2023年陕西省西安市国际港务区铁一中陆港中学中考数学七模试卷

2023年陕西省西安市国际港务区铁一中陆港中学中考数学七模试卷

一、选择题（每题3分，共24分）

1．实数的算术平方根是（　　）

A． B． C． D．

2．既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．菱形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．扇形

3．如图是一个零件示意图，经测量得知∠A＝17°，∠B＝90°，∠D＝130°25'，则∠C的度数为（　　）

A．23°25' B．33° C．27° D．23°

4．化简：﹣，结果正确的是（　　）

A．1 B． 

C． D．x2+y2

5．如图，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，则下列条件能判定该四边形是菱形的是（　　）

A．AB＝BC B．AC＝BD 

C．AB∥CD D．AC、BD互相平分

6．已知直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝k1x﹣6（k1＜0）在第三象限交于点M，若直线l1与x轴的交点为B（3，0），则k的取值范围是（　　）

A．﹣2＜k＜2 B．﹣2＜k＜0 C．0＜k＜4 D．0＜k＜2

7．如图，AB是半径为4的⊙O的直径，P是圆上异于A，B的任意一点，∠APB的平分线交⊙O于点C，连接AC和BC，△ABC的中位线所在的直线与⊙O相交于点E、F，则EF的长是（　　）

A． B． C．3 D．

8．若一个二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过五个点A（﹣1，n）、B（3，n）、C（0，y1）、D（﹣2，y2）和E（2.5，y3），则下列关系正确的是（　　）

A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y1＜y2＜y3 D．y3＞y1＞y2

二.填空题（每题3分，共15分）

9．分解因式：＝　                  　．

10．已知△ABC中，∠A＝70°，BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的外角角平分线，交点为D，则∠D＝　      　．

​

11．关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 　      　．

12．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连接CD．若△ACD的面积是2，则k的值是　                　．

13．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6，点E为AB的中点，点F在CD上，且CF＝2，点G为直线BD上一动点，|GF﹣GE|的最大值是 　              　．

三、解答题

14．计算：．

15．求不等式的负整数解．

16．解方程：+1＝

17．孟老师不小心打碎了一个圆形的镜子，她准备买一个大小相同的镜子，请用镜子的碎片确定镜子的圆心．（尺规作图）

18．已知：如图，正方形ABCD中，点E，M，N分别在AB，BC，AD边上，CE＝MN，求证：CE⊥MN．

19．疫情期间为保护学生和教师的健康，某学校储备“抗疫物资”，用19000元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒，甲、乙两种口罩的售价分别是20元/盒，25元/盒．

（1）求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？

（2）现已知甲、乙两种口罩的数量分别是20个/盒，25个/盒，按照市教育局要求，学校必须储备足够使用10天的口罩，该校师生共计900人，每人每天2个口罩，问购买的口罩数量是否能满足市教育局的要求？

20．“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种．

（1）甲每次做出“石头”手势的概率为 　                　；

（2）用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率．

21．如图是某种云梯车的示意图，云梯OD升起时，OD与底盘OC夹角为α，液压杆AB与底盘OC夹角为β．已知液压杆AB＝3m，当α＝37°，β＝53°时，求AO的长．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin53°≈，tan53°≈）．

22．2022年北京冬奥会圆满结束，中国健儿奋力拼搏，一共获得了9枚金牌、4枚银牌、2枚铜牌．校学生会在全校范围内随机地对本校一些学生进行了“我最喜欢的冬奥会运动健儿”问卷调查（问卷共设有五个选项：“A——武大靖”、“B——徐梦桃”、“C——谷爱凌”、“D——苏翊鸣”、“E——齐广璞”，参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中的一个选项），将所有的调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：

请你根据以上信息，回答下列问题：

（1）此次调查的样本容量是 　      　；在扇形统计图中，选项“A——武大靖”所在扇形的圆心角度数是 　        　；

（2）补全上面的条形统计图；

（3）该校共有3000名学生，请你估计该校学生“最喜欢的冬奥会运动健儿”为“E——齐广璞”的人数．

23．如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，已知A点的纵坐标是2．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）根据图象求﹣x＜的解集；

