2022-2023学年天津市七区高一上学期期末数学试题（解析版）

2022~2023学年度第一学期期末练习

高一数学

第Ⅰ卷（选择题  共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集，集合，，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意求出，即可求解.

【详解】全集，集合，

故选：B

2. 函数的零点所在的区间是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】判断求解端点的函数值，利用零点判定定理求解即可．

【详解】解：函数，因为是增函数，是增函数，

所以函数是增函数．

．

．

.

．．

函数的零点所在的区间是：（1，2）．

故选：C．

【点睛】一是严格把握零点存在性定理的条件；

二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；

三是函数f(x)在[a，b]上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上只有一个零点.

3. “”是 “”的

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】由充分条件和必要条件的概念，即可判断出结果.

【详解】解:因为能推出，而不能推出，

所以“”是“”的充分不必要条件,

故选:A.

【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件与充要条件的判断，属于基础题型.

4. 一个扇形的面积和弧长的数值都是2，则这个扇形中心角的弧度数为（）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

【答案】D

【解析】

【分析】根据扇形面积和弧长公式计算即可得出结果.

【详解】设扇形中心角的弧度数为，半径为，

由题意可知，扇形面积，弧长，

解得，

即扇形中心角的弧度数为1.

故选：D

5. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性分别限定a，b，c的取值范围即可比较出大小.

【详解】由指数函数在R上单调递增可知，，即；

由对数函数在上单调递增可知，，即;

由对数函数在上单调递减可知，，即

所以，可得

故选：C

6. 把函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式可以是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意利用函数的图象平移变换规律，得出结论．

【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后，

所得图象对应的函数解析式是，

故选：A

7. 函数的部分图象大致为（）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值利用排除法判断即可.

【详解】解：因为函数定义域为，

又，所以为奇函数，

函数图形关于原点对称，故排除C、D，

又，故排除B；

故选：A

8. 下列计算正确的是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】对选项逐一判断，A选项注意平方再开方后要取绝对值，去绝对值要注意正负；B选项同底数幂相乘，底数不变指数相加；C选项；D 选项由对数的运算性质即可判断正误.

【详解】故A错误；，故B错误；

故C错误；故D正确.

故选：D

9. 经研究表明，大部分注射药物的血药浓度（单位：）随时间t（单位：h）的变化规律可近似表示为，其中表示第一次静脉注射后人体内的初始血药浓度，k表示该药物在人体内的消除速率常数.已知某麻醉药的消除速率常数（单位：），某患者第一次静脉注射该麻醉药后即进入麻醉状态，测得其血药浓度为，当患者清醒时测得其血药浓度为，则该患者的麻醉时间约为（）（）

A. 3.2 B. 3.5 C. 2.2 D. 0.8

【答案】A

【解析】

【分析】依据题意列出关于的方程即可求得该患者的麻醉时间．

【详解】解：由题意得，，即，则，解得.

故选：A.

10. 已知函数若函数有四个不同的零点，，，，且，则下列结论中正确的是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】作出函数图象，根据函数图象得出4个零点的关系及范围，进而得出结论.

【详解】函数的四个不同的零点，，，，就是函数与两个图象四个交点的横坐标，

作出函数图象，

对于A，，

当时，，令，解得，

结合图象可知，故A错误；

结合图象可知，解得，故B正确；

又，且，

所以，即，

所以，故C错误；

根据二次函数的性质和图象得出，所以，故D错误；

故选：B

第Ⅱ卷（共80分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．

11. 已知幂函数y=f（x）的图象经过点（4，2），那么这个幂函数的解析式为___________．

【答案】

【解析】

【分析】设幂函数，由幂函数的图象经过点，知，由此能求出这个幂函数的解析式．

【详解】设幂函数，

∵幂函数的图象经过点，

∴，∴，

∴这个幂函数的解析式为．

故答案为：．

12. ______．

【答案】

【解析】

【分析】根据诱导公式求解即可.

【详解】.

故答案为：.

13. 已知，则____________.

【答案】

【解析】

【分析】分子分母同除以，将代入即可得结果.

【详解】

.

【点睛】本题主要考查，同角三角函数之间的关系的应用，属于中档题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.

14. 若，则的最小值为______．

【答案】

【解析】

【分析】由于，可将原式整理为，然后利用基本不等式求解即可.

