2021北京七中初三（上）期中数学（教师版）

2021北京七中初三（上）期中

数    学

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

1. 如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标为（　　）

A （2，1） B. （2，﹣1） C. （﹣2，﹣1） D. （﹣2，1）

3. 若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两段弧，则劣弧所对的圆周角等于（ ）

A.  B.  C.  D.

4. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（    ）

A.  B.

C.  D.

5. 如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，则下列结论中正确的是（    ）

A.

B. 当时，随的增大而增大

C.

D. 是一元二次方程的一个根

6. 如图，是的直径，是弦，若，则等于（    ）

A. 68° B. 64° C. 58° D. 32°

7. 有下列四个命题，其中正确的个数是（    ）

（1）经过三个点一定可以作一个圆；

（2）任意一个三角形有且仅有一个外接圆；

（3）三角形外心到三角形的三个顶点的距离相等；

（4）在圆中，平分弦直径一定垂直于这条弦；

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

8. 心理学家发现：课堂上，学生对概念的接受能力s与提出概念的时间t（单位：min）之间近似满足函数关系s＝at2+bt+c（a≠0），s值越大，表示接受能力越强．如图记录了学生学习某概念时t与s的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出当学生接受能力最强时，提出概念的时间为（　　）

A. 8min B. 13min C. 20min D. 25min

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9. 若的半径为5cm，点到圆心的距离为4cm，那么点与的位置关系是__．

10. 关于的一元二次方程的一个根是3，则的值等于___．

11. 若抛物线与轴交于原点，则的值为 __．

12. 如图,正方形ABCD内接于⊙O,点E在上,则∠BEC=_______°.

13. 为改善市区人民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管的直径为100 cm，截面如图5，若管内污水的面宽AB=60cm，则污水的最大深度为_____ cm.

14. 如图，在中，，，．以斜边中点为旋转中心，把按逆时针方向旋转角，当点的对应点与点重合时，，两点的对应点分别记为，，与的交点为，此时等于___，的面积为___．

15. 已知：如图，是的直径，是的弦，，的延长线交于，若，，__，__．

16. 汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，某种算法（如图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间，人的反应时间，系统反应时间，制动时间，相应的距离分别为，，，，当车速为（米秒），且时，通过大数据统计分析得到如表（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，）．

（1）当时，请写出报警距离（米与车速（米秒）之间的函数关系式为 __；

（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在 __米秒以下．

三、解答题（本题共68分）

17. 解下列方程：

（1）；

（2）．

18. 如图，在正方形网格中，的顶点和点都在格点上．

（1）在图1中画出将绕点逆时针旋转的图形△；并将点所走的路线长计算出来，直接填在横线上：　　．

（2）在图2中画出与关于点对称的△；

（3）若以点为原点，以水平向右为轴的正方向建立平面直角坐标系，请写出△三个顶点的坐标．　　，　　；　　，　　　　，　　．

19. 已知二次函数．

（1）用配方法将其化为的形式；

（2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象．

（3）当时，相应函数值的取值范围是 　　．

20. 抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：

根据上表填空：

①抛物线与轴的交点坐标是________和________；

②抛物线经过点 ,________；

③在对称轴右侧，随增大而________；

试确定抛物线的解析式．

21. 已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠ACD=30°，AE=2cm．求DB长．

22. 已知关于的一元二次方程．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若此方程有一个负数根，求的取值范围．

23. 如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．

（1）求证：AB=AC；

（2）求证：DE为⊙O的切线；

（3）若⊙O半径为5，∠BAC=60°，求DE的长．

24. 下面是小华同学设计的“作三角形的高线”的尺规作图的过程．

已知：如图1，△ABC．

求作：AB边上的高线．

作法：如图2，                                           

①分别以A，C为圆心，大于长               

为半径作弧，两弧分别交于点D，E；                 

② 作直线DE，交AC于点F；

③ 以点F为圆心，FA长为半径作圆，交AB的延长线于点M；

④ 连接CM．                         

则CM 为所求AB边上的高线．                    

根据上述作图过程，回答问题：

（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；

（2）完成下面的证明：

证明：连接DA，DC，EA，EC，

∵由作图可知DA=DC =EA=EC，

∴DE是线段AC垂直平分线．

∴FA=FC ．                                       

∴AC是⊙F的直径．                                                             

∴∠AMC=______°（___________________________________）（填依据），

∴CM⊥AB．

即CM就是AB边上的高线．

25. 某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+80（20≤x≤40），设销售这种手套每天的利润为y（元）．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？