（3）将直线y＝﹣x向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，如果△ABD的面积为36，求平移后的直线表达式．

24．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，△ABC的外角平分线BD交⊙O于点D，DE是⊙O切线，交CB的延长线于点E，连接AD．

（1）求证：AC∥DE；

（2）若，BE＝4，求CB的长．

25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，3），A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0）．点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．

26．问题提出：

（1）如图①，若∠A＝120°，AB＝6，AC＝5，则△ABC的面积为 　                  　；

问题发现：

（2）如图②，在四边形ABCD中，∠DAB＝30°，∠BCD＝60°，AD＝AB，CD＝CB＝60，点M，N分别为边CB，CD上两动点，且CM+CN＝40，连接AM，AN，试说明四边形AMCN的面积是定值；

问题解决：

（3）如图③是一块平行四边形空地，其中AB＝1000m，AD＝600m，∠DAB＝60°，点M，N分别为边CB，CD上两点，且CM+CN＝800m，连接AM，MN，AN．公司规划在△AND区域修建一座购物商城，在△CMN区域修建一个顾客休息中心，在△ABM区修建小吃城，最后中间△AMN区域进行绿化．公司为了利益最大化，绿化面积即△AMN的面积尽可能小．请你计算出绿化面积的最小值和CM的长度．

参考答案

一、选择题（每题3分，共24分）

1．实数的算术平方根是（　　）

A． B． C． D．

【分析】一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为，由此即可求解．

解：∵＝，

∴的算术平方根是．

故选：B．

【点评】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．

2．既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．菱形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．扇形

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

解：A、是菱形轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；

B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

C、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；

D、扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．

故选：A．

【点评】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．

3．如图是一个零件示意图，经测量得知∠A＝17°，∠B＝90°，∠D＝130°25'，则∠C的度数为（　　）

A．23°25' B．33° C．27° D．23°

【分析】连接BD，并延长至点E，利用三角形的外角性质，可得出∠ADE＝∠A+∠ABD，∠CDE＝∠C+∠CBD，进而可得出∠ADC＝∠A+∠ABC+∠C，再代入各角的度数，即可求出∠C的度数．

解：连接BD，并延长至点E，如图所示．

∵∠ADE是△ABD的外角，∠CDE是△BCD的外角，

∴∠ADE＝∠A+∠ABD，∠CDE＝∠C+∠CBD，

∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝∠A+∠ABD+∠C+∠CBD＝∠A+∠ABC+∠C，

即130°25′＝17°+90°+∠C，

∴∠C＝23°25′．

故选：A．

【点评】本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．

4．化简：﹣，结果正确的是（　　）

A．1 B． 

C． D．x2+y2

【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．

解：原式＝＝．

故选：B．

【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

5．如图，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，则下列条件能判定该四边形是菱形的是（　　）

A．AB＝BC B．AC＝BD 

C．AB∥CD D．AC、BD互相平分

【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再由菱形的判定定理即可得出结论．

解：能判定该四边形是菱形的是AC、BD互相平分，理由如下：

∵AC、BD互相平分，

∴四边形ABCD是平行四边形，

又∵AC⊥BD，

∴平行四边形ABCD是菱形，

故选：D．

【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定是解题的关键．

6．已知直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝k1x﹣6（k1＜0）在第三象限交于点M，若直线l1与x轴的交点为B（3，0），则k的取值范围是（　　）

A．﹣2＜k＜2 B．﹣2＜k＜0 C．0＜k＜4 D．0＜k＜2

【分析】直线l1轴的表达式为y＝kx﹣3k，则l1与y轴交点（0，﹣3k）在原点和点（0，﹣6）之间，即可求解．

解：∵直线l1与x轴的交点为B（3，0），

∴3k+b＝0，

∴y＝kx﹣3k，

直线l2：y＝k1x﹣6（k1＜0）与y轴的交点坐标为（0，﹣6），

若直线l1与x轴的交点为B（3，0），

则l1与y轴交点（0，﹣3k）在原点和点（0，﹣6）之间，

即：﹣6＜﹣3k＜0，

解得：0＜k＜2，

故选：D．

【点评】本题通过考查一次函数y＝kx+b的图象性质及一元一次不等式的解，本题的关键在于确定，l1与y轴交点在原点和点（0，﹣6）之间，进而求解．

7．如图，AB是半径为4的⊙O的直径，P是圆上异于A，B的任意一点，∠APB的平分线交⊙O于点C，连接AC和BC，△ABC的中位线所在的直线与⊙O相交于点E、F，则EF的长是（　　）

