高考数学一轮复习第2章第7节函数的图象学案

第七节　函数的图象

考试要求：1．会画一些函数的图象，理解图象的作用．

2．会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．

一、教材概念·结论·性质重现

1．利用描点法作函数图象

其基本步骤是列表、描点、连线．

首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．

其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)．

最后：描点，连线．

2．函数图象的变换

(1)函数图象平移变换八字方针

①“左加右减”，要注意加减指的是自变量．

②“上加下减”，要注意加减指的是函数值．

(2)对称变换

①f(x)与f(－x)的图象关于y轴对称．

②f(x)与－f(x)的图象关于x轴对称．

(3)翻折变换

①|f(x)|的图象是将f(x)的图象中x轴下方的图象对称翻折到x轴上方，x轴上方的图象不变．

②f(|x|)的图象是将f(x)的图象中x轴右侧的图象不变，再对称翻折到y轴的左侧．

(4)关于两个函数图象对称的三个重要结论

①函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．

②函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称．

③若函数y＝f(x)的定义域内任意自变量x满足f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

(5)函数图象自身的轴对称

①f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．

②函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)．

③若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．

(6)函数图象自身的中心对称

①f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称．

②函数y＝f(x)的图象关于(a,0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)．

③函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．

二、基本技能·思想·活动经验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．                             (　×　)

(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同． (　×　)

(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称． (　×　)

(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．               (　√　)

2．函数f(x)＝x＋的图象关于(　　)

A．y轴对称 

B．x轴对称

C．原点对称

D．直线y＝x对称

C　解析：因为f(x)是奇函数，所以该函数的图象关于原点对称．

3．函数y＝－ex的图象(　　)

A．与y＝ex的图象关于y轴对称

B．与y＝ex的图象关于坐标原点对称

C．与y＝e－x的图象关于y轴对称

D．与y＝e－x的图象关于坐标原点对称

D　解析：由点(x，y)关于原点的对称点是(－x，－y)，可知D正确．

4．若图中阴影部分的面积S是关于h的函数(0≤h≤H)，则该函数的大致图象是(　　)

B　解析：由题图知，随着h的增大，阴影部分的面积S逐渐减小，且减小的越来越慢，结合选项可知选B．

5．若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)等于(　　)

A．－ B．－

C．－1 D．－2

C　解析：由图象可得－a＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，所以f(x)＝故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1．故选C．

考点1　作函数的图象——基础性

分别作出下列函数的图象：

(1)y＝|lg x|；

(2)y＝2x＋2；

(3)y＝x2－2|x|－1．

解：(1)y＝图象如图(1)所示．

(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位长度．图象如图(2)所示．

(3)y＝图象如图(3)所示．

考点2　判断函数的图象——综合性

考向1　由函数的解析式判断图象

(1)(2021·临沂联考)函数f(x)＝在[－π，π]上的图象大致为(　　)

A　解析：因为f(－x)＝＝＝f(x)，

所以f(x)为偶函数，排除C．

又因为f ＝－<0，f(π)＝－>－>－1，

所以排除BD．故选A．

(2)设函数f(x)＝xcos x－sin x的图象上的点(x0，y0)处的切线的斜率为k．若k＝g(x0)，则函数g(x)的大致图象为(　　)

A　解析：由f(x)＝xcos x－sin x求导得f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x，

于是得g(t)＝－tsin t，显然g(－t)＝－(－t)sin (－t)＝g(t)，即函数k＝g(t)是偶函数，C选项不满足；

当t∈(0，π)时，g(t)<0，且有g(π)＝0，则B选项不满足；

当t∈(0，π)时，g′(t)＝－sin t－tcos t，由g′(t)＝0得tan t＝－t，从而得g(t)在(0，π)上的极小值点t0>，选项D不满足，

所以函数k＝g(t)的大致图象为选项A．

考向2　由动点探究函数图象

在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(　　)

B　解析：依题意，在2 h内血液中药物含量Q持续增加，停止注射后，Q呈指数衰减，图象B适合．

1．已知图(1)中的图象是函数y＝f(x)的图象，则图(2)中的图象对应的函数可能是(　　)

A．y＝f(|x|) 

B．y＝|f(x)|

C．y＝f(－|x|)　　 

D．y＝－f(－|x|)

C　解析：对于选项A，x＞0时，图象应与图①中x＞0时的图象一致，所以选项A错误；因为图(2)是一个偶函数的图象，因此排除选项B；对于选项C，x＞0时，图象应与图①中x＜0时的图象一致，又因为y＝f(－|x|) 是偶函数，所以该选项正确；对于选项D，由y＝－f(－|x|)可知，该函数的图象应将选项C中的函数图象沿x轴旋转180°得到，所以选项D错误．

2．(2021·天津卷)函数y＝的图象大致为(　　)

A　                    B

C                   　D

B　解析：设y＝f(x)＝，则函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，

又f(－x)＝＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除AC；

当x∈(0,1)时，ln |x|<0，x2＋2>0，所以f(x)<0，排除D．故选B．

3．(2022·河北高三模拟)为了得到函数y＝log2的图象，可将函数y＝log2x的图象上所有的点(　　)

A．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，再向右平移1个单位长度

B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度

C．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度

D．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度

A　解析：y＝log2＝log2(x－1)＝log2(x－1)，由y＝log2x图象的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，可得y＝log2x的图象，再向右平移1个单位长度，可得y＝log2(x－1)的图象，也即y＝log2的图象．故选A．

考点3　函数图象的应用——应用性

考向1　研究函数的性质

已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递增

B．f(x)是偶函数，在区间(－∞，1)上单调递减

C．f(x)是奇函数，在区间(－1,1)上单调递减

D．f(x)是奇函数，在区间(－∞，0)上单调递增

C　解析：f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图．

考向2　解不等式

已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示．若不等式－2<f(x＋t)<4的解集为(－1,2)，则实数t的值为________．

1　解析：由图象可知不等式－2<f(x＋t)<4即为f(3)<f(x＋t)<f(0)，故x＋t∈(0,3)，即不等式的解集为(－t，3－t)．依题意可得t＝1．

考向3　求参数的取值范围

设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．

[－1，＋∞)　解析：作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．

在本例中，若将“g(x)＝x－1”改为“g(x)＝x＋1”，结果如何？

[1，＋∞)　解析：作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x＋1的图象，如图，观察图象可知，当且仅当－a≤－1，即a≥1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[1，＋∞)．

1．下列函数y＝f(x)的图象中，满足f ＞f(3)＞f(2)的只可能是(　　)

A           B         C　        D

D　解析：因为f ＞f(3)＞f(2)，所以函数f(x)有增有减，排除AB．在C中，f(3)＞f(2)＝f(0)＞f ，即f ＜f(3)，排除C．故选D．

2．已知函数f(x)＝|x2－1|．若0<a<b且f(a)＝f(b)，则b的取值范围是(　　)

A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)

C．(1，) D．(1,2)

C　解析：作出函数f(x)＝|x2－1|在区间(0，＋∞)上的图象，如图所示．作出直线y＝1，交f(x)的图象于点B．由x2－1＝1可得xB＝，结合函数图象可得b的取值范围是(1, )．

3．使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是__________．

(－1, 0)　解析：在同一直角坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1,0)．

4．对a，b∈R，记max{a，b}＝则函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________．

　解析：函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的图象如图所示．由图象可得，其最小值为．