2024届高三数学一轮复习基础夯实练43：子数列问题

这是一份2024届高三数学一轮复习基础夯实练43：子数列问题，共14页。试卷主要包含了韩信采用下述点兵方法等内容，欢迎下载使用。
基础夯实练43  子数列问题1．(2023·南京模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，数列{bn}是等比数列，a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)若cn＝设数列{cn}的前n项和为Tn，求T2n.            2．(2023·潍坊模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q>1，满足S3＝13，a＝3a6.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝求数列{bn}的前2n项和T2n.           3．已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an＝3n＋6，bn＝2n＋7.将集合{x|x＝an，n∈N*}∪{x|x＝bn，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…，cn，….(1)求三个最小的数，使它们既是数列{an}中的项，又是数列{bn}中的项；(2)数列c1，c2，c3，…，c40中有多少个不是数列{bn}中的项；(3)求数列{cn}的前4n项和S4n.           4．韩信采用下述点兵方法：先令士兵从1～3报数，结果最后一个士兵报2；再令士兵从1～5报数，结果最后一个士兵报3；又令士兵从1～7报数，结果最后一个士兵报4；这样，韩信很快就算出了自己部队士兵的总人数．已知士兵人数不超过500人，那么部队最多有多少士兵？                5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝a(a∈R)，an＋1＝n∈N*.(1)若0＜an≤6，求证：0＜an＋1≤6；(2)若a＝5，求S2 024；(3)若a＝(m∈N*)，求S4m＋2的值．            6．(2022·天津模拟)已知在各项均不相等的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列，数列{bn}中，b1＝log2(a2＋1)，bn＋1＝4bn＋2n＋1，n∈N*.(1)求{an}的通项公式及其前n项和Sn；(2)求证：{bn＋2n}是等比数列，并求{bn}的通项公式；(3)设cn＝求数列{cn}的前2n项的和T2n.           7．在数列{an}中，an＝(1)求a1，a2，a3；(2)求数列{an}的前n项和Sn.             8．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；(2)求{an}的前20项和．                9．数列{an}与{bn}的通项公式分别为an＝4n－1，bn＝3n＋2，它们的公共项由小到大排列组成数列{cn}，求数列{cn}的通项公式．           10．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1＝，数列{bn}是等比数列，且b1＝a1，b2＝－a3，b3＝a4，数列{bn}的前n项和为Sn.（1）求数列{bn}的通项公式；（2）设cn＝求{cn}的前n项和Tn.
参考答案1．解　(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，∵a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3，∴解得∴an＝2n＋1，bn＝2n－1.(2)由(1)知，Sn＝＝n(n＋2)，∴cn＝∴T2n＝＋(21＋23＋25＋…＋22n－1)＝1－＋＝－.2．解　(1)方法一　因为{an}是公比q>1的等比数列，所以由得即两式相除得＝，整理得3q2－10q＋3＝0，即(3q－1)(q－3)＝0，解得q＝3或q＝，又q>1，所以q＝3，故a1＝＝1，所以an＝a1qn－1＝3n－1.方法二　因为{an}是公比q>1的等比数列，所以由得即则故解得或(舍去)，故q2＝＝9，则q＝3，所以an＝a1qn－1＝3n－1.