A． B． C．3 D．

【分析】连接OE、OC，OC交EF于D，由圆周角定理得出，如果连接OC交EF于D，根据垂径定理可知：OC必垂直平分EF．由MN是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得：OD＝CD＝OC＝2．在Rt△OED中求出ED的长，即可得出EF的值．

解：如图所示，

∵PC是∠APB的角平分线，

∴∠APC＝∠CPB，

∴弧AC＝弧BC；

∴AC＝BC；

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°．

即△ABC是等腰直角三角形．

连接OC，交EF于点D，则OC⊥AB；

∵MN是△ABC的中位线，

∴MN∥AB；

∴OC⊥EF，OD＝OC＝2．

连接OE，根据勾股定理，得：DE＝＝2，

∴EF＝2ED＝4．

故选：A．

【点评】此题考查圆周角定理，垂径定理，三角形的中位线，综合运用了圆周角定理及其推论发现等腰直角三角形，再进一步根据等腰三角形的性质以及中位线定理，求得EF的弦心距，最后结合垂径定理和勾股定理求得弦长．

8．若一个二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过五个点A（﹣1，n）、B（3，n）、C（0，y1）、D（﹣2，y2）和E（2.5，y3），则下列关系正确的是（　　）

A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y1＜y2＜y3 D．y3＞y1＞y2

【分析】由A，B两点的纵坐标相同，可得A，B两点关于对称轴对称，可求对称轴为直线x＝1，根据二次函数的d对称性和增减性即可判断．

解：∵A（﹣1，n）、B（3，n），

∴对称轴为直线x＝1；

∵a＞0，

∴在对称轴的左侧，y随x的增大而减小．

∵E（2.5，y3）关于对称轴的对称点为（﹣0.5，y3），且﹣2＜﹣0.5＜0＜1，

∴y2＞y3＞y1．

故选：B．

【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，利用了二次函数的对称性和增减性．

二.填空题（每题3分，共15分）

9．分解因式：＝　x　．

【分析】先提取公因式，再用公式法计算即可．

解：

＝x（）

＝x，

故答案为：x．

【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．

10．已知△ABC中，∠A＝70°，BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的外角角平分线，交点为D，则∠D＝　35°　．

​

【分析】由角平分线的定义可得∠CBD＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，再由三角形的外角性质可得∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠CBD+∠D，从而可求解．

解：∵BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的外角角平分线，

∴∠CBD＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，

∵∠ACE是△ABC的外角，∠DCE是△BCD的外角，

∴∠ACE＝∠A+∠ABC＝70°+∠ABC，∠DCE＝∠CBD+∠D，

∴∠D＝∠DCE﹣∠CBD

＝∠ACE﹣∠CBD

＝（70°+∠ABC）﹣∠CBD

＝35°+∠ABC﹣∠CBD

＝35°．

故答案为：35°．

【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．

11．关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 　a≥2　．

【分析】先把a当作已知条件求出各不等式的解集，再根据不等式组无解求出a的取值范围即可．

解：，

由①得：x≤2，

由②得：x＞a，

∵不等式组无解，

∴a≥2，

故答案为：a≥2．

【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小解没了．

12．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连接CD．若△ACD的面积是2，则k的值是　　．

【分析】作辅助线，构建直角三角形，利用反比例函数k的几何意义得到S△OCE＝S△OBD＝k，根据OA的中点C，利用△OCE∽△OAB得到面积比为1：4，代入可得结论．

