高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.3 频率与概率课后作业题

第10章　10.3

A组·素养自测

一、选择题

1．试题中共12道单项选择题，每道题有4个选项，其中只有1个选项是正确的．某同学说：“每个选项正确的概率是，若每题都选择第一个选项，则一定有3道题的选择结果正确”．这句话(　B　)

A．正确 B．错误

C．有一定道理 D．无法解释

[解析]　从四个选项中正确选择项是一个随机事件，是指这个事件发生的概率，实际上，做12道选择题相当于做12次试验，每次试验的结果是随机的，因此每题都选择第一个选项可能没有一个正确，也可能有1个，2个，3个，…，12个正确．因此该同学的说法是错误的．

2．在下列各事件中，发生的可能性最大的为(　D　)

A．任意买1张电影票，座位号是奇数

B．掷1枚骰子，点数小于等于2

C．有10 000张彩票，其中100张是获奖彩票，从中随机买1张是获奖彩票

D．一袋中装有8个红球，2个白球，从中随机摸出1个球是红球

[解析]　P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝．

3．“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明(　A　)

A．小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防

B．小概率事件很少发生，不用怕

C．小概率事件就是不可能事件，不会发生

D．大概率事件就是必然事件，一定发生

[解析]　因为这句谚语是提醒人们需提防小概率事件．故选A．

4．中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶，“二十四节气”歌是“春、夏、秋、冬”开始的四句诗，2016年11月30日，“二十四节气”正式被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产，也被誉为“中国的第五大发明”．某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问“二十四节气”歌，只能说出春夏两句的有45人，能说出春夏秋三句及其以上的有32人，据此估计该校三年级的500名学生中，对“二十四节气”歌只能说出第一句“春”或一句也说不出的大约有(　D　)

A．69人 B．84人

C．108人 D．115人

[解析]　先求出只能说出第一句“春”或一句也说不出的学生人数，可得它所占的比例，再用样本容量500乘以此比例，即为所求．

由题意，只能说出第一句，或一句也说不出的同学有100－45－32＝23人，

故只能说出第一句“春”或一句也说不出的学生占的比例为，

故只能说出第一句“春”或一句也说不出的学生共有500×＝115人．

故选D．

5．(多选题)下列说法正确的是(　AB　)

A．掷一枚硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会不一样大

B．射击运动员击中靶的概率是0.9，说明他中靶的可能性很大

C．某彩票中奖的概率是1%，买100张一定有1张中奖

D．某中学生对他所在的住宅小区的家庭进行调查，发现拥有空调的家庭占65%，于是他得出该市拥有空调的家庭的百分比为65%的结论

[解析]　掷一枚硬币正面朝上的概率是0.5，抛一枚图钉钉尖着地的概率不是0.5(钉尖朝上的概率比较大)，所以A对；射击运动员击中靶的概率是0.9，所以中靶的可能性是非常大的，所以B对；概率只是一种可能性的预测，并不是绝对的，所以C错；只对一个小区抽样并不能代表整个城市，所以D错．故选AB．

二、填空题

6．某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%．”你认为下面两个解释中能代表教练的观点的为__②__(填序号)．

①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标；

②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%．

[解析]　能代表教练的观点的为该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%．

7．采用随机模拟的方法估算某运动员射击击中目标的概率，先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0,1,2,3表示没有击中目标，4,5,6,7,8,9表示击中目标．以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：

7327　0293　7140　9857

0347　4373　8636　6947

1417　4698　0371　6233

2616　8045　6011　3661

9597　7424　7610　4281

根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为____．

[解析]　根据随机数一共有20组可知，共有20个样本点，其中“该运动员射击4次至少击中3次”对应的随机数组为9857,8636,6947,4698,8045,9597,7424，共有7个样本点，所以估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为．

8．种子公司在春耕前采购了一批稻谷种子，进行了种子发芽试验．在统计的2 000粒种子中有1 962粒发芽，“种子发芽”这个事件发生的频率是__0.981__，若用户需要该批可发芽的稻谷种100 000粒，需采购该批稻谷种子__3__千克(每千克约35 000粒)．(结果取整数)