【详解】，

当且仅当,即时，取得最小值.

故答案为：.

15. 有下列命题：

①函数的定义域为；

②不等式的解集为，则实数k的取值范围为；

③函数是定义在上的偶函数，当时，．则当x＜0时，．

其中正确命题的序号为______（把正确的答案都填上）．

【答案】①③

【解析】

【分析】对①②③逐一判断，①函数的定义域要满足分母不为0，对数函数的真数大于0，②对不等式的二次项系数分类讨论，分别求的满足条件的集合，即可求得实数k的取值范围，③有函数的奇偶性可知，又知当当时函数的解析式，即可求得当时函数的解析式.

【详解】对于①函数定义域满足且，故，①正确；

对于②当时，满足题意，

当时，函数开口向上，解集为不成立，

当时，若解集为，则，解得，

综上若不等式的解集为，则数k的取值范围为，故②错误；

对于③函数是定义在上的偶函数，

又当时，，

当x＜0时，，

即当x＜0时，故③正确.

故答案为：①③.

三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. 已知，是第三象限的角．

（1）求；

（2）求的值．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）先求出，后由可得答案；

（2）由（1）可得，后由两角差的正弦公式可得答案.

【小问1详解】

∵，且是第三象限的角，

∴，∴；

小问2详解】

，　

，　

∴，

，

.

17. 已知函数

（1）求，的值；

（2）若，求实数a的值；

（3）直接写出的单调区间．

【答案】（1）；

（2）

（3）单调递增区间，单调递减区间，

【解析】

【分析】（1）根据分段函数定义直接代入计算即可；（2）分类讨论实数a的取值范围，解方程即可得出符合题意的a的值；（3）画出函数图象即可直接写出单调区间．

【小问1详解】

根据分段函数解析式可得，

易知；所以　

即.

【小问2详解】

①当时，，

解得，或（舍）. 　

②当时，，解得（舍）.

综上可得.

即实数a的值为

【小问3详解】

画出函数图象如下所示：

所以，单调递增区间，单调递减区间，

18. 已知指数函数（a＞0，且）的图象过点．

（1）求a的值；

（2）若，，求m＋n的值；

（3）求不等式的解集．

【答案】（1）

（2）

（3）

【解析】

【分析】（1）由于函数过点，将点代入函数解析式即可求得a的值.

（2）将，分别代入函数中，分别求得，再用对数的运算性质求得的值。

（3）将中的代换成，再由函数的单调性即可求得不等式的解集.

【小问1详解】

函数(，且)的图象过点，

所以，解得.又，故a的值为.

【小问2详解】

由（1）知，因，，

即，，所以，，

【小问3详解】

不等式，

因为，所以，

因为，在上单调递减函数，

所以，解得，

所以不等式的解集为.

19. 已知函数，．

（1）求的最小正周期；

（2）求在区间上的最大值和最小值；

（3）若，，求的值．

【答案】（1）

（2）最大值为，最小值为－.

（3）

【解析】

【分析】(1)根据两角和差，二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，求周期即可；

(2)根据自变量范围求，结合单调性求最值；

(3)由已知条件结合两角和差公式求值.

【小问1详解】

，　

.　

，的最小正周期为.

【小问2详解】

因为，所以

令，得，令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增.   

且，，，

所以，的最大值为，最小值为－.

【小问3详解】

因为，，所以，，

又因为　所以，，

故，，　　

所以，

.

20. 已知函数是定义域为的奇函数，且．

（1）求的解析式；

（2）用函数单调性的定义证明在区间上单调递增；

（3）设，求的最小值．

【答案】（1）

（2）证明见解析（3）

【解析】

【分析】（1）根据函数奇偶性可得，由即可得，代入可得解析式；（2）根据函数单调性定义按照取值、作差、变形、定号、下结论的步骤证明即可；（2）利用换元法根据一元二次函数对称轴与区间的位置关系进行分类即可.

【小问1详解】

函数是定义域为的奇函数，

所以，即，　　　

因为，

所以，

即的解析式为.

【小问2详解】

设，且，则

由，得,

又由，得，

于是,即，

所以在区间上单调递增.

【小问3详解】

令，由（2）可知，即，　

设，，易知关于对称；

①当时，，　

②当时，

③当时，，　

综上可得