解：连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E，

∵∠ABO＝90°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C，

∴S△COE＝S△BOD＝，S△ACD＝S△OCD＝2，

∵CE∥AB，

∴△OCE∽△OAB，

∴，

∴4S△OCE＝S△OAB，

∴4×k＝2+2+k，

∴k＝，

故答案为：．

【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．也考查了相似三角形的判定与性质．

13．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6，点E为AB的中点，点F在CD上，且CF＝2，点G为直线BD上一动点，|GF﹣GE|的最大值是 　　．

【分析】取CB的中点E′，连接FE′，GE′．解直角三角形求出FE′，根据GF﹣GE＝GF﹣GE′≤FE′可得结论．

解：取CB的中点E′，连接FE′，GE′．

∵四边形ABCD是正方形，BE＝AE，BE′＝CE′，

∴点E与点E′关于BD对称，

∴GE＝GE′，

在Rt△CFE′中，FE′＝＝＝，

∵GF﹣GE＝GF﹣GE′≤FE′，

∴FG﹣GE≤，

∴|GF﹣GE|的最大值为．

故答案为：．

【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考常考题型．

三、解答题

14．计算：．

【分析】直接利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质、二次根式的除法运算法则分别化简，进而计算得出答案．

解：原式＝﹣﹣（3﹣4）+5

＝﹣﹣3+4+5

＝﹣4+9．

【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．

15．求不等式的负整数解．

【分析】解不等式求出解集，则可得出答案．

解：去分母得，8（x﹣1）﹣（2x+5）≥﹣28，

∴，

∴原不等式的负整数解为 x＝﹣2或﹣1．

【点评】此题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．

16．解方程：+1＝

【分析】本题考查解分式方程的能力，因为x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），所以可得最简公分母为（x+1）（x﹣1）．去分母后解整式方程即可，注意检验．

解：方程两边同乘以（x2﹣1），得

x2﹣4x+x2﹣1＝2x（x﹣1），

2x2﹣4x﹣1＝2x2﹣2x，

﹣2x＝1，

∴x＝﹣．

经检验：x＝﹣是原方程的解，

∴原方程的解为x＝﹣．

【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．

（2）解分式方程一定注意要验根．

17．孟老师不小心打碎了一个圆形的镜子，她准备买一个大小相同的镜子，请用镜子的碎片确定镜子的圆心．（尺规作图）

【分析】在圆弧上取A，B，C三点，连接AB，BC，作线段AB，BC的垂直平分线交于点O，点O即为所求．

解：如图，点O即为所求．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

18．已知：如图，正方形ABCD中，点E，M，N分别在AB，BC，AD边上，CE＝MN，求证：CE⊥MN．

【分析】作NF⊥BC于F，先根据HL证明Rt△BCE≌Rt△NFM，得出对应角相等，再根据角的互余关系，即可得出结论．

【解答】证明：作NF⊥BC于F，如图所示：

则∠NFM＝90°，四边形CDNF是矩形，

∴NF＝CD，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC＝CD，∠ABC＝90°，

∴BC＝NF，

在Rt△BCE和Rt△NFM中，，

∴Rt△BCE≌Rt△NFM（HL），

∴∠1＝∠2，

∵∠2+∠3＝90°，

∴∠1+∠3＝90°，

∴∠4＝90°，

∴CE⊥MN．

【点评】本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质；通过作辅助线构造三角形全等是解决问题的关键．

19．疫情期间为保护学生和教师的健康，某学校储备“抗疫物资”，用19000元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒，甲、乙两种口罩的售价分别是20元/盒，25元/盒．

（1）求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？

（2）现已知甲、乙两种口罩的数量分别是20个/盒，25个/盒，按照市教育局要求，学校必须储备足够使用10天的口罩，该校师生共计900人，每人每天2个口罩，问购买的口罩数量是否能满足市教育局的要求？

【分析】（1）设甲种口罩购进了x盒，乙种口罩购进了y盒，根据总价＝单价×数量，结合用19000元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒，列出二元一次方程组，解方程组即可；

（2）利用购进口罩的总数量＝每盒的个数×购进数量，可求出购进口罩的总数量，利用市教育局的要求数＝2×该校师生人数×10，可求出学校需要口罩的总数量，比较后即可得出结论．

