2023年山东省烟台市芝罘区高中协同联考高考数学三模试卷-普通用卷

2023年山东省烟台市芝罘区高中协同联考高考数学三模试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知全集，集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知复数满足，则的实部是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，，，，则下列结论正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. ，一定是异面直线

4.  为了解高中学生的体质健康水平，某市教育局分别从身体形态、身体机能、身体素质等方面对该市高中学生的体质健康水平进行综合测评，并根据年版的国家学生体质健康标准评定等级，经过统计，甲校有的学生的等级为良好，乙校有的学生的等级为良好，丙校有的学生的等级为良好，且甲、乙、丙这三所学校参加测评的学生人数之比为：：从甲、乙、丙这三所学校参加测评的学生中随机抽取名学生，则该学生的等级为良好的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若，，则“”的一个必要不充分条件是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知数列的前项和为，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知双曲线的上、下焦点分别为，，过的直线与双曲线的上支交于，两点，若，，成等差数列，且，则该双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知点，，，则下列说法正确的是(    )

A.
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，的夹角为锐角，则且

10.  已知动点到点的距离等于，动点的轨迹为，直线：，则(    )

A. 可能是的切线 B. 与可能没有公共点
C. 与可能有两个公共点 D. 上的点到的距离的最大值为

11.  底面为直角三角形的三棱锥的体积为，该三棱锥的各个顶点都在球的表面上，点在底面上的射影为，，则下列说法正确的是(    )

A. 若点与点重合，则球的表面积的最小值为
B. 若点与点重合，则球的体积的最小值为
C. 若点是的斜边的中点，则球的表面积的最小值为
D. 若点是的斜边的中点，则球的体积的最小值为

12.  已知函数，则(    )

A.  B. 的图象关于直线对称
C.  D. 仅有一个极值点

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  的展开式中的系数为______ ．

14.  过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为______ ．

15.  已知抛物线：的焦点为，点在上且在第一象限，直线与的准线交于点，过点且与轴平行的直线与交于点，若，则 ______ ．

16.  已知函数的图象经过点，若在区间上单调递增，则的取值范围是______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
为了解观众对年央视春晚小品节目坑的评价，某机构随机抽取位观众对其打分，得到如表表格：

求这组数据的第百分位数；
将频率视为概率，现从观众中随机抽取人对节目坑进行评价，记抽取的人中评分超过的人数为，求的分布列、数学期望与方差．

18.  本小题分
的内角，，的对边分别为，，已知．
求角；
若为锐角三角形，且的面积为，求的取值范围．

19.  本小题分
已知首项不为的等差数列，公差，为给定常数，为数列的前项和，且，为所有可能取值由小到大组成的数列．
求；
设，为数列的前项和，证明：．

20.  本小题分
如图，正四棱锥和正三棱锥顶点均为．
设平面与平面的交线为，求证：；
若，的中点为，求平面与平面所成二面角的余弦值．

21.  本小题分
已知椭圆：的右焦点为，且是椭圆上一点．
求椭圆的方程；
若过的直线与轴不重合与椭圆相交于，两点，过的直线与轴交于点，与直线交于点与不重合，记，，，的面积分别为，，，，若，求直线的方程．

22.  本小题分
已知函数．
若在处的切线与直线垂直，求切线的方程；
已知，证明：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题，，则，
由，则则．
故选：．
解相应不等式，化简集合，后由补集定义可得答案．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：设，则，
由，得，
所以，，
则，解得，
所以的实部是．
故选：．
设，根据复数相等的定义，列出方程组求解，即可得到本题答案．
本题主要考查复数模公式，以及复数实部的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，，，，
对于，若，，，则与平行，故A正确；
对于，若，，则与相交或平行，故B错误；
对于，若，则与相交、平行或，故C错误；
对于，如图，在长方体中，取平面为平面，平面为平面，
取直线为，直线为，此时，

故D错误．
故选：．
对于，利用线面平行的性质判断；对于，与相交或平行；对于，与相交、平行或；对于，利用长方体中点线面的位置关系进行判断．
本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．
 