(2)当n为奇数时，bn＝an＝3n－1，当n为偶数时，bn＝bn－1＋n＝3n－2＋n，所以T2n＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n＝(b1＋b3＋…＋b2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n)＝(30＋32＋…＋32n－2)＋(30＋2＋32＋4＋…＋32n－2＋2n)＝2×(30＋32＋…＋32n－2)＋(2＋4＋…＋2n)＝2×＋＝＋n(n＋1)．3．解　将数列{an}和{bn}的公共项从小到大排列组成数列{dn}．设ak＝bm，则3k＋6＝2m＋7，即m＝，所以k为奇数，设k＝2n－1，则m＝3n－2，dn＝ak＝3(2n－1)＋6＝6n＋3.(1)三个最小的数依次为9,15,21.(2)由数列c1，c2，c3，…，cn，…的构成可知，dm＝6m＋3与dm＋1＝6m＋9均为数列{cn}中的项，在dm和dm＋1中还有以下项：6m＋5,6m＋6,6m＋7，又c1＝d1＝9，因此数列{cn}中的项从第1项起，连续的4项中只有第3项是数列{an}中的偶数项，不是数列{bn}中的项，所以数列c1，c2，c3，…，c40中有10个不是数列{bn}中的项．(3)由(2)可知，数列{cn}的前4n项中，由数列{bn}中的前3n项和数列{an}中的前n项偶数项构成，因此S4n＝＋＝12n2＋33n.4．解　根据士兵报数结果可得，士兵的总数是三个等差数列{3n＋2}，{5n＋3}，{7n＋4}的公共项所组成的数列中的项．记an＝3n＋2，bn＝5n＋3，cn＝7n＋4，新数列记为{dn}．从小到大列举数列{cn}中的项，并判断是否为数列{an}与{bn}中的项，可得数列{dn}的首项为d1＝53，设ak＝bm＝cp＝dn，则3k＋2＝5m＋3＝7p＋4，所以cp＋1＝7(p＋1)＋4＝7p＋4＋7＝5＋3不是数列{bn}中的项；cp＋2＝7(p＋2)＋4＝7p＋4＋14＝5＋3不是数列{bn}中的项；cp＋3＝7(p＋3)＋4＝7p＋4＋21＝5＋3不是数列{bn}中的项；cp＋4＝7(p＋4)＋4＝7p＋4＋28＝5＋3不是数列{bn}中的项；cp＋5＝7(p＋5)＋4＝7p＋4＋35＝5(m＋7)＋3＝3＋2不是数列{an}中的项；cp＋6＝7(p＋6)＋4＝7p＋4＋42＝5＋3不是数列{bn}中的项；…；cp＋15＝7(p＋15)＋4＝7p＋4＋105＝5(m＋21)＋3＝3(k＋35)＋2是数列{an}和{bn}中的项．所以dn＋1＝cp＋15，则dn＋1－dn＝105，所以数列{dn}的通项公式为dn＝105n－52.当n＝5时，dn＝473<500，当n＝6时，dn＝578>500，所以最多有473个士兵．5．(1)证明　当an∈(0,3]时，则an＋1＝2an∈(0,6]，当an∈(3,6]时，则an＋1＝an－3∈(0,3]，故an＋1∈(0,6]，所以当0＜an≤6时，总有0＜an＋1≤6.(2)解　当a1＝a＝5时，a2＝a1－3＝2，a3＝2a2＝4，a4＝a3－3＝1，a5＝2a4＝2，a6＝2a5＝4，a7＝a6－3＝1，所以数列{an}为5,2,4,1,2,4,1,2,4,1，…，所以从第2项起，{an}中的项以3为周期，其和为2＋4＋1＝7，所以S2 024＝5＋7×674＋2＝4 725.(3)解　由m∈N*，可得2m－1≥1，故a＝≤3，当1＜k≤m，k∈N*时，2k－1a≤＝<＝3.故ak＝2k－1a且am＋1＝2ma.又am＋1＝＞3，所以am＋2＝am＋1－3＝2ma－3＝2m·－3＝a.故S4m＋2＝S4(m＋1)－a4m＋3－a4m＋4＝4(a1＋a2＋…＋am＋1)－(2m－1＋2m)a＝4(1＋2＋…＋2m)a－3×2m－1a＝4(2m＋1－1)a－3×2m－1a＝(2m＋3－4－3×2m－1)a＝.6．解　(1)设各项均不相等的等差数列{an}的公差为d(d≠0)，∵a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列，∴a＝a1·a5，即(1＋d)2＝1＋4d，解得d＝2，∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.∴Sn＝＝n2.(2)在数列{bn}中，b1＝log2(a2＋1)＝log24＝2，∵bn＋1＝4bn＋2n＋1，n∈N*.∴bn＋1＋2n＋1＝4(bn＋2n)，b1＋2＝4.∴数列{bn＋2n}是等比数列，首项为4，公比为4，∴bn＋2n＝4n，∴bn＝4n－2n.(3)①当n＝2k，k∈N*时，cn＝c2k＝＝，∴数列{c2k}的前k项的和Ak＝＋＋…＋，∴Ak＝＋＋…＋＋，∴Ak＝＋2－＝＋2×－，化简为Ak＝－＝－.