解：（1）设甲种口罩购进了x盒，乙种口罩购进了y盒，

依题意得：，

解得：，

答：甲种口罩购进了700盒，乙种口罩购进了200盒．

（2）20×700+25×200＝14000+5000＝19000（个），2×900×10＝18000（个），

∵19000＞18000，

∴购买的口罩数量能满足市教育局的要求．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）利用购进口罩的总数量＝每盒的个数×购进数量，求出购进口罩的总数量．

20．“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢．假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种．

（1）甲每次做出“石头”手势的概率为 　　；

（2）用画树状图或列表的方法，求乙不输的概率．

【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；

（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．

解：（1）甲每次做出“石头”手势的概率为；

故答案为：；

（2）画树状图得：

共有9种等可能的情况数，其中乙不输的有6种，

则乙不输的概率是＝．

【点评】本题考查的是用列举法求概率，解答此题的关键是列出可能出现的所有情况，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

21．如图是某种云梯车的示意图，云梯OD升起时，OD与底盘OC夹角为α，液压杆AB与底盘OC夹角为β．已知液压杆AB＝3m，当α＝37°，β＝53°时，求AO的长．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin53°≈，tan53°≈）．

【分析】利用锐角三角函数可求AE，OE的长，即可求解，结合图形求得AO的长度．

解：∵sinβ＝sin53°＝，

∴≈，

∴BE≈m．

∵tanα＝tan37°＝，

∴≈，

∴OE＝m，

∵tanβ＝tan53°＝，

∴≈，

∴AE≈m．

∴OA＝OE﹣AE＝m．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用锐角三角函数求线段的长是解题的关键．

22．2022年北京冬奥会圆满结束，中国健儿奋力拼搏，一共获得了9枚金牌、4枚银牌、2枚铜牌．校学生会在全校范围内随机地对本校一些学生进行了“我最喜欢的冬奥会运动健儿”问卷调查（问卷共设有五个选项：“A——武大靖”、“B——徐梦桃”、“C——谷爱凌”、“D——苏翊鸣”、“E——齐广璞”，参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中的一个选项），将所有的调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：

请你根据以上信息，回答下列问题：

（1）此次调查的样本容量是 　300　；在扇形统计图中，选项“A——武大靖”所在扇形的圆心角度数是 　79.2°　；

（2）补全上面的条形统计图；

（3）该校共有3000名学生，请你估计该校学生“最喜欢的冬奥会运动健儿”为“E——齐广璞”的人数．

【分析】（1）用C选项的人数除以它所占的百分比得到的总人数，从而得到样本容量；用A选项的人数所占的百分比乘以360°得到选项“A——武大靖”所在扇形的圆心角度数；

（2）先计算出D选项的人数，然后补全条形统计图；

（3）用3600乘以样本中E选项人数所占的百分比即可．

解：（1）此次调查的样本容量为：90÷30%＝300；

选项“A——武大靖”所在扇形的圆心角度数是：360°×＝79.2°；

故答案为：300，79.2°；

（2）D选项的人数为：300×25%＝75（人），

补全条形统计图为：

（3）根据题意得：

3000×＝150（人），

所以估计该校学生“最喜欢的冬奥会运动健儿”为“E——齐广璞”的人数为150人．

【点评】本题考查了条形统计图：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．也考查了统计图．

23．如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，已知A点的纵坐标是2．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）根据图象求﹣x＜的解集；

（3）将直线y＝﹣x向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，如果△ABD的面积为36，求平移后的直线表达式．

【分析】（1）将y＝3代入一次函数解析式中，求出x的值，即可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式；

（2）根据图象即可求得；

（3）连接AF、BF，设平移后的解析式为y＝﹣x+b，由平行线的性质可得出S△ABD＝S△ABC，结合正、反比例函数的对称性以及点A的坐标，即可得出关于b的一元一次方程，解方程即可得出结论．

