浙江省宁波市鄞州实验中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

2022-2023学年浙江省宁波市鄞州实验中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．下列图形是中心对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

2．若反比例函数的图象经过点（1，），则这个反比例函数的图象还经过点（　　）

A．（9，） B．（﹣3，） C．（﹣3，﹣） D．（﹣9，﹣）

3．已知一元二次方程x2+kx+4＝0有一个根为1，则k的值为（　　）

A．4 B．5 C．﹣4 D．﹣5

4．已知菱形ABCD的面积是12，对角线AC＝4，则BD是（　　）

A．10 B．8 C．6 D．3

5．对于命题“在同一平面内，若a∥b，a∥c，则b∥c”，用反证法证明，应假设（　　）

A．a⊥c B．b⊥c C．a与c相交 D．b与c相交

6．在平行四边形ABCD中有一个内角为50°，则∠A的度数为（　　）

A．50° B．100° C．50°或100° D．50°或130°

7．一家鞋店对上周某一品牌的销售情况统计如下表：

该店决定本周进鞋时多进些尺码为23.5厘米的鞋，影响鞋店决策的统计量是（　　）

A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差

8．下列测量方案能判定四边形台面为矩形的是（　　）

A．测量得出对角线相等 

B．测量得出对角线互相平分 

C．测量得出两组对边分别相等 

D．测量得出对角线交点到四个顶点的距离相等

9．如图，直线y1＝﹣x+2与双曲线y2＝相交于A、B两点，已知点A坐标为（m，﹣2m），当x＞m时，y2的取值范围为（　　）

A．y2＞4 B．y2＜4 C．0＜y2＜4 D．y2＞4或y2＜0

10．如图，直线l交正方形ABCD的对边AD、BC于点P、Q，正方形ABCD和正方形EFGH关于直线l成轴对称，点H在CD边上，点A在边EF上，BC、HG交于点M，AB、FG交于点N．若CD＝5，DH＝2，则△GQM的周长为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．二次根式中x的取值范围是　      　．

12．如图，在△ABC中，点D，点E分别是边AB，BC的中点，若∠A＝90°，AB＝6，BC＝10．则DE＝　   　．

13．甲、乙两地7月上旬的日平均气温如图所示，则甲、乙两地这10天中日平均气温方差的大小关系是S　   　S（填“＞”、“＜”或“＝”）．

14．解一元二次方程x2+2x﹣1＝0，配方得到（x+1）2＝a，则a的值为 　   　．

15．如图，双曲线y＝（x＞0）经过△ABC的两顶点A、C，AB∥x轴交y轴于点B，过点C作CD⊥y轴于点D，若OB＝CD＝2，且△ABC的面积为3，则k的值为 　                　．

16．如图，菱形ABCD中，FA＝FB＝2，∠ABC＝60°，向内构造菱形版“赵爽弦图”，得到了两对全等三角形，四边形EFGH是矩形，FA＝FB，则矩形EFGH的面积为 　                  　．

三、简答题（本大题有8小题，共52分）

17．计算：

（1）；

（2）（）（）．

18．解方程：

（1）x2﹣2x＝0；

（2）x2﹣7x+2＝0．

19．如图，在4×4的方格中，有4个小方格被涂黑成“L形”．

（1）在图1中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形“关于对称中心点O成中心对称；

（2）在图2和图3中再分别涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形（两个图各画一种）．

20．某中学八年级组织了一次数学计算比赛（禁用计算器），每班选25名同学参加比赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中A等级得分为100分，B等级得分为85分，C等级得分为75分，D等级得分为60分，数学教研组将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图，请根据提供的信息解答下列问题．

（1）把一班竞赛成绩统计图补充完整．

（2）填表：

（3）成绩B级以上（包括B级）为优秀，请你利用数据分析哪个班级优秀人数更多．

21．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题：

（1）当每箱饮料降价10元时，这种饮料每天销售获利多少元？

（2）为了尽可能地清理库存，以及要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元？

22．如图1，在平行四边形ABCD中，点E、F分别为AD，BC的中点，点G，H在对角线BD上，且BG＝DH．

（1）求证：四边形EHFG是平行四边形．

（2）如图2，连结AC交BD于点O，若AC⊥EH，OH＝BH，OH＝2，求AB的长．

23．电灭蚊器的电阻y（kΩ）随温度x（℃）变化的大致图象如图所示，通电后温度由室温10℃上升到30℃时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加kΩ．

