湖南省普通高中2023届高三高考前模拟数学试题及答案

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湖南省普通高中2023届高三高考前模拟

数学试题

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．本试卷主要考试内容：高考全部内容。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则

A．  B．  C．   D．

2．复数z满足，则z的实部是

A．－1     B．1     C．－3     D．3

3．已知是偶函数，则a＝

A．－1     B．1     C．－2     D．2

4．若双曲线C：其中一条渐近线的斜率为2，且点在C上，则C的标准方程为

A．   B．   C．   D．

5．有甲、乙两个物体同时从A地沿着一条固定路线运动，甲物体的运动路程（千米）与时间t（时）的关系为，乙物体运动的路程（千米）与时间t（时）的关系为，当甲、乙再次相遇时，所用的时间t（时）属于区间

A．    B．    C．    D．

6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则c＝

A．4     B．6     C．    D．

7．已知定义在R上的函数满足对任意的实数x，y，都有，则

A．2023     B．－2023    C．0     D．1

8．欧拉是18世纪最优秀的数学家之一，几乎每个数学领域都可以看到欧拉的名字，例如初等几何中的欧拉线、多面体中的欧拉定理、微分方程中的欧拉方程，以及数论中的欧拉函数等等．个数叫互质数）的正整数（包括1）的个数，记作．例如：小于或等于4的正整数中与4互质的正整数有1，3这两个，即．记为数列的前n项和，则

A．   B．   C．   D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知直线：，：，圆C：，下列说法正确的是

A．若经过圆心C，则

B．直线与圆C相离

C．若，且它们之间的距离为，则

D．若，与圆C相交于M，N，则

10．某统计机构对1000名拥有汽车的人进行了调查，对得到的数据进行整理并制作了如图所示的统计图表，下列关于样本的说法错误的是

A．30岁以上人群拥有汽车的人数为720

B．40～45岁之间的人群拥有汽车的人数最多

C．55岁以上人群每年购买车险的总费用最少

D．40～55岁之间的人群每年购买车险的总费用，比18～30岁和55岁以上人群购买车险的总费用之和还要多

11．故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿．由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶．如图，某几何体ABCDEF有五个面，其形状与四阿顶相类似．已知底面ABCD为矩形，，，且，M，N分别为AD，BC的中点，EM与底面ABCD所成的角为，过点E作，垂足为H．下列说法正确的有

A．AD⊥平面EFNM        B．

C．异面直线EM与BF所成角的余弦值为  D．点H到平面ABFE的距离为

12．已知点在抛物线C：上，过P作圆的两条切线，分别交C于A，B两点，且直线AB的斜率为－1，若F为C的焦点，为C上的动点，N是C的准线与坐标轴的交点，则

A．          B．

C．的最大值是       D．的最大值是

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．已知单位向量，满足，则向量与的夹角为               ．

14．过点作曲线的切线，则切点的横坐标为               ，这条切线在x轴上的截距为               ．（本题第一空3分，第二空2分）

15．在直三棱柱中，已知，，，则该三棱柱外接球的表面积为               ．

16．现安排A，B，C，D，E这5名同学参加校园文化艺术节，校园文化艺术节包含书法、唱歌、绘画、剪纸四个项目，每个项目至少有一人参加，每人只能参加一个项目，A不会剪纸但能胜任其他三个项目，剩下的人都能胜任这四个项目，则不同的安排方案有               种．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

记等差数列的前n项和为，已知，．

（1）求的通项公式；

（2）设，数列的前n项和为，若，求m的值．

18．（12分）

已知函数．

（1）求的最小正周期和单调递增区间；

（2）当时，求的最大值，并求当取得最大值时x的值．

19．（12分）

为了让学生了解毒品的危害，加强禁毒教育，某校组织了全体学生参加禁毒知识竞赛，现随机抽取50名学生的成绩（满分100分）进行分析，把他们的成绩分成以下6组：，，，，，．整理得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求图中a的值并估计全校学生的平均成绩μ．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

（2）在（1）的条件下，若此次知识竞赛得分，为了激发学生学习禁毒知识的兴趣，对参赛学生制定如下奖励方案：得分不超过57分的不予奖励，得分超过57分但不超过81分的可获得学校食堂消费券5元，得分超过81分但不超过93分的可获得学校食堂消费券10元，超过93分可获得学校食堂消费券15元．试估计全校1000名学生参加知识竞赛共可获得食堂消费券多少元．（结果四舍五入保留整数）