4.【答案】 

【解析】解：从甲、乙、丙这三所学校参加测评的学生中随机抽取名学生，
记“该学生来自甲校”为事件，“该学生来自乙校”为事件，“该学生来自丙校”为事件，
则，，．
记“该学生的等级为良好”为事件，则，，，
所以．
故选：．
记“该学生来自甲校”为事件，“该学生来自乙校”为事件，“该学生来自丙校”为事件，记“该学生的等级为良好”为事件，利用全概率公式可求得的值．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：对于：若，则，
所以，又，，所以，
所以“”是“”的充分条件，故A错误；
对于：若，则，所以，即，
所以“”是“”的充要条件，故B错误；
对于：由得，
另一方面取，，满足，但，
所以“”是“”的一个必要不充分条件，故C正确；
对于：取，，满足，但，
所以“”不是“”的必要条件，故D错误．
故选：．
利用基本不等式和充分条件，必要条件的判断逐项进行检验即可求解．
本题考查基本不等式相关知识，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，即，
当时，，
由得，
，
当时，，
数列是等差数列，公差，
又，
，则．
故选：．
由，可得数列的通项公式，即可得出答案．
本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：令，则，
当时，，且，
当时，，单调递减，
，即，则，
令，则，当，，
在上恒成立，
在上单调递减，
，即，则，
．
故选：．
构造函数，利用其单调性比较，大小，构造函数，利用其单调性比较，大小．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由双曲线的定义知，，
，
，，
令，则，
在中，，
，
解得，，，
所以在中，，
，．
故选：．
先根据，，成等差数列，并结合双曲线的定义得到，再设，在中利用勾股定理得到，进而在中利用勾股定理得到，从而得到双曲线的离心率．
本题考查双曲线的性质，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：因为，，，
所以，，
选项A：，故A正确；
选项B：因为，
所以，
所以，
所以，所以B错误；
选项C：因为，
所以，
所以，所以C正确；
选项D：因为，的夹角为锐角，且，
所以，解得，
所以D错误．
故选：．
根据向量的模长，垂直，平行和夹角大小的定义，对下列各项逐一判断，即可得到本题答案．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为动点到点的距离等于，
所以动点的轨迹的方程为，
易知：，所以直线过定点，
因为，所以点在上，
对于选项A，，，易知可能是的切线，与不可能没有公共点、可能有两个公共点，故A正确，B错误，C正确；
对于选项D，易知上的点到的距离的最大值为圆的直径，故D正确．
故选：．
由题知动点的轨迹的方程为，另外直线方程：过定点，且在上，由此逐项分析，即可得到本题答案．
本题主要考查轨迹方程，考查运算求解能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：设的两直角边长分别为，，球的半径为．
因为三棱锥的体积为，，
所以，解得．
对于选项A，：由题意知平面，
所以当且仅当时取等号，
解得，
所以球的表面积，
球的体积，故A正确，B错误；
对于选项C，：若点是的斜边的中点，则，球的球心位于直线上
所以当且仅当时取等号，即，
所以球的表面积，球的体积，故C错误，D正确．
故选：．
设的两直角边长分别为，，根据题意求得，然后分点与点重合和点是的斜边的中点两种情况进行求解即可判断．
本题考查球的表面积等相关计算，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为的定义域为，
所以．
对于：，即，故A错误；
对于：由知，所以的图象关于直线对称，
结论：若，则的图象关于直线对称故B正确；
对于：，
当时，，所以在上单调递增，
因为，所以，
因为，所以，故C错误；
对于：因为的图象关于直线对称，且在上单调递增，
所以在上单调递减，所以仅有一个极值点，故D正确．
故选：．
根据题意将函数解析式化简，然后利用函数的单调性，对称性和极值点的相关知识逐项进行判断即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查运算求解能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：的展开式的通项公式为，
令，得，
所以展开式中的系数为．
故答案为：．
利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令的指数为，求出的值，将的值代入通项，求出系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
 

14.【答案】或 

【解析】解：由可得，设切点坐标为，
所以切线斜率，又因为，
则切线方程为，
把代入并整理可得，解得或．
故答案为：或．
设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，将代入，即可求解．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查转化能力，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为抛物线：的焦点为，所以，解得．
过点作准线的垂线，垂足为，则．