（1）当10≤x≤30时，求y与x之间的关系式；

（2）电灭蚊器在使用过程中，温度x在什么范围内时，电阻不超过5kΩ？

24．如图，在正方形ABCD中，E是AB上的一点（不与端点A，B重合），连结DE，过点A作DE的垂线，分别交DE、BC于点F、H．在FH上取点G，使得FG＝AF，连结DG，CG．

（1）求证：△ADE≌△BAH；

（2）①若∠ADE＝30°，则∠HGC＝　     　°；

②改变∠ADE的度数，∠HGC的度数是否会发生变化？若发生变化，请写出∠HGC与∠ADE之间的数量关系，若不改变，请说明理由；

（3）若AE＝BE＝，求CG的长．

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．下列图形是中心对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

解：选项B、C、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，

选项A能找到一个点，使图形绕这一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，

故选：A．

【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

2．若反比例函数的图象经过点（1，），则这个反比例函数的图象还经过点（　　）

A．（9，） B．（﹣3，） C．（﹣3，﹣） D．（﹣9，﹣）

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出k的值，再根据点的坐标进行验证即可．

解：设反比例函数的关系式为y＝，

∵反比例函数y＝的图象经过点（1，），

∴k＝1×＝，

又∵9×＝3≠，﹣3×＝﹣≠，﹣3×（﹣）＝，﹣9×（﹣）＝3，

∴（﹣3，﹣）在反比例函数的图象上，

故选：C．

【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是正确解答的前提，求出k的值是解决问题的关键．

3．已知一元二次方程x2+kx+4＝0有一个根为1，则k的值为（　　）

A．4 B．5 C．﹣4 D．﹣5

【分析】将x＝1代入原方程，可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．

解：将x＝1代入原方程得：12+k+4＝0，

解得：k＝﹣5，

∴k的值为﹣5．

故选：D．

【点评】本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．

4．已知菱形ABCD的面积是12，对角线AC＝4，则BD是（　　）

A．10 B．8 C．6 D．3

【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可．

解：∵菱形ABCD的面积是12，对角线AC＝4，

∴＝×4BD＝12，

∴BD＝6，

故选：C．

【点评】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．

5．对于命题“在同一平面内，若a∥b，a∥c，则b∥c”，用反证法证明，应假设（　　）

A．a⊥c B．b⊥c C．a与c相交 D．b与c相交

【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．

解：c与b的位置关系有c∥b和c与b相交两种，因此用反证法证明“c∥b”时，应先假设c与b相交．

故选：D．

【点评】本题结合直线的位置关系考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

6．在平行四边形ABCD中有一个内角为50°，则∠A的度数为（　　）

A．50° B．100° C．50°或100° D．50°或130°

【分析】由平行四边形的对角相等和邻角互补即可得出结论．

解：平行四边形的一个内角为50°，它的对角度数是50°，它的邻角为130°．

故选：D．

【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的对角相等是解题的关键．

7．一家鞋店对上周某一品牌的销售情况统计如下表：

该店决定本周进鞋时多进些尺码为23.5厘米的鞋，影响鞋店决策的统计量是（　　）

A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差

【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．

解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故应最关心这组数据中的众数；

故选：C．

【点评】此题主要考查统计的有关知识，熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键．

8．下列测量方案能判定四边形台面为矩形的是（　　）

A．测量得出对角线相等 

B．测量得出对角线互相平分 

C．测量得出两组对边分别相等 

D．测量得出对角线交点到四个顶点的距离相等

【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．

解：A、∵对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，

∴对角线相等的四边形不是矩形，故选项A不符合题意；

B、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，