26. 在平面直角坐标系中，抛物线．

（1）求证：抛物线与轴一定有两个交点．

（2）求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）；

（3）已知点向右平移两个单位得到点，若该抛物线与线段有公共点，结合函数图象，求出的取值范围．

27. 如图，是的两条切线，切点分别为，；是的直径，，过点作于，交于点．

（1）求证：；

（2）若，求长．

28. 平面内若，则称点，，是点的“互助点”．如：平面直角坐标系中，点，，是点的“互助点”．

（1）下列点中是点的“互助点”的是 　　：

，，，．

（2）点是轴上一动点，直线上另一个点的“互动点”记为．

①猜想线段与的位置关系并证明．

②直接写出线段长度的取值范围．

解：①猜想：　　．

证明：

②线段长度的取值范围 　　．

参考答案

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

1. 如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．

【详解】解：．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．

故选：．

【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

2. 抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标为（　　）

A. （2，1） B. （2，﹣1） C. （﹣2，﹣1） D. （﹣2，1）

【答案】A

【解析】

【分析】由于抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解．

【详解】解：抛物线y＝（x﹣2）2+1是以抛物线的顶点式给出的，

其顶点坐标为：（2，1）．

故选：A．

【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点坐标公式即可解决问题．

3. 若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两段弧，则劣弧所对的圆周角等于（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：如图，∵AB把⊙O分成1：3的两条弧，

∴∠AOB=×360°=90°，

∴∠C=∠AOB=45°．

故选A．

考点: 圆周角定理.

4. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律平移求解即可．

【详解】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为

故选A

【点睛】本题考查了二次函数的平移，掌握函数的平移规律是解题的关键．

5. 如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，则下列结论中正确的是（    ）

A.

B. 当时，随的增大而增大

C.

D. 是一元二次方程的一个根

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次函数图象的开口方向向下可得是负数，对称轴位于轴的右侧可得、异号；与轴的交点在正半轴可得是正数，根据二次函数的增减性可得选项错误，根据抛物线的对称轴结合与轴的一个交点的坐标可以求出与轴的另一交点坐标，也就是一元二次方程的根，从而得解．

【详解】解：、根据图象，二次函数开口方向向下，则，对称轴位于轴的右侧可得、异号，即，故本选项结论错误；

B、当时，随的增大而减小，故本选项结论错误；

C、根据图象，抛物线与轴的交点在正半轴，则，故本选项结论错误；

D、抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴是直线，

设另一交点，

，

，

另一交点坐标，

是一元二次方程的一个根，

故本选项结论正确．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的增减性，抛物线与轴的交点问题，熟记二次函数的性质以及函数图象与系数的关系是解题的关键．

6. 如图，是的直径，是弦，若，则等于（    ）

A. 68° B. 64° C. 58° D. 32°

【答案】C

【解析】

【分析】根据直径所对的圆周角是90°，求出∠ADC，再根据圆周角的性质，求出∠ABC．

【详解】解：∵是的直径，

∴∠ADB=90°，

∵，

∴∠ADC=90°-32°=58°，

∴∠ABC=∠ADC=58°，

故选：C．

【点睛】本题考查了直径所对圆周角是90°和圆周角的性质，解题关键是根据同弧把要求的角转化为与已知有关系的角．

7. 有下列四个命题，其中正确的个数是（    ）

（1）经过三个点一定可以作一个圆；

（2）任意一个三角形有且仅有一个外接圆；

（3）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等；

（4）在圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦；

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】B

【解析】

【分析】根据确定圆的条件、三角形的外心的概念、垂径定理的推论判断即可．

【详解】（1）经过不在同一直线上的三个点一定可以作一个圆，故本说法错误；

（2）任意一个三角形有且仅有一个外接圆，本说法正确；

（3）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，本说法正确；

（4）在圆中，平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，故本说法错误；

故选：B．

【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

8. 心理学家发现：课堂上，学生对概念的接受能力s与提出概念的时间t（单位：min）之间近似满足函数关系s＝at2+bt+c（a≠0），s值越大，表示接受能力越强．如图记录了学生学习某概念时t与s的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出当学生接受能力最强时，提出概念的时间为（　　）

A. 8min B. 13min C. 20min D. 25min

【答案】B

【解析】

【分析】先利用条件求出解析式，再变式求出最值即可解答.