②当n＝2k－1，k∈N*时，cn＝c2k－1＝＝＝＝＝，∴数列{c2k－1}的前k项的和Bk＝＝＝，∴数列{cn}的前2n项的和T2n＝Ak＋Bk＝－＋.7．解　(1)因为an＝所以a1＝2×1－1＝1，a2＝22＝4，a3＝2×3－1＝5.(2)因为an＝所以a1，a3，a5，…是以1为首项，4为公差的等差数列，a2，a4，a6，…是以4为首项，4为公比的等比数列．当n为奇数时，数列的前n项中有个奇数项，有个偶数项．所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－2＋an)＋(a2＋a4＋…＋an－3＋an－1)＝×1＋×4＋＝＋；当n为偶数时，数列{an}的前n项中有个奇数项，有个偶数项．所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－3＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an－2＋an)＝×1＋×4＋＝＋.所以数列{an}的前n项和Sn＝8．解　(1)因为bn＝a2n，且a1＝1，an＋1＝所以b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5.因为bn＝a2n，所以bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3，所以bn＋1－bn＝a2n＋3－a2n＝3，所以数列{bn}是以2为首项，3为公差的等差数列，bn＝2＋3(n－1)＝3n－1，n∈N*.(2)因为an＋1＝所以当k∈N*时，a2k＝a2k－1＋1＝a2k－1＋1，即a2k＝a2k－1＋1，①a2k＋1＝a2k＋2，②a2k＋2＝a2k＋1＋1＝a2k＋1＋1，即a2k＋2＝a2k＋1＋1，③所以①＋②得a2k＋1＝a2k－1＋3，即a2k＋1－a2k－1＝3，所以数列{an}的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；②＋③得a2k＋2＝a2k＋3，即a2k＋2－a2k＝3，又a2＝2，所以数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．所以数列{an}的前20项和S20＝(a1＋a3＋a5＋…＋a19)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a20)＝10＋×3＋20＋×3＝300.9．解　方法一　设ak＝bm＝cp，则4k－1＝3m＋2，所以k＝，因为3,4互质，所以m＋1必为4的倍数，即m＝4p－1，所以cp＝bm＝3(4p－1)＋2＝12p－1，即数列{cn}的通项公式为cn＝12n－1.方法二　由观察可知，两个数列的第一个公共项为11，所以c1＝11.设ak＝bm＝cp，则4k－1＝3m＋2，所以ak＋1＝4(k＋1)－1＝4k＋3＝3m＋6＝3＋2不是数列{bn}中的项，ak＋2＝4(k＋2)－1＝4k＋7＝3m＋10＝3＋2不是数列{bn}中的项，ak＋3＝4(k＋3)－1＝4k＋11＝3m＋14＝3(m＋4)＋2是数列{bn}中的项．所以cp＋1＝ak＋3，则cp＋1－cp＝ak＋3－ak＝3×4＝12，所以数列{cn}是等差数列，其公差为12，首项为11，因此，数列{cn}的通项公式为cn＝12n－1.跟踪训练2 (1)B　[由题意可得a1＝b1＝2，等差数列{an}的公差为4，且a100＝398，等差数列{bn}的公差为6，且b100＝596，易知数列{cn}为等差数列，且公差为数列{an}和{bn}公差的最小公倍数，由于4和6的最小公倍数为12，所以等差数列{cn}的公差为12，则cn＝2＋12(n－1)＝12n－10，由即解得n≤34，n∈N*，所以等差数列{cn}共有34项，则该数列各项之和为34×2＋×12＝6 800.]10．（1）设数列{an}的公差为d，d≠0，因为数列{bn}是等比数列，所以b＝b1b3，所以a＝a1a4，所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，所以a1d＋4d2＝0，因为d≠0，所以a1＋4d＝0，又a1＝，所以d＝－，所以b1＝a1＝，数列{bn}的公比q＝＝＝＝－1－2×＝－，所以bn＝b1qn－1＝×n－1.（2）由①知bn＝×n－1，an＝a1＋(n－1)d＝－(n－1)＝－n＋，所以cn＝当1≤n≤5时，Tn＝＝1－n，当n≥6时，Tn＝1－5＋＝－n2＋n－，所以Tn＝