∴对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，故选项B不符合题意；

C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；

D、∵对角线交点到四个顶点的距离都相等，

∴对角线互相平分且相等，

∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故选项D符合题意；

故选：D．

【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、熟记矩形的判定定理是解题的关键．

9．如图，直线y1＝﹣x+2与双曲线y2＝相交于A、B两点，已知点A坐标为（m，﹣2m），当x＞m时，y2的取值范围为（　　）

A．y2＞4 B．y2＜4 C．0＜y2＜4 D．y2＞4或y2＜0

【分析】根据一次函数与反比例函数的图象以及交点坐标，将x＞m，分为﹣2＜x＜0和x＞0两段分别进行解答即可．

解：∵点A（m，﹣2m）在直线y1＝﹣x+2上，

∴﹣2m＝﹣m+2，

即m＝﹣2，

∴点A（﹣2，4），

由两个函数的图以及交点坐标可知，

当x＞﹣2时，y2＞4或y2＜0，

故选：D．

【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点坐标，数形结合是正确解答的关键．

10．如图，直线l交正方形ABCD的对边AD、BC于点P、Q，正方形ABCD和正方形EFGH关于直线l成轴对称，点H在CD边上，点A在边EF上，BC、HG交于点M，AB、FG交于点N．若CD＝5，DH＝2，则△GQM的周长为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

【分析】根据对称可得QG＝QB，将△GQM的周长表示出来，在通过边的转化解答即可．

解：∵C△GQM＝MQ+QG+MG，

∵正方形ABCD和正方形EFGH关于直线l成轴对称，

∴QG＝QB，

∴C△GQM＝MQ+QB+MG＝BM+GM＝KM+MG＝KG，

∵KG＝HG﹣HK＝DC﹣DH＝CH，

∴C△GQM＝CH＝CD﹣DH＝5﹣2＝3，

故选：C．

【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称图形的性质，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键．

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．二次根式中x的取值范围是　x≥1　．

【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．

解：由题意得，x﹣1≥0，

解得x≥1．

故答案为：x≥1．

【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．

12．如图，在△ABC中，点D，点E分别是边AB，BC的中点，若∠A＝90°，AB＝6，BC＝10．则DE＝　4　．

【分析】根据勾股定理求出AC，再根据三角形中位线定理解答即可．

解：在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，

则AC＝＝＝8，

∵点D，点E分别是边AB，BC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE＝AC＝4，

故答案为：4．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．

13．甲、乙两地7月上旬的日平均气温如图所示，则甲、乙两地这10天中日平均气温方差的大小关系是S　＞　S（填“＞”、“＜”或“＝”）．

【分析】由折线统计图知，乙地这10天中日平均气温的波动幅度明显小于甲地，结合方差的意义求解即可．

解：由折线统计图知，乙地这10天中日平均气温的波动幅度明显小于甲地，

∴S＞S，

故答案为：＞．

【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

14．解一元二次方程x2+2x﹣1＝0，配方得到（x+1）2＝a，则a的值为 　2　．

【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．

解：∵x2+2x﹣1＝0，

∴x2+2x＝1，

则x2+2x+1＝1+1，即（x+1）2＝2，

∴a＝2，

故答案为：2．

【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．

15．如图，双曲线y＝（x＞0）经过△ABC的两顶点A、C，AB∥x轴交y轴于点B，过点C作CD⊥y轴于点D，若OB＝CD＝2，且△ABC的面积为3，则k的值为 　2+2　．

【分析】由题意可知，C（2，），A（，2），利用△ABC的面积为3，得到＝3，解方程求得k的值．

解：∵OB＝CD＝2，

由题意可知，C（2，），A（，2），

∵△ABC的面积为3，

∴＝3，

解得k1＝2+2．k2＝2﹣2（舍去），

故答案为：2+2．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，表示出A、C的坐标是解题的关键．

16．如图，菱形ABCD中，FA＝FB＝2，∠ABC＝60°，向内构造菱形版“赵爽弦图”，得到了两对全等三角形，四边形EFGH是矩形，FA＝FB，则矩形EFGH的面积为 　　．