【详解】解：已知满足函数关系s＝at2＋bt＋c（a≠0），

根据图像可知经过（0,43），（20,55），（30,31），

将已知点代入解析式得s＝－0.1＋2.6t＋43,

根据函数性质得t＝－＝13时，s最大，

故选B.

【点睛】本题主要考察求函数最值，可利用配方法，公式法等.

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9. 若的半径为5cm，点到圆心的距离为4cm，那么点与的位置关系是__．

【答案】点在圆内

【解析】

【分析】比较点到圆心的距离d与半径r的大小关系；当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内；求值后进行判断即可．

【详解】解：的半径为，点A到圆心的距离为

点A与的位置关系是：点A在圆内

故答案为：点A在圆内．

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系．解题的关键在于比较点到圆心的距离d与半径r的大小关系．

10. 关于的一元二次方程的一个根是3，则的值等于___．

【答案】

【解析】

【分析】将代入原方程中可得到一个关于a的一元一次方程，解方程可求出a的值．

【详解】解：把代入一元二次方程得，，

解得：．

故答案为：

【点睛】本题逆用一元二次方程解的定义易得出的值，在解题时要重视解题思路的逆向分析，对一元二次方程的解的定义有清晰的认识是解决本题的关键．

11. 若抛物线与轴交于原点，则的值为 __．

【答案】-3

【解析】

【分析】根据函数图象经过原点时，，，代入即可求出的值．

【详解】解：抛物线与轴交于原点，

当时，，

，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握函数图象经过原点，即当时，是解决问题的关键．

12. 如图,正方形ABCD内接于⊙O,点E在上,则∠BEC=_______°.

【答案】45

【解析】

【详解】连接OB、OC，

∵O是正方形外接圆的圆心，

∴∠BOC=90°，

∴∠BEC=∠BOC=45°．

13. 为改善市区人民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管的直径为100 cm，截面如图5，若管内污水的面宽AB=60cm，则污水的最大深度为_____ cm.

【答案】10

【解析】

【详解】解：过点O作OD垂直AB，连接OA，

∵OA=50cm，AD=AB=30cm，

Rt△AOD中， OD==40cm，

∴污水的最大深度为50－40=10cm.

故答案是：10

14. 如图，在中，，，．以斜边的中点为旋转中心，把按逆时针方向旋转角，当点的对应点与点重合时，，两点的对应点分别记为，，与的交点为，此时等于___，的面积为___．

【答案】    ①. 60    ②.

【解析】

【分析】根据直角三角形性质求出，，根据旋转性质求出，得出等边三角形，求出和，求出长，求出，求出和，根据三角形的面积公式求出即可．

【详解】解：，，

，，

以斜边的中点为旋转中心，点A的对应点与点重合，

，

，

是等边三角形，

∴，，

，，

，

，

由勾股定理得：，

．

故答案为：60，．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，含30度角的直角三角形性质，三角形的面积等知识点的运用，关键是求出和的长，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，题目综合性比较强，难度适中．

15. 已知：如图，是的直径，是的弦，，的延长线交于，若，，__，__．

【答案】    ①. 38°    ②. 19°

【解析】

【分析】连接，设，根据等腰三角形的性质求出，，根据三角形的外角性质得出，，再求出即可．

【详解】解：连接，

设，

，，

，

，

，

，

，

，，

，

解得：，

即，，

故答案为：，．

【点睛】本题考查了三角形的外角性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，能得出关于的方程是解此题的关键．

16. 汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，某种算法（如图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间，人的反应时间，系统反应时间，制动时间，相应的距离分别为，，，，当车速为（米秒），且时，通过大数据统计分析得到如表（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，）．