解：（1）令一次函数y＝﹣x中y＝2，则2＝﹣x，

解得：x＝﹣6，即点A的坐标为（﹣6，2），

∵点A（﹣6，2）在反比例函数y＝的图象上，

∴k＝﹣6×2＝﹣12，

∴反比例函数的表达式为y＝﹣；

（2）由对称性可知：xB＝﹣xA，

∵xA＝﹣6，

∴xB＝6，

由图象可知，﹣x＜的解集为﹣6＜x＜0或x＞6；

（3）连接AC、BC如图所示．

设平移后的解析式为y＝﹣x+b，

∵该直线平行直线AB，

∴S△ABD＝S△ABC，

∵△ABD的面积为36，

∴S△ABC＝OC•（xB﹣xA）＝36，

∴b×12＝36，

∴b＝6，

∴平移后的直线的函数表达式为y＝﹣x+6．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题的关键．

24．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，△ABC的外角平分线BD交⊙O于点D，DE是⊙O切线，交CB的延长线于点E，连接AD．

（1）求证：AC∥DE；

（2）若，BE＝4，求CB的长．

【分析】（1）连接OD，根据切线性质可得∠ODE＝90°，再利用角平分线和等腰三角形可证OD∥BE，从而利用平行线的性质可得∠DEC＝90°，然后利用直径所对的圆周角是直角可得∠C＝90°，从而利用平行线的判定即可解答；

（2）过点O作OF⊥CE，垂足为F，根据垂径定理可得∠OFE＝90°，BC＝2BF，再利用（1）的结论可得四边形ODEF是矩形，从而可得OD＝EF，然后根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而证明△ABD∽△DBE，进而利用相似三角形的性质进行计算求出AB，最后求出OD，EF的长，从而求出BF的长，即可解答．

【解答】（1）证明：连接OD，

∵DE与⊙O相切于点D，

∴∠ODE＝90°，

∵BD平分∠ABE，

∴∠ABD＝∠DBE，

∵OB＝OD，

∴∠ABD＝∠ODB，

∴∠ODB＝∠DBE，

∴OD∥BE，

∴∠DEC＝180°﹣∠ODE＝90°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠C＝90°，

∴∠C+∠DEB＝180°，

∴AC∥DE；

（2）解：过点O作OF⊥CE，垂足为F，

∴∠OFE＝90°，BC＝2BF，

∵∠ODE＝∠DEB＝90°，

∴四边形ODEF是矩形，

∴OD＝EF，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵∠ADB＝∠DEB＝90°，∠ABD＝∠DBE，

∴△ABD∽△DBE，

∴＝，

∴＝，

∴AB＝20，

∴OD＝EF＝AB＝10，

∴BF＝EF﹣BE＝10﹣4＝6，

∴BC＝2BF＝12，

∴CB的长为12．

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，3），A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0）．点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．

【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据菱形的对角线互相平分，可得P点的纵坐标，根据函数值与自变量的对应关系，可得答案；

（3）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质和自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标．

解：（1）将B、C两点的坐标代入得，

解得．

所以二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）如图，连接PP′，

，

存在点P，使四边形POP′C为菱形．

设P点坐标为（x，﹣x2+2x+3），PP′交CO于E，

若四边形POP′C是菱形，则有PC＝PO．

则PE⊥CO于E．

∴OE＝CE＝，

∴y＝．

∴

解得x1＝，x2＝（不合题意，舍去）

∴P点的坐标为．

（3）如下图，

，

过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设点P的横坐标为x，则0＜x＜3，P（x，﹣x2+2x+3），

易得，直线BC的解析式为y＝﹣x+3．

则Q点的坐标为（x，﹣x+3）．

PQ＝﹣x2+3x．

S四边形ABPC＝S△ABC+S△BPQ+S△CPQ＝AB•OC+QP•BF+QP•OF

＝×4×3+（﹣x2+3x）×3

＝﹣（x﹣）2+，

当时，四边形ABPC的面积最大

此时P点的坐标为，四边形ABPC面积的最大值为．

【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用菱形的性质得出P点的纵坐标是解题关键；利用面积的和差得出二次函数是解题关键．