【分析】过点A作AM⊥BC于M，过点G作GN⊥BC于N，连接GM，由FA＝FB＝2，可得AB＝2，∠ABF＝∠BAF＝45°，根据菱形的性质和矩形的性质可得∠CBG＝15°，∠DAF＝75°，则∠CDH＝∠DCH＝45°，∠ADE＝15°，∠BCG＝75°，可得出△ABF≌△CDH，△BCG≌△DAE，分别求出菱形ABCD，△ABF，△BCG的面积，即可得矩形EFGH的面积．

解：过点A作AM⊥BC于M，过点G作GN⊥BC于N，连接GM，

∵四边形EFGH是矩形，

∴∠AFB＝∠AED＝∠BGC＝∠CHD＝90°，

∵FA＝FB＝2，

∴AB＝，∠ABF＝∠BAF＝45°，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，

∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝∠BCD＝120°，

∴∠CBG＝15°，∠DAF＝75°，

∴∠CDH＝∠DCH＝45°，∠ADE＝15°，∠BCG＝75°，

∴∠BAF＝∠DCH＝∠ABF＝∠CDH，∠ADE＝∠CBG，∠DAE＝∠BCG，

在△ABF和△CDH中，

，

∴△ABF≌△CDH（ASA），

同理：△BCG≌△DAE（ASA），

∵AM⊥BC，∠ABC＝60°，

∴∠BAM＝30°，

∴BM＝AB＝，

∴AM＝BM＝，BC＝2BM，

∵∠BGC＝90°，

∴BM＝CM＝GM＝，

∴∠CMG＝2∠CBG＝30°，

∵GN⊥BC，

∴GN＝GM＝，

∴S菱形ABCD＝BC•AM＝，

S△ABF＝AF•BF＝＝2，

S△BCG＝BC•GN＝×2×＝，

∴S矩形EFGH＝S菱形ABCD﹣2S△ABF﹣2S△BCG＝．

故答案为：．

【点评】本题考查的是菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定定理以及菱形的性质是解答本题的关键．

三、简答题（本大题有8小题，共52分）

17．计算：

（1）；

（2）（）（）．

【分析】（1）先根据二次根式的除法法则运算，然后把化简后合并即可；

（2）利用平方差公式计算．

解：（1）原式＝2﹣

＝2﹣

＝；

（2）原式＝（）2﹣22

＝3﹣4

＝﹣1．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则幂是解决问题的关键．

18．解方程：

（1）x2﹣2x＝0；

（2）x2﹣7x+2＝0．

【分析】（1）利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；

（2）利用公式法求解即可．

解：（1）∵x2﹣2x＝0，

∴x（x﹣2）＝0，

则x＝0或x﹣2＝0，

解得x1＝0，x2＝2；

（2）∵a＝1，b＝﹣7，c＝2，

∴Δ＝（﹣7）2﹣4×1×2＝41＞0，

则x＝，即x1＝，x2＝．

【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．

19．如图，在4×4的方格中，有4个小方格被涂黑成“L形”．

（1）在图1中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形“关于对称中心点O成中心对称；

（2）在图2和图3中再分别涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形（两个图各画一种）．

【分析】（1）根据中心对称图形的定义画出图形；

（2）根据轴对称图形，中心对称图形的定义画出图形即可．

解：（1）图形如图所示：

（2）图形如图所示：

【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，利用轴对称设计图案等知识，解题的关键是掌握中心对称图形，轴对称图形的定义，属于中考常考题型．

20．某中学八年级组织了一次数学计算比赛（禁用计算器），每班选25名同学参加比赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中A等级得分为100分，B等级得分为85分，C等级得分为75分，D等级得分为60分，数学教研组将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图，请根据提供的信息解答下列问题．