（1）当时，请写出报警距离（米与车速（米秒）之间的函数关系式为 __；

（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在 __米秒以下．

【答案】    ①.     ②. 20

【解析】

【分析】（1）根据即可得到答案；

（2）由已知得，要求，即要求恒成立，根据可得，即可解得答案．

【详解】解：（1）当时，，

，

故答案为：；

（2）对任意，均要求，

恒成立，

即恒成立，

，

，

，

化简整理得，

解得，

，

汽车的行驶速度应限制在20米秒以下，

故答案为：20．

【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，根据得出．

三、解答题（本题共68分）

17. 解下列方程：

（1）；

（2）．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可；

（2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．

【小问1详解】

，

，

则，

或，

解得，；

【小问2详解】

，

，

，即，

，

，．

【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．

18. 如图，在正方形网格中，的顶点和点都在格点上．

（1）在图1中画出将绕点逆时针旋转的图形△；并将点所走的路线长计算出来，直接填在横线上：　　．

（2）在图2中画出与关于点对称的△；

（3）若以点为原点，以水平向右为轴的正方向建立平面直角坐标系，请写出△三个顶点的坐标．　　，　　；　　，　　　　，　　．

【答案】（1）作图见解析，   

（2）作图见解析    （3）2、0；3、1；0、1

【解析】

【分析】（1）将点分别绕点逆时针旋转得到其对应点，再首尾顺次连接即可；

（2）将平面直角坐标系，分别找出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可；

（3）先以点为原点建立平面直角坐标系，再结合坐标系可得三个顶点的坐标．

【小问1详解】

解：如图所示，△即为所求，

，

故答案为：．

【小问2详解】

解：如图所示，过点O建平面直角坐标系如图，在坐标系中分别找出的对应点依次连接，△即为所求．

【小问3详解】

解：建立的平面直角坐标如（2）中图所示，由图知三点坐标分别为，，

故答案为：2、0；3、1；0、1．

【点睛】本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点及弧长公式．

19. 已知二次函数．

（1）用配方法将其化为的形式；

（2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象．

（3）当时，相应函数值的取值范围是 　　．

【答案】（1）   

（2）见解析    （3）

【解析】

【分析】（1）用配方法配方成顶点式即可；

（2）写出顶点坐标，计算其与轴的交点和与轴的交点，列表、描点，画出图象；

（3）由图象可知的取值范围．

【小问1详解】

解：（1）；

【小问2详解】

解：顶点，

当时，，

，

，，

与轴交点为、，

当时，，

与关于对称，

当时，，

五个点为，、，、，

图象如图所示：

【小问3详解】

解：当时，由图象可知，

故答案为．

【点睛】本题考查了配方法确定二次函数的顶点式及画出二次函数的图象以及最值的问题，知道用五点法画二次函数图象的方法：①五点是指：顶点、与轴的两个交点、与轴交点及其对称点（也可取任意两个对称点），②计算出五点的坐标，③再列表、描点，连线即可．最值通过数形结合即可得到．

20. 抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：

根据上表填空：

①抛物线与轴的交点坐标是________和________；

②抛物线经过点 ,________；

③在对称轴右侧，随增大而________；

试确定抛物线的解析式．

【答案】    ①. （-2，0）    ②. （1，0）    ③. 8    ④. 增大, (2)y=2x2+2x−4

【解析】

【分析】（1）①由表格可知：x=-2及1时，y的值为0，从而确定出抛物线与x轴的交点坐标；
②由x=-1及x=0时的函数值y相等，x=-2及1时的函数值也相等，可得抛物线的对称轴为x=-0.5，由函数的对称性可得x=2及x=-3时的函数值相等，故由x=2对应的函数值可得出x=-3所对应的函数值，从而得出正确答案；
③由表格中y值的变化规律及找出的对称轴，得到抛物线的开口向上，在对称轴右侧为增函数，故在对称轴右侧，y随x的增大而增大；
（2）由第一问得出抛物线与x轴的两交点坐标（-2，0），（1，0），可设出抛物线的两根式方程为y=a(x+2)(x−1)，除去与x轴的交点，在表格中再找出一个点坐标，代入所设的解析式即可求出a的值，进而确定出函数解析式．

【详解】(1)①(−2,0)，(1,0)；②8；③增大

(2)依题意设抛物线解析式为y=a(x+2)(x−1)，

由点(0,−4)在函数图象上，代入得−4=a(0+2)(0−1)，

解得：a=2.

∴y=2(x+2)(x−1)，

即所求抛物线解析式为y=2x2+2x−4.