26．问题提出：

（1）如图①，若∠A＝120°，AB＝6，AC＝5，则△ABC的面积为 　　；

问题发现：

（2）如图②，在四边形ABCD中，∠DAB＝30°，∠BCD＝60°，AD＝AB，CD＝CB＝60，点M，N分别为边CB，CD上两动点，且CM+CN＝40，连接AM，AN，试说明四边形AMCN的面积是定值；

问题解决：

（3）如图③是一块平行四边形空地，其中AB＝1000m，AD＝600m，∠DAB＝60°，点M，N分别为边CB，CD上两点，且CM+CN＝800m，连接AM，MN，AN．公司规划在△AND区域修建一座购物商城，在△CMN区域修建一个顾客休息中心，在△ABM区修建小吃城，最后中间△AMN区域进行绿化．公司为了利益最大化，绿化面积即△AMN的面积尽可能小．请你计算出绿化面积的最小值和CM的长度．

【分析】（1）如图1，过点C作CD⊥AB于D，根据勾股定理计算高CD的长，由三角形面积公式可得结论；

（2）如图2，连接AC，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，过点A作AF⊥DC交CD的延长线于点F，设AF＝x，则CF＝x+60，根据30°的正切列方程可得x的值，根据面积和表示S四边形AMCN，即可得结果；

（3）如图3，作辅助线，构建高线AP，AQ，设CM＝xm，利用面积差表示S三角形AMN，利用函数性质即可得结论．

解：（1）如图1，过点C作CD⊥AB于D，

∴∠ADC＝90°，

∵∠A＝120°，

∴∠CAD＝60°，

∵AC＝5，

∴CD＝AC＝，

∴△ABC的面积＝•AB•CD＝＝，

故答案为：；

（2）如图2，连接AC，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，过点A作AF⊥DC交CD的延长线于点F，则∠AEB＝∠AFD＝90°，

∵AD＝AB，CD＝CB，AC＝AC，

∴△ADC≌△ABC（SSS），

∴∠ACD＝∠ACB＝∠BCD＝30°，∠ADC＝∠ABC，

∴tan∠ACF＝tan30°＝＝，

∵AF⊥CD，AE⊥CB，

∴AF＝AE，

∵∠BAD＝30°，∠BCD＝60°，

∴∠ADC＝∠ABC＝＝135°，

∴∠ADF＝45°，

∴△ADF是等腰直角三角形，

∴AF＝DF，

设AF＝x，则CF＝x+60，

∴，

∴x＝30+30，

∴AF＝30+30，

S四边形AMCN＝S△AMC+S△ANC

＝•CM•AE+•CN•AF

＝AE（CM+CN）

＝×40×（30+30）

＝600+600，

故四边形AMCN的面积为600+600，

∴四边形AMCN的面积是定值；

（3）如图3，过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，过点A作AP⊥DC交CD的延长线于点P，则∠Q＝∠P＝90°，

设CM＝xm，则CN＝（800﹣x）m，DN＝CD﹣CN＝1000﹣（800﹣x）＝（x+200）m，BM＝BC﹣CM＝（600﹣x）m，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠ABQ＝∠C＝60°，∠ADP＝∠BAD＝60°，

在Rt△ABQ中，sin60°＝，即＝，

∴AQ＝500，

在Rt△ADP中，sin60°＝，即＝，

∴AP＝300，

过点N作NE⊥BC于E，

Rt△NEC中，∠CNE＝30°，CN＝800﹣x，

∴EN＝（800﹣x）＝400﹣x，

S三角形AMN＝S▱ABCD﹣S△ABM﹣S△ADN﹣S△CMN

＝600×500﹣×500×（600﹣x）﹣×300×（x+200）﹣•x•（400﹣x）

＝100x+120000﹣200x+x2

＝x2﹣100x+120000＝（x﹣200）2+110000，

∵＞0，

∴当CM＝200m时，△AMN的面积最小，其最小值是110000m2，即绿化面积的最小值110000m2．

【点评】本题是四边形综合题，涉及到勾股定理，直角三角形的性质，锐角三角函数，二次函数的性质，三角形和平行四边形的面积等，解题关键是利用函数判断最小值．