（1）把一班竞赛成绩统计图补充完整．

（2）填表：

（3）成绩B级以上（包括B级）为优秀，请你利用数据分析哪个班级优秀人数更多．

【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得一班C等级的学生数，从而可以解答本题；

（2）根据表格中的数据可以求得一班的中位数以及二班的众数；

（3）根据表格中的数据，可以从两方面比较一班和二班成绩的情况．

解：（1）一班C等级的学生有：25﹣6﹣12﹣5＝2，

补全的条形统计图如右图所示；

（2）一班的中位数是85，

二班的众数是100，

故答案为：85、100；

（3）从B级以上（包括B级）的人数方面来比较，一班成绩更好．

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、众数、中位数、加权平均数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

21．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题：

（1）当每箱饮料降价10元时，这种饮料每天销售获利多少元？

（2）为了尽可能地清理库存，以及要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元？

【分析】（1）此题利用的数量关系：销售每箱饮料的利润×销售总箱数＝销售总利润，由此列出算式后代入20即可求解；

（2）利用上题得到的算式进一步得到方程求解即可解答．

解：（1）每箱应降价x元，依据题意得总获利为：（120﹣x）（100+2x），

当x＝10时，（120﹣x）（100+2x）＝110×120＝13200元；

（2）要使每天销售饮料获利14400元，每箱应降价x元，依据题意列方程得，

（120﹣x）（100+2x）＝14400，

整理得x2﹣70x+1200＝0，

解得x1＝30，x2＝40；

∵尽可能地清理库存，

∴x＝40

答：每箱应降价40元，可使每天销售饮料获利14400元．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，此题考查最基本的数量关系是：销售每箱饮料的利润×销售总箱数＝销售总利润．

22．如图1，在平行四边形ABCD中，点E、F分别为AD，BC的中点，点G，H在对角线BD上，且BG＝DH．

（1）求证：四边形EHFG是平行四边形．

（2）如图2，连结AC交BD于点O，若AC⊥EH，OH＝BH，OH＝2，求AB的长．

【分析】（1）由平行四边形的性质得AD＝BC，AD∥BC，则∠EDH＝∠FBG，由DE＝AE＝AD，BF＝CF＝BC，得DE＝BF，即可证明△DHE≌△BGF，得EH＝FG，∠EHD＝∠FGB，则EH∥FG，所以四边形EHFG是平行四边形；

（2）设AC交EH于点L，连接OF，根据三角形的中位线定理可证明FH∥AC，则∠FHE＝∠ALH＝90°，所以四边形EHFG是矩形，则∠GFH＝90°，而OG＝OH＝2，则OF＝OG＝GH＝2，所以AB＝2OF＝2×2＝4．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∴∠EDH＝∠FBG，

∵E、F分别为AD，BC的中点，

∴DE＝AE＝AD，BF＝CF＝BC，

∴DE＝BF，

在△DHE和△BGF中，

，

∴△DHE≌△BGF（SAS），

∴EH＝FG，∠EHD＝∠FGB，

∴EH∥FG，

∴四边形EHFG是平行四边形．

（2）解：如图②，设AC交EH于点L，连接OF，

∵OH＝BH，CF＝BF，

∴FH∥AC，

∵AC⊥EH，

∴∠FHE＝∠ALH＝90°，

∴四边形EHFG是矩形，

∴∠GFH＝90°，

∵OG＝OH＝2，

∴OF＝OG＝GH＝2，

∵CO＝AO，CF＝BF，

∴AB＝2OF＝2×2＝4，

∴AB的长是4．

【点评】此题重点考查平行四边形判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，证明△DHE≌△BGF是解题的关键．

23．电灭蚊器的电阻y（kΩ）随温度x（℃）变化的大致图象如图所示，通电后温度由室温10℃上升到30℃时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加kΩ．