故答案为(−2,0)，(1,0)；8；增大; y=2x2+2x−4.

【点睛】考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键.

21. 已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠ACD=30°，AE=2cm．求DB长．

【答案】DB=cm

【解析】

【详解】试题分析：由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理，可得CE=DE，∠AEC=∠DEB=90°，然后由含30°角的直角三角形的性质，即可求得EC与DE的长，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠B=30°，继而求得DB的长．

试题解析：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，

∴CE=DE，∠AEC=∠DEB=90°，

∵∠B=∠ACD=30°，

在Rt△ACE中，AC=2AE=4cm，

∴CE==2（cm），

∴DE=2cm，

在Rt△BDE中，∠B=30°，

∴BD=2DE=4cm．

∴DB的长为4cm．

点睛：注意数形结合思想的应用，注意掌握垂径定理与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用．

22. 已知关于的一元二次方程．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若此方程有一个负数根，求的取值范围．

【答案】（1）见解析    （2）

【解析】

【分析】（1）求出判别式，利用非负数的性质得△，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个实数根；

（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可．

【小问1详解】

证明：依题意，得△．

，

方程总有两个实数根；

【小问2详解】

，

可得，

解得，，

若方程有一个根为负数，则，

故．

【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式之间的关系是解题的关键．

23. 如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．

（1）求证：AB=AC；

（2）求证：DE为⊙O的切线；

（3）若⊙O半径为5，∠BAC=60°，求DE的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）DE=．

【解析】

【分析】（1）连接AD，根据条件证明AD是BC的垂直平分线即可；

（2）连接OD，根据三角形中位线定理证得：OD∥AC ，从而证出OD⊥DE即可；

（3）根据条件可得△ABC是等边三角形，根据三线合一可得出CD的长，然后在Rt△CDE中利用勾股定理可求出DE的长．

【详解】（1）连接AD

∵AB是⊙O的直径

∴∠ADB=90°

又BD=CD

∴AD是BC的垂直平分线

∴AB=AC

（2）连接OD

∵点O、D分别是AB、BC的中点

∴OD∥AC

又DE⊥AC

∴OD⊥DE，

∴DE为⊙O的切线

（3）∵AB=AC， ∠BAC=60°

∴△ABC是等边三角形

∵⊙O的半径为5

∴AB=BC=10， CD=BC=5

又∠C=60°，DE⊥AC

∴∠CDE=90°-60°=30°，

∴CE=

∴ ．

24. 下面是小华同学设计的“作三角形的高线”的尺规作图的过程．

已知：如图1，△ABC．

求作：AB边上的高线．

作法：如图2，                                           

①分别以A，C为圆心，大于长               

为半径作弧，两弧分别交于点D，E；                 

② 作直线DE，交AC于点F；

③ 以点F为圆心，FA长为半径作圆，交AB的延长线于点M；

④ 连接CM．                         

则CM 为所求AB边上的高线．                    

根据上述作图过程，回答问题：

（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；

（2）完成下面的证明：

证明：连接DA，DC，EA，EC，

∵由作图可知DA=DC =EA=EC，

∴DE是线段AC的垂直平分线．

∴FA=FC ．                                       

∴AC是⊙F的直径．                                                             

∴∠AMC=______°（___________________________________）（填依据），

∴CM⊥AB．

即CM就是AB边上的高线．

【答案】（1）补图见解析；（2）90，直径所对的圆周角是直角.

【解析】

【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）根据线段的垂直平分线的性质以及圆周角定理证明即可．

【详解】解：（1）如图线段CM即为所求．
 

证明：连接DA，DC，EA，EC，

∵由作图可知DA=DC =EA=EC，

∴DE是线段AC的垂直平分线．

∴FA=FC ．                                       

∴AC是⊙F的直径．                                                             

∴∠AMC==90°（直径所对的圆周角是直角 ），

∴CM⊥AB．

即CM就是AB边上的高线．

故答案为：90°，直径所对的圆周角是直角．

【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

25. 某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+80（20≤x≤40），设销售这种手套每天的利润为y（元）．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）y=﹣2x2+120x﹣1600；（2）当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为200元．

