.【答案】D
【解析】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，周长为20cm，
∴AB=BC=CD=AD=5cm，AD//BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠ABC：∠BAD=1：2，
∴∠ABC=60°，∠BAD=120°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=5cm，
即较短的对角线长为5cm，
故选：D．
由菱形的性质得AB=BC=CD=AD=5cm，AD//BC，再求出∠ABC=60°，∠BAD=120°，然后证△ABC为等边三角形，得AC=AB=5cm即可．
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：底面圆周长为2πr，底面半圆弧长为πr，即半圆弧长为：12×2π×6π=6(cm)，展开得：
∵BC=8cm，AC=6cm，
根据勾股定理得：AB= 82+62=10(cm)．
故选：C．
此题最直接的解法就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．
此题考查的是平面展开−最短路径问题，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度，再利用勾股定理求解．
10.【答案】C
【解析】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE=ED．
∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE．
∴BE=9−AE，
根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2．
解得AE=4．
∴△ABE的面积为3×4÷2=6.故选C．
根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
11.【答案】C
【解析】解：由勾股定理得，正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=32+62=45，

同理，正方形G的面积=正方形C的面积+正方形D的面积=22+32=13，
∴正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积=58，
故选：C．
根据勾股定理分别求出F、G的面积，再根据勾股定理计算即可．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
12.【答案】C
【解析】解：①连接A1C1，B1D1．
∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，
∴A1D1//BD，B1C1//BD，C1D1//AC，A1B1//AC；
∴A1D1//B1C1，A1B1//C1D1，
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形；
∵AC⊥BD，∴四边形A1B1C1D1是矩形，
∴B1D1=A1C1(矩形的两条对角线相等)；
∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2(中位线定理)，
∴四边形A2B2C2D2是菱形；
故本选项错误；
②由①知，四边形A2B2C2D2是菱形；
∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；
故本选项正确；
③根据中位线的性质易知，A5B5=12A3B3=14A1B1=18AC，B5C5=12B3C3=14B1C1=18BD，
∴四边形A5B5C5D5的周长是2×18(a+b)=a+b4，
故本选项正确；
④∵四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，
∴S四边形ABCD=ab÷2；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
四边形AnBnCnDn的面积是ab2n+1，
故本选项正确．
综上所述，②③④正确．
故选：C．
首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：
①根据矩形的判定与性质作出判断；
②根据菱形的判定与性质作出判断；
③由四边形的周长公式：周长=边长之和，来计算四边形A5B5C5D5的周长；
④根据四边形AnBnCnDn的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积．
本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理(三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半).解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系是最关键的．
13.【答案】x≤5
【解析】解：由题意得：5−x≥0，
解得：x≤5，
故答案为：x≤5．
根据二次根式有意义的条件可得5−x≥0，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
14.【答案】AC=BD(答案不唯一)
【解析】
【分析】
本题考查矩形的判定，属于基础题．
根据矩形的判定方法即可解决问题．
【解答】
解：若使平行四边形ABCD变为矩形，可添加的条件是：
AC=BD(对角线相等的平行四边形是矩形)．
故答案为AC=BD(答案不唯一)．
15.【答案】3+ 5或3+ 3
【解析】解：∵ a−1+|b−2|=0，
∴a−1=0，b−2=0，
解得：a=1，b=2，
则当a，b是直角边时，斜边长为： 5，
此时直角三角形的周长为：3+ 5，
当b为斜边长，则另一直角边长为： 3，
故此时直角三角形的周长为：3+ 3，
故以a，b为边长的直角三角形的周长为：3+ 5或3+ 3．
故答案为：3+ 5或3+ 3．
直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出a，b的值，进而利用分类讨论分析得出答案．
此题主要考查了勾股定理以及偶次方的性质以及绝对值的性质，正确分类讨论是解题关键．
16.【答案】2 6m
【解析】解：由题意知，AC=7，BC=5，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB= AC2−BC2= 72−52=2 6(m)，
即地面钢缆A到电线杆底部B的距离是2 6m，
故答案为：2 6m.