参考数据：，，

．

20．（12分）

在图1中，△ABC为等腰直角三角形，，，△ACD为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且，沿AC将△ACD进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得．

（1）证明：FO⊥平面ABC．

（2）求二面角E－FA－C的余弦值．

21．（12分）

已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，过的直线l与E交于A，B两点，的周长为8，且点在E上．

（1）求椭圆E的方程；

（2）设直线l与圆O：交于C，D两点，当时，求面积的取值范围．

22．（12分）

已知函数，．

（1）若，求的最小值；

（2）若有两个极值点，，证明：．

高三数学考试参考答案

1．A

【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养．

因为，，所以

2．C

【解析】本题考查复数的有关概念，考查数学运算的核心素养．

因为，所以z的实部是－3．

3．D

【解析】本题考查函数的性质，考查数学运算的核心素养．

因为，所以，由，解得a＝2．

4．A

【解析】本题考查双曲线的性质，考查数学运算的核心素养．

因为，所以，把点的坐标代入方程，得，所以，则C的标准方程为．

5．B

【解析】本题考查函数的应用，考查直观想象的核心素养．

设当甲、乙再次相遇时，所用的时间为t小时，则，分别作出，的大致图象，令，则为增函数，有唯一的极值点，则在上单调递减，在）上单调递增，由于，，，所以．

6．D

【解析】本题考查解三角形的知识，考查数学运算的核心素养．

因为，所以，

移项得，即，所以．

7．C

【解析】本题考查抽象函数的求值，考查数学抽象的核心素养．

因为，所以，即．

所以

8．B

【解析】本题考查数学文化与等比数列的求和，考查数学抽象与数学运算的核心素养．

由题意，若正整数，且与不互质，则这个数为偶数或3的倍数，共有个，所以，即数列是首项为2，公比为6的等比数列，所以．

9．AC

【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查数学运算的核心素养．

对于A，因为圆心在直线上，所以，解得，A正确；

对于B，因为直线恒过点，，即点在圆C内，所以与圆C相交，B错误；

对于C，因为，则，与之间的距离，所以，C正确；

对于D，因为圆心到直线的距离，所以，D错误．

10．ABC

【解析】本题考查统计的知识，考查数据分析与数学运算的核心素养．

对于A，由，知30岁以上人群拥有汽车的人数为820，故A错误；

对于B，由图得不出40～45岁之间的人群拥有汽车的人数最多，故B错误；

对于C，55岁以上人群每年购买车险的总费用约为元，18～30岁之间的人群每年购买车险的总费用约为1000×18%×2800＝504000元，故C错误；

对于D，40～55岁之间的人群每年购买车险的总费用约为元，

，故D正确．

11．AC

【解析】本题考查几何体中线面垂直、夹角与距离，考查直观想象的核心素养．

对于A，因为，M是AD的中点，所以EM⊥AD．又因为底面ABCD是矩形，点N是BC的中点，所以．因为MN∩EM＝M，所以AD⊥平面EFNM，所以A正确．

由A的结论知，平面ABCD⊥平面EFNM，平面ABCD∩平面EFNM＝MN，

因为，所以EH⊥平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，

在Rt△EMH中，，，，，则，，，，所以，．设直线EM与BF所成角为θ，则，所以B错误，C正确．

对于D，，，，设平面ABEF的法向量为，所以，令，则，所以，所以D错误．

12．BC

【解析】本题考查抛物线的定义及性质，考查直观想象的核心素养．

由题意可知，过P所作圆的两条切线关于直线对称，所以．

设，，，则，

同理可得，，则，得，

所以，

由，得．

将代入抛物线C的方程，得，解得，故抛物线C的方程为，A错误，B正确．

设，作MM＇垂直准线于（图略），由抛物线的性质可得，

所以，当最小时，的值最大，

所以当直线MN与抛物线C相切时，θ最大，即最小．由题意可得，

设切线MN的方程为，联立方程组，消去x，得，由，可得，将代入，可得，所以，即M的坐标为，所以，，所以的最大值为，C正确，D错误．

13．

【解析】本题考查平面向量的夹角，考查数学运算的核心素养．

因为，所以，解得．设向量与向量的夹角为θ，则，又，所以．

