2022-2023学年江苏省苏州市常熟中学高一下学期期初数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江苏省苏州市常熟中学高一下学期期初数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省苏州市常熟中学高一下学期期初数学试题 一、单选题1．（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据诱导公式即可.【详解】.故选：B.2．由英文单词“book”中的字母构成的集合的子集个数为（   ）A．3 B．6 C．8 D．16【答案】C【分析】首先写出该集合，即可判断集合的元素个数，根据含有个元素的集合的子集个数为个计算可得.【详解】解：由英文单词“book”中的字母构成的集合为，集合中含有个元素，所以该集合的子集为个.故选：C3．已知，那么“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可判断出答案.【详解】取，满足，但，推不出；当时，则，则必有成立，故“”是“”的必要不充分条件，故选：B4．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断即可.【详解】解：对于A：为偶函数，但是函数在上不具有单调性，故A错误；对于B：定义域为，函数为非奇非偶函数，故B错误；对于C：定义域为，为非奇非偶函数，故C错误；对于D：，且，故为偶函数，当，函数单调递增，符合题意，故D正确；故选：D5．若为第二象限角，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】取可判断AB选项的正误；利用二倍角的正弦公式可判断CD选项的正误.【详解】取，则为第二象限角，，AB选项错误；因为为第二象限角，则，，所以，，C错D对.故选：D.6．已知为角终边上一点，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据特殊角的三角函数值得到点坐标，由三角函数的定义求出，再由诱导公式化简，最后根据同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计算可得.【详解】解：因为，，所以，所以，所以.故选：B7．已知函数在区间上单调递增，则实数a的最大值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据的单调区间可求.【详解】令，解得.所以的单调递增区间为.又在区间上单调递增，，，即，则实数a的最大值是.故选：A.8．设函数的定义域为，满足，且当时，.则不等式的解集是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分，和进行分类讨论，即可求解【详解】当，，解得无实数解；当，，则由可得，令，整理得，解得解得，当，，则由可得，因为，所以，所以恒成立，综上所述，不等式的解集是故选：A 二、多选题9．在中，下列关系式成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由，及诱导公式逐一判断即可.【详解】在中，，，，故A正确；，故B错误；，故C错误；，故D正确.故选：AD.10．下列不等式成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值判断A，利用幂函数的性质判断B，根据正切函数的性质判断C，利用指数函数的性质判断D.【详解】解：对于A：因为，，所以，故A错误；对于B：因为在上单调递增且，所以，故B正确；对于C：在上单调递增，，所以，故C正确；对于D：因为，，所以，故D错误；故选：BC11．已知函数，则（    ）A．是偶函数 B．在区间上单调递减C．在区间上有四个零点 D．的值域为【答案】ABD【分析】由定义判断A；由正弦函数的单调性判断B；由在上的零点结合奇偶性判断C；讨论的值域，结合奇偶性判断D.【详解】对于A：其定义域为，，即函数是偶函数，故A正确；对于B：时，，由正弦函数的单调性可知，在区间上单调递减，故B正确；对于C：时，，此时，可得或，因为是偶函数，所以在区间上的零点为，故C错误；对于D：当，且时，.当，且时，，.又是偶函数，所以函数的值域为，故D正确；故选：ABD12．已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是（    ）A． B．C． D．且【答案】ACD【分析】把三次方程因式分解求根，即可化简集合B，然后利用集合关系即可判断.【详解】对于选项A，方程，因式分解得，解得，所以，满足，所以选项A正确；对于选项B，方程，因式分解得，解得或，所以，不满足，所以选项B错误；对于选项C，方程，因式分解得，解得，所以，满足，所以选项C正确；对于选项D，因为，所以是方程的解，所以方程变形为，因为，所以方程无解，所以方程有唯一解，所以，满足，所以选项D正确；故选：ACD. 三、填空题13．已知某扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的周长为___________.【答案】【分析】由扇形面积公式求出扇形半径，根据扇形弧长公式求出弧长，即可得解.【详解】设扇形的半径为，由扇形的面积公式得：，解得，该扇形的弧长为，故该扇形的周长为.故答案为：.14．写出一个非常数函数同时满足条件：①，②. 则___________.【答案】（形如或或或）【分析】根据函数所满足的周期性、对称性写出满足条件的函数即可.