因为，
所以点为线段的中点，所以，又与轴平行，
所以由抛物线的定义知，
所以为等边三角形，所以．
故答案为：．
过点作准线的垂线，垂足为，利用抛物线的定义，结合题意可得为等边三角形，进而求解即可．
本题主要考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意得，
，又，
，
，
函数的图象经过点，且在区间上单调递增，
作出的大致图象如图所示，
其中为在轴左边的第一个零点，为在轴右边的第一个极大值点，

，，得，
，得，的取值范围是．
故答案为：．
将代入的解析式，求的值，结合正弦函数的图象与性质列关于的不等式组，即可得解．
本题主要考查正弦函数的单调性，考查转化能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：将这组数据从小到大排列为，，，，，，，，，，
又由，所以这组数据的第百分位数为第个数，
即这组数据的第百分位数为．
样本中评分超过的有个，所以评分超过的频率为，
把频率视为概率，则评分超过的概率为，
依题意，随机变量的所有可能取值为，，，，且，
则，
，
，
，
所以随机变量的分布列为

所以期望为，方差为． 

【解析】先将数据从小到大排列，结合百分位的计算方法，即可求解；
根据题意，求得评分超过的概率为，得到的所有可能取值为，，，，且，利用独立重复试验的概率公式求得概率，得出分布列，进而取得期望和方差．
本题考查离散型随机变量的分布列以及期望，属于中档题．
 

18.【答案】解：的内角，，的对边分别为，，已知，
由正弦定理可得：，
又，
即，
即，
即，
又，
即，
即；
由余弦定理可得：，
即，
又，
则，
又，
又为锐角三角形，
则，
即，
即
即
即
即的取值范围为． 

【解析】由正弦定理可得：，即，又，即，得解；
由余弦定理可得：，即，又，然后求解即可．
本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了三角函数值域的求法，属基础题．
 

19.【答案】解：由题意得，得，
由得，
由得，且，则，
由，当在范围内取值时的所有取值为，，，，，，
；
证明：由得，
则，
，
又是递减的，则． 

【解析】根据题意，由等差数列的通项公式与求和公式得到关于，的方程，即可得出答案；
根据题意，得到数列的通项公式，再由裂项相消法，即可证明结论．
本题考查数列通项公式以及前项和的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：证明：取的中点，连接，，因为，，所以，，又，，平面，所以平面，又因平面，所以，因为，平面，平面，所以平面，又因平面与平面的交线为，平面，所以，因为，所以；
连接，交于点，连接，则平面，，
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，不妨设，

则，设，则，则，，，
由，得，由，得，
解得，故，，因为，的中点为，所以平面与平面重合，
，，，
设平面的法向量为，则有，令，则，所以，
设平面的法向量为，则有，令，则，，所以，
则
所以平面与平面所成二面角的余弦值为． 

【解析】取的中点，连接，，证明平面，可得，再证明平面，根据线面平行的性质可得，即可得证；连接，交于点，连接，以点为原点建立空间直角坐标系，设，根据以及棱锥的结构特征求出的长度，再利用向量法求解即可．
本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，属中档题．
 

21.【答案】解：由已知可得为的左焦点，
所以，即，所以，
故椭圆的方程为．
设直线的方程为，，，
因为，所以，
由得，
显然，
于是，
，
所以


，
解得，即，所以直线的方程为． 

【解析】利用椭圆的定义，转化求解，，得到椭圆方程．
设出直线方程，联立直线与椭圆方程，推出，结合韦达定理，通过，转化求解，得到直线方程即可．
本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 

22.【答案】解：，
则，
因为的图象在处的切线与直线垂直，
所以，即，
又，
所以直线的方程为；
证明：，
，
令，
求导可得，，即在上是增函数，
因为，
所以，
所以存在，使得，
当时，，则，即在上单调递减，
当时，，则，即在上单调递增，
故是函数的极小值点，也是最小值点，
则．
又因为，所以，
要证，
只需证，
即证．
令，
在上单调递减，在上单调递减，
由复合函数的单调性可知，在上单调递减，
因为，所以，
则，
故．
故当时，． 

【解析】根据已知条件，利用导数的几何意义，以及直线垂直的性质，即可求解．
根据已知条件，利用导数研究函数的单调性，再结合极值点的定义，即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化能力，属于中档题．