根据勾股定理可直接求解．
本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．
17.【答案】20
【解析】解：如图，设AC与BD交于点O，

∵四边形ABCD是菱形，AC=6，
∴AB=BC=CD=AD，OA=OC=12AC=3，OB=OD，AC⊥BD，
∵菱形ABCD的面积是24，
∴12×AC×BD=24，
∴BD=24×26=8，
∴OB=OD=12BD=4，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB= OA2+OB2= 32+42=5，
∴菱形ABCD的周长=4AB=20，
故答案为：20．
设AC与BD交于点O，由菱形的性质得AB=BC=CD=AD，OA=OC=3，OB=OD，AC⊥BD，再由菱形的面积得BD=8，则OB=OD=4，然后由勾股定理求解即可．
本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质，求出BD的长是解题的关键．
18.【答案】39；60
【解析】解：∵BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，
∴∠1=∠3=12∠ABC，∠DCE=∠BCE=12∠BCD，
∵AD//BC，AB//CD，
∴∠2=∠3，∠BCE=∠CED，∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠1=∠2，∠DCE=∠CED，∠3+∠BCE=90°，
∴AB=AE，CD=DE，∠BEC=90°，
在直角三角形BCE中，根据勾股定理得：BC=13cm，
根据平行四边形的对边相等，得到：AB=CD，AD=BC，
∴平行四边形的周长等于：AB+BC+CD+AD=6.5+13+6.5+13=39cm．
作EF⊥BC于F.根据直角三角形的面积公式得：EF=BE⋅CEBC=6013cm，
所以平行四边形的面积=6013×13=60cm2．
故答案为：39cm，60cm2．
根据角平分线的定义和平行线的性质得到等腰三角形ABE和等腰三角形CDE和直角三角形BCE.根据直角三角形的勾股定理得到BC=13.根据等腰三角形的性质得到AB=CD=12AD=12BC=6.5cm，从而求得该平行四边形的周长；根据直角三角形的面积可以求得平行四边形BC边上的高．
本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
19.【答案】解：∵a+1a= 10，
∴(a+1a)2=10，
∴(a−1a)2+4=10，
∴a−1a=± 6．
【解析】把a+1a= 10两边平方得到(a+1a)2=10，然后根据(a±b)2=a2±2ab+b2变形得到(a−1a)2+4=10，最后利用平方根的定义计算即可．
本题考查了完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.也考查了代数式的变形能力以及平方根的定义．
20.【答案】解：如图，连接AC，如图所示．
∵∠B=90°，AB=20m，BC=15m，
∴AC= AB2+BC2= 202+152=25m．
∵AC=25m，CD=7m，AD=24m，
∴AD2+DC2=AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°，
∴S△ABC=12×AB×BC=12×20×15=150m2，S△ACD=12×CD×AD=12×7×24=84m2，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=234m2．
【解析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接AC，由AD、CD、AC的长度关系可得△ACD为一直角三角形，AC为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ACD和Rt△ABC构成，则容易求解．
此题主要考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，得出△ACD是直角三角形是解题关键．
21.【答案】解：(1) 20− 5+ 45
=2 5− 5+3 5
=4 5；
(2) 12× 8− 27÷ 3
= 4− 9
=2−3
=−1；
(3) 24−3 16+ 6
=2 6− 62+ 6
=5 62；
(4)(4+ 5)(4− 5)−(3− 2)2
=16−5−(9−6 2+2)
=16−5−9+6 2−2
=6 2．
【解析】(1)先化简，然后合并同类二次根式即可；
(2)先算乘除法，再开方，然后计算减法即可；
(3)先化简，然后合并同类二次根式即可；
(4)根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后去括号，再合并同类项和同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)△ABC是直角三角形，
理由：由勾股定理得：
AB2=12+22=5，AC2=22+42=20，BC2=32+42=25，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形；
(2)设△ABC的边BC上的高为h，
在Rt△ABC中，AB= 5，AC=2 5，BC=5，
∴△ABC的面积=12AB×AC=12×BC×h，
∴ 5×2 5=5h，
∴h=2，
∴BC边上的高是2．
【解析】(1)根据勾股定理的逆定理进行计算即可解答；
(2)设△ABC的边BC上的高为h，然后利用等面积法进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
23.【答案】证明：在平行四边形ABCD中，
AB//CD，AB=CD，
∵AE=CF，
∴BE=DF，BE//DF．
∴四边形DEBF是平行四边形．
∴DE=BF．
【解析】要证DE=BF，只需证四边形DEBF是平行四边形，而很快证出BE=DF，BE//DF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证出．
本题考查了平行四边形的判定．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，AC=BD，
∴OC=OD，
∵DE//AC，CE//BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵OC=OD，
∴四边形OCED是菱形；
(2)∵OC=OD，∠DOC=60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC=OD=CD=20，
∵BD=2OD=40，
∴BC= BC2−CD2= 1600−400=20 3，
∴S△BCD=12×BC×CD=200 3，
∴S△OCD=100 3，
∵四边形OCED是菱形，
∴S菱形OCED=2S△OCD=200 3．
【解析】(1)根据矩形的性质得出OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，AC=BD，求出OC=OD，再根据菱形的判定定理得出即可；
(2)由勾股定理可求BC的长，由三角形的面积公式可求解．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25.【答案】45 6 BC+CD CD−BC
【解析】(1)①证明：∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中，
AB=AC∠BAD=∠CAFAD=AF，
∴△ABD≌△ACF(SAS)，
②∵△ABD≌△ACF，
∴∠ABD=∠ACF，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABD=∠ACB=45°，
∴∠ACF=45°，
故答案为：45．
③∵△ABD≌△ACF，
∴CF=BD，
∵BD=BC−CD=8−2=6，
故答案为：6．
(2)CF=BC+CD，
由(1)同理可证△ABD≌△ACF得：
∴CF=BD=BC+CD，
故答案为：BC+CD，
(3)①由(1)同理可证△ABD≌△ACF得：
∴CF=BD=CD−BC，
故答案为：CD−BC，
②△AOC为等腰三角形，理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABD=180°−45°=135°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
同理可证△BAD≌△CAF，
∴∠ACF=∠ABD=135°，
∴∠FCD=∠ACF−∠ACB=90°，
∴△FCD为直角三角形，
∵正方形ADEF中，O为DF的中点，
∴OC=12DF，OA=12AE，AE=DF，
∴OC=OA，
∴△AOC是等腰三角形．
(1)通过SAS证明△ABD≌△ACF，则有∠ACF=∠ABD，CF=BD，即可解决问题；
(2)由(1)同理可证△ABD≌△ACF得：CF=BD=BC+CD；
(3)由(1)同理可证△ABD≌△ACF得：∠ACF=∠ABD=135°，则∠FCD=∠ACF−∠ACB=90°，有O为DF，AE中点即可解题．
本题主要考查了正方形和等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等知识，始终有△BAD≌△CAF是解题的关键．