【详解】因为，，所以函数周期，函数对称轴为，故可取函数，故答案为：（答案不唯一，形如或或或都可以） 四、双空题15．已知函数，（1）当时，则实数a，b之间的大小关系是___________；（2）若，且，则的取值范围是___________.【答案】          【分析】（1）利用对数函数的单调性即可判断；（2）画出函数图象，整理可得，构造函数，由对勾函数的性质求出的取值范围.【详解】，，.作出函数图象如图，由图可知，当时，，，，即.令，由对勾函数的性质得在上单调递增.，即.故答案为：；. 五、填空题16．已知函数的值域为，侧实数的取值范围是___________.【答案】【分析】令、，求出函数的最小值及函数的单调性，再求出两函数的交点坐标，最后对分类讨论，分别计算可得.【详解】解：对于函数，则，当且仅当时取等号，且函数在上单调递减，在上单调递增，对于函数，令，则，且函数在定义域上单调递减，令，解得或，所以与的两个交点分别为、，则函数与的图象如下所示：当时，当时，当时，显然，此时函数的值域不为，不符合题意；当时，当时，当时，此时，即，此时函数的值域不为，不符合题意；当时，在时，即，此时的值域为，符合题意，当时，当时，当时，此时，即，此时函数的值域为，符合题意；综上可得.故答案为： 六、解答题17．（1）已知，求的值；（2）已知，求的值；（3）计算：.【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得；（2）将两边平方求出，再平方即可求出的值；（3）根据对数的运算法、换底公式及对数的运算性质计算可得.【详解】解：（1）因为，，所以；（2）因为，所以，所以.所以；（3）.18．已知函数.(1)求的最小正周期及取得最大值时自变量的集合；(2)记集合，集合，求.【答案】(1)，；(2). 【分析】(1)根据周期公式计算即可，由，解出自变量的集合即可；(2)根据，求出函数的值域，即得集合，由正切函数的性质，解出集合，由交集的定义求解即可.【详解】（1）解：因为，所以，当，即时，函数取得最大值2,所以此时自变量的集合为；（2）解：因为，所以，所以，所以.因为，所以，由，可得，所以，所以，，所以.19．已知为奇函数.(1)求的值及的最大值；(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根据奇函数的性质，求出的值，再代入检验，则，利用基本不等式计算可得；（2）解法一：利用定义法证明函数的单调性，结合函数的奇偶性得到恒成立，再分和两种情况讨论，分别求出参数的取值范围；解法二：依题意可得恒成立，即恒成立，再分和两种情况讨论，分别求出参数的取值范围.【详解】（1）解：因为定义域为，且为奇函数，所以，所以，当时， 所以，符合题意；由，当且仅当，即，等号成立，所以的最大值为.（2）解法一：设，则，所以在上单调递减，又因为是奇函数，且，所以，所以恒成立，即恒成立，当时恒成立，当则，即，解得，综上可得.解法二：又因为是奇函数，且，所以，所以，所以，所以恒成立，即恒成立，当时恒成立，当则，即，解得，综上可得.20．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式（e是自然对数的底数）求得，其中k是一个随着物体与空气接触状况而定的正常数.现有的物体，放在的空气中冷却，以后物体的温度是.(1)求k的值；(2)若要将物体冷却到，求需要冷却的时间；再经多长时间，可以冷却至（精确到1）？（参考数据：）【答案】(1)(2)要将物体冷却到，需要冷却：再经时间，可以冷却至 【分析】（1）把，，代入公式即可；（2）把数据代入公式，结合（1）中的，即可求得结果.【详解】（1）由题意可知，，当时，于是所以.（2）当时，，所以，由（1）可知，所以，所以当时，，所以，所以，所以故要将物体冷却到，需要冷却：再经时间，可以冷却至.21．已知函数.(1)判断函数的单调性，并证明；(2)若，记，求证：有且只有一个零点.【答案】(1)单调递增，证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）求出函数定义域，判断单调性，根据函数单调性的定义即可证明结论；（2）先判断的单调性，当时，推出，可判断无零点；当时，判断的单调性，结合零点存在定理可判断零点情况，综合即可证明结论.【详解】（1）由,所以，所以的定义域,判断：在上单调递增.证明如下：任取且，所以，又,，所以，所以，即,所以在上单调递增.（2）证明：因为在上单调递增；在上单调递减；当时，；，此时，，所以在上没有零点；当时，递增,故递增，则在上单调递增，又，所以在上有唯一的零点，综上，在上有且只有一个零点.22．已知函数.(1)当时，求函数的最值；(2)求函数的最小值.【答案】(1)最小值为；的最大值为3(2) 【分析】（1）首先得到，再根据平方关系及二次函数的性质计算可得；（2）根据平方关系得到，令，转化为关于的二次函数其中，对参数分类讨论，分别求出函数的最小值.【详解】（1）解：因为，所以当时，，又因为，所以，当时，的最小值为；当时，的最大值为3.（2）解：因为，令，，所以，，①当时，，此时在上单调递减，在上单调递增，所以；②当时，，此时在上单调递减，在上单调递增，所以；③当时，（ⅰ）当时，此时在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，所以；（ⅱ）当时，此时在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，所以；（ⅲ）当时，此时在上单调递减，在上单调递增，所以.综上可得.