14．－2；

【解析】本题考查导数的几何意义，考查数学运算的核心素养．

设切点坐标为，因为，所以，即，解得，所以切线方程为，可知该切线在x轴上的截距为．

15．36π

【解析】本题考查三棱柱的外接球的表面积，考查直观想象的核心素养．

由题设知AB，AC，两两垂直，设直三棱柱外接球的半径为R，则，解得，所以所求外接球的表面积．

16．180

【解析】本题考查排列组合的知识，考查数学建模与数学运算的核心素养．

若A与其他一人参加同一个项目，则有种；若A独自一人参加一个项目，则有种．故共有种不同的安排方案．

17．解：

（1）设的公差为d，因为，所以，解得．

又，所以．

所以．

（2）因为，

所以．

由，解得评分细则：

【1】第一问，求出，得2分，求出，累计得4分，第一问全部正确解出，累计得5分．

【2】第二问，求出，累计得7分，求出，累计得9分，最后求出，累计得10分．

【3】采用其他方法，参照本评分标准依步骤给分．

18．解：

（1）因为，

所以的最小正周期为π．

由，，解得，，

所以的单调递增区间为．

（2）因为，所以，

所以，所以，

当，即时，，

所以的最大值为，此时．

评分细则：

【1】第一问，将化简为，得3分，求出最小正周期，累计得4分，第一问全部正确解出，累计得6分．

【2】第二问，求出，累计得8分，求出，累计得10分，最后求出正确答案，累计得12分．

19．解：

（1）由题意可知，，解得

（2）设参加知识竞赛的每位学生获得的学校食堂消费券为Y元，

，

，

，

，

Y的分布列如下表：

，

（元）．

故估计全校1000名学生参加知识竞赛共可获得食堂消费券5114元．

评分细则：

【1】第一问，求出，得2分，求出，累计得4分．

【2】第二问，每求出一个概率得1分，正确写出分布列累计得10分，正确写出期望累计得11分，直至最后写出正确结果为5114元，累计得12分．

【3】采用其他方法，参照本评分标准依步骤给分．

20．

（1）证明：连接OB，

因为△ABC为等腰直角三角形，，，

所以AC＝4，OB＝2．

在等边三角形FAC中，，．

又，所以，即．

因为，所以FO⊥平面ABC．

（2）解：以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，

，．

设平面FAE的法向量为，

由，得，令，得．

易知平面FAC的一个法向量为．

设二面角E－FA－C的大小为θ，则．

评分细则：

（方法二）

（1）同上（1）．

（2）作EM⊥AC，垂足为M，作MN⊥AF，垂足为N，连接EN．

易证EM⊥平面ACF，从而EM|AF．又MN⊥AF，MN∩EM＝M，所以AF⊥平面EMN，则AF⊥EN，所以二面角E－FA－C的平面角为∠ENM．

因为EM∥OB，所以，

解得．

在Rt△AMN中，，，

所以，

所以，

所以，即二面角E－FA－C的余弦值为．

21．解：

（1）因为的周长为8，所以，解得．

将点的坐标代入椭圆方程，解得．

所以椭圆E的方程为．

（2）由（1）知圆O的方程为，设直线l的方程为，

则圆心O到直线l的距离．

由，可得．

设，，联立方程组，消去x得，

则，，

所以．

设，则，

易知在上单调递增，从而在上单调递增，

因为，所以．

评分细则：

【1】第一问，求出，得2分，求出，累计得3分，求出标准方程累计得4分．

【2】第二问，求出，累计得5分，求出，累计得6分，根据韦达定理写出，，累计得7分，求出，累计得8分，直到给出正确结论，累计得12分．

【3】第二问，直线l的方程也可以设为和，参照上述步骤给分．

22．

（1）解：若，则，．

令，得；令，得．

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，取得最小值．

（2）证明：，因为有两个极值点，，所以，是的两个根，即，

所以

．①

令，则，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，，则，的图象如图所示．

不妨设，，

则，所以，

所以，

所以，②

下面要证．

．

令，，则，

令，则，

所以在上单调递减，

所以，从而，所以在上单调递减，

所以，即，

所以．③

由②知，

所以，

即．

评分细则：

【1】第一问，写出，得1分，求出的单调区间，累计得3分，求出最小值为，累计得4分．

【2】第二问，写出，累计得6分，推导出，累计得8分，分析出要证，累计得9分，证出，累计得11分，直至证出，累计得12分．

【3】采用其他方法，参照本评分标准依步骤给分．