【解析】

【分析】（1）用每双手套的利润乘以销售量得到每天的利润；

（2）由（1）得到的是一个二次函数，利用二次函数的性质，可以求出最大利润以及销售单价．

【详解】（1）y=w（x﹣20）

=（﹣2x+80）（x﹣20）

=﹣2x2+120x﹣1600；

（2）y=﹣2（x﹣30）2+200．

∵20≤x≤40，a=﹣2＜0，∴当x=30时，y最大值=200．

答：当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为200元．

【点睛】本题考查的是二次函数的应用．（1）根据题意得到二次函数．（2）利用二次函数的性质求出最大值．

26. 在平面直角坐标系中，抛物线．

（1）求证：抛物线与轴一定有两个交点．

（2）求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）；

（3）已知点向右平移两个单位得到点，若该抛物线与线段有公共点，结合函数图象，求出的取值范围．

【答案】（1）见解析    （2）   

（3）或

【解析】

【分析】（1）证明抛物线与轴一定有两个交点，只需判断△即可；

（2）化成顶点式，即可求得顶点的坐标；

（3）由顶点的坐标可知，抛物线的顶点在直线上移动．分别求出抛物线过点、点时，的值，画出此时函数的图象，结合图象即可求出的取值范围．

【小问1详解】

证明：当时，则，

△，

方程有两个不相等的实数根，

抛物线与轴一定有两个交点．

【小问2详解】

解：，

抛物线顶点．

【小问3详解】

解：点向右平移两个单位得到点，

点，

把的坐标代入，

得，

解得，．

把的坐标代入，

得，

即，

解得，或．

结合函数图象可知：或．

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，体现了转化思想和数形结合思想的应用．

27. 如图，是的两条切线，切点分别为，；是的直径，，过点作于，交于点．

（1）求证：；

（2）若，求长．

【答案】（1）见解析    （2）

【解析】

【分析】（1）连接，如图，根据切线的性质得到，利用圆周角定理得到，则利用等角的余角相等证明，然后证明，从而得到结论；

（2）连接交于，如图，根据切线的性质得到，则可判断，所以，四边形为矩形，则，设，则，，，在中利用勾股定理得到，然后解方程得到的长．

【小问1详解】

证明：连接，如图，

是的切线

，

，

是的直径，

，

，

，

，，

，

在和中，

，

，

；

【小问2详解】

连接交于，如图，

是的切线，

，

，

，

，

，四边形为矩形，

，

，

设，则，

，是的两条切线，

，

而，

，

，

，

在中，，解得（舍去），，

的长为．

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、垂径定理和勾股定理．

28. 平面内若，则称点，，是点的“互助点”．如：平面直角坐标系中，点，，是点的“互助点”．

（1）下列点中是点的“互助点”的是 　　：

，，，．

（2）点是轴上一动点，直线上另一个点的“互动点”记为．

①猜想线段与的位置关系并证明．

②直接写出线段长度的取值范围．

解：①猜想：　　．

证明：

②线段长度的取值范围 　　．

【答案】（1），   

（2）①，证明见解析；②

【解析】

【分析】（1）利用两点距离公式分别求出，，，的长，由点的“互助点”的定义可求解；（2）①由点C（2，0）的“互助点”的定义可得NC=OC=AC=2，可得∠CON=∠CNO，∠CAN=∠CNA，由三角形内角和定理可求，可得结论；②由题意可得点在以为直径的圆上运动，则当点在线段上时，有最小值为，当点在线段上时，有最大值为，即可求解．

【小问1详解】

解：（1）由定义可得点C（2，0）的“互助点”指到点的距离为2的点，

，，，，

∴，，，，

点，点是点的“互助点”，

故答案为，．

【小问2详解】

①猜想，，理由如下：

如图，连接，

点，，点是点的“互助点”，

∴NC=OC=AC=2，

∴∠CON=∠CNO，∠CAN=∠CNA，

∵∠CON＋∠CNO＋∠CAN＋∠CNA＝180°，

∴2∠CON＋2∠CNA＝180°，

∴∠ANO=90°，

，

故答案为．

②，点，

，

，

点在以为直径的圆上运动，

当点在线段上时，有最小值为，

当点在线段上时，有最大值为，

的取值范围为：，

故答案为：．

【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理等知识，理解“互助点”的定义是解题的关键．