（1）当10≤x≤30时，求y与x之间的关系式；

（2）电灭蚊器在使用过程中，温度x在什么范围内时，电阻不超过5kΩ？

【分析】（1）设关系为y＝，将（10，6）代入求k；

（2）将x＝30℃代入关系式中求y，再利用温度每上升1℃，电阻增加kΩ，得出图象上点的坐标，再求出函数关系即可，将y＝5代入函数关系式求出x的值．

解：（1）由题意10（4n﹣2）＝30n，

解得，n＝2，

设y＝．

∵过点（10，6），

∴m＝xy＝10×6＝60．

∴当10≤x≤30时，y与x的关系式为：；

（2）∵过点（30，2），

∵温度每上升1℃，电阻增加kΩ．

∴过点（31，2），

∴，

解得：，

故y与x的关系式为：y＝x﹣4，

，当y＝5时，得x＝12；

y＝x﹣4，当y＝5时，得x＝45；

答：温度x取值范围是：12≤x≤45．

【点评】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．

24．如图，在正方形ABCD中，E是AB上的一点（不与端点A，B重合），连结DE，过点A作DE的垂线，分别交DE、BC于点F、H．在FH上取点G，使得FG＝AF，连结DG，CG．

（1）求证：△ADE≌△BAH；

（2）①若∠ADE＝30°，则∠HGC＝　45　°；

②改变∠ADE的度数，∠HGC的度数是否会发生变化？若发生变化，请写出∠HGC与∠ADE之间的数量关系，若不改变，请说明理由；

（3）若AE＝BE＝，求CG的长．

【分析】（1）根据正方形的性质和ASA证明△ADE≌△BAH即可；

（2）①先根据DF是AG的垂直平分线可得AD＝AG＝GD，由等腰三角形的性质和正方形的性质可得∠GDA＝30°，∠DGC＝75°，最后由角的和与差可得结论；

②将∠ADE＝30°换成∠ADE＝α，同理可得∠HGC＝45°；

（3）如图2，过点C作CM⊥AG于M，先证明△CMG是等腰直角三角形，根据三角形全等和勾股定理可得：AH＝DE＝5，由面积法可得AF＝2，证明△AFE≌△CMH（AAS），可得CM＝DF＝2，最后由勾股定理可得CG的长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，∠BAD＝∠CBA＝90°，

∴∠ADF+∠EAF＝90°，

∵DE⊥AH，

∴∠AFE＝∠DAF+∠ADF＝90°，

∴∠ADE＝∠BAH，

在△ADE和△BAH中，

，

∴△ADE≌△BAH（ASA）；

（2）解：①∵∠ADE＝30°，∠AFD＝90°，

∴∠DAF＝60°，

∵AF＝FG，DF⊥AG，

∴AD＝AG＝GD，

∴∠AGD＝60°，

∴∠DGH＝180°﹣∠AGD＝120°，∠GDF＝∠ADE＝30°，

∴∠CDG＝120°﹣60°＝30°，

∵CD＝AD，

∴DG＝CD，

∴∠DGC＝∠DCG＝＝75°，

∴∠HGC＝∠DGH﹣∠DGC＝120°﹣75°＝45°，

故答案为：45；

②改变∠ADE的度数，∠HGC的度数不会发生变化，理由如下：

设∠ADE＝α，则∠DAF＝∠DGF＝90°﹣α，

由①知：AD＝AG＝GD，

∴∠FDG＝∠ADF＝α，

∴∠CDG＝90°﹣2α，∠DGH＝∠ADG+∠GAD＝90°+α，

∴∠DCG＝∠DGC＝＝45°+α，

∴∠HGC＝∠DGH﹣∠DGC＝90°+α﹣（45°+α）＝45°，

∴∠HGC的度数不会发生变化；

（3）解：如图2，过点C作CM⊥AG于M，

∵∠HGC＝45°，∠CMG＝90°，

∴△CMG是等腰直角三角形，

∴MG＝CM，

∵AE＝BE＝，

∴CD＝BC＝AB＝2，

由（1）知：△ADE≌△BAH，

∴BH＝AE＝CH＝，AH＝DE，

∴AH＝DE＝＝5，

∵S△ADE＝AF•DE＝AE•AD，

∴×2＝5AF，

∴AF＝2，

∵∠AFE＝∠CMH＝90°，∠AEF＝∠AHB＝∠CHM，AE＝CH，

∴△AFE≌△CMH（AAS），

∴CM＝AF＝2，

∴CM＝MG＝2，

∴CG＝2．

【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是掌握正方形的性质，证明三角形全等解决问题，属于中考常考题型．