[解析]　“种子发芽”这个事件发生的频率为＝0.981；若用户需要该批可发芽的稻谷种100 000粒，则需采购该批稻谷种子100 000×(粒)，故需要购买该批稻谷种子100 000×÷35 000≈3(千克)．

三、解答题

9．为了估计某自然区天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只．查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．

[解析]　设保护区中天鹅的数量为n，假设每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，

设事件A＝{捕到带有记号的天鹅}，

则P(A)＝．

从保护区中捕出150只天鹅，

其中有20只带有记号，

由概率的定义可知P(A)≈．

由≈，解得n≈1 500，

所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只．

10．随机抽取一个年份，对某市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：

(1)在4月份任取一天，估计该市在该天不下雨的概率；

(2)该市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．

[解析]　(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，用频率估计概率，4月份任选一天，该市在该天不下雨的概率约是＝．

(2)称相邻两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日，2日与3日等)，这样在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率约为＝，用频率估计概率，运动会期间不下雨的概率约为．

B组·素养提升

一、选择题

1．数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2 018石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为(　B　)

A．222石 B．224石

C．230石 D．232石

[解析]　以样本的频率＝为概率，可算得谷约为2 018×≈224石．

2．(2022·郑州一中高三模拟)同时向上抛100个铜板，结果落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为这100个铜板更可能是下面哪种情况(　A　)

A．这100个铜板两面是一样的

B．这100个铜板两面是不同的

C．这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不相同的

D．这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面不是相同的

[解析]　落地时100个铜板朝上的面都相同，根据极大似然法可知，这100个铜板两面是一样的可能性较大．

3．甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是(　B　)

A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜

B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜

C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜

D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜

[解析]　A项，P(点数为奇数)＝P(点数为偶数)＝；B项，P(恰有一枚正面向上)＝，P(两枚都正面向上)＝；C项，P(牌色为红)＝P(牌色为黑)＝；D项，P(同奇或同偶)＝P(奇偶不同)＝．故选B．

4．某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车；乙公司有3 000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较合理(　B　)

A．甲公司 B．乙公司

C．甲、乙公司均可 D．以上都对

[解析]　由题意得肇事车是甲公司的概率为＝，是乙公司的概率为＝，可以认定肇事车为乙公司的车辆较为合理．故选B．

二、填空题

5．容量为200的样本的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图计算样本数据落在[6,10)内的频数为　__64__，估计数据落在[2,10)内的概率约为__0.4__．

[解析]　数据落在[6,10)内的频数为200×0.08×4＝64，数据落在[2,10)内的频率为(0.02＋0.08)×4＝0.4，由频率估计概率知，所求概率约为0.4．

6．某盒子中有四个小球，分别写有“中”“美”“建”“交”四个字(2019年是中美建交40周年)，从中任取一个小球，有放回抽取，直到取到“建”“交”二字就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率：利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“中”“美”“建”“交”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：

323　231　320　032　132　031　123　330　110

321　120　122　321　221　230　132　322　130

由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为____．

[解析]　经随机模拟产生的18组随机数中恰好第三次就停止的有032,132,123,132，共4组随机数．所以恰好第三次就停止的概率为＝．

三、解答题

7．某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是60%，若该篮球爱好者连续投篮4次，求至少投中3次的概率．用随机模拟的方法估计上述概率．

[解析]　利用计算机或计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1,2,3,4,5,6表示投中，用7,8,9,0表示未投中，这样可以体现投中的概率是60%，因为投篮4次，所以每4个随机数作为1组．例如5727,7895,0123，…，4560,4581,4698，共100组这样的随机数，若所有数组中没有7,8,9,0或只有7,8,9,0中的一个数的数组的个数为 n，则至少投中3次的概率近似值为．

8．某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：

(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；

(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值；

(3)求续保人本年度平均保费的估计值．

[解析]　(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2．

由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55．

(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4．

由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，

故P(B)的估计值为0.3．

(3)由所给数据得

调查的200名续保人的平均保费为

0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a．

因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a．