高考数学一轮复习第1章第1节集合学案

第一节　集合

考试要求：借助集合的有关概念，解决集合间的关系，并能进行集合的基本运算．

一、教材概念·结论·性质重现

1．元素与集合、集合与集合间的关系

(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系：属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号“”表示)．

(3)集合的表示法：列举法、描述法．

(4)集合与集合间的基本关系

①子集：集合A中任意一个元素都是集合B中的元素．用符号表示为A⊆B(或B⊇A)．

Venn图如图所示：

②真子集：集合A⊆B，但存在元素x∈B，且xA．用符号表示为：AB(或BA)．

Venn图如图所示：

③集合相等：集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素．用符号表示为A＝B．

Venn图如图所示：

2．集合的基本运算

(1)交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合．用符号表示为A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．

Venn图如图所示：

(2)并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合．用符号表示为A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．

Venn图如图所示：

(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集．用符号表示为∁UA＝{x|x∈U，且xA}．

Venn图如图所示：

3．集合的运算性质

(1)并集的性质：A∪∅＝∅∪A＝A；A∪A＝A．

(2)交集的性质：A∩∅＝∅∩A＝∅；A∩A＝A．

(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．

4．常用结论

(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个．

(2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C．

(3)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，

∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．

二、基本技能·思想·活动经验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)集合{x2＋x,0}中的实数x可取任意值． (　×　)

(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}． (　×　)

(3)对任意集合A，B，一定有A∩BA∪B． (　×　)

(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C． (　×　)

(5)直线y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点组成的集合是{(1,4)}．(　√　)

2．若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，则下列结论中正确的是(　　)

A．{a}⊆A   B．a⊆A

C．{a}∈A   D．aA

D　解析：因为2不是自然数，所以aA．

3．已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B＝(　　)

A．(－1，＋∞)  B．(－∞，2)

C．(－1,2)  D．∅

C　解析：在数轴上标出集合A，B，如图所示．

故A∩B＝{x|－1<x<2}．

4．(2021·北京卷)已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝(　　)

A．(－1,2)  B．(－1,2] 

C．[0,1)  D．[0,1]

B　解析：由题意可得：A∪B＝{x|－1<x≤2}，即A∪B＝(－1,2]．

5．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,4}，N＝{2,3,4}，则集合(∁UM)∩(∁UN)等于(　　)

A．{5,6}  B．{1,5,6}

C．{2,5,6}  D．{1,2,5,6}

A　解析：因为U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,3,4}，N＝{2,3,4}，所以∁UM ＝{2,5,6}，∁UN＝{1,5,6}，所以(∁UM)∩(∁UN)＝{5,6}．故选A．

考点1　集合的概念——基础性

1．(2021·南昌市高三测试)设集合{a，b，}＝{1,2,4}，则a＋b＝(　　)

A．2        B．3     C．5     D．6

C　解析：因为2＝，所以a＝1，b＝4，＝2或a＝4，b＝1，＝2，所以a＋b＝5．故选C．

2．若集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)

A．  B． 

C．0  D．0或

D　解析：当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝．故选D．

3．(多选题)已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}．若2∈M，则满足条件的实数x可能为(　　)

A．2      B．－2    C．－3     D．1

AC　解析：由题意得，2＝3x2＋3x－4或2＝x2＋x－4．

若2＝3x2＋3x－4，即x2＋x－2＝0，

解得x＝－2或x＝1．

检验：当x＝－2时，x2＋x－4＝－2，与元素互异性矛盾，舍去；

当x＝1时，x2＋x－4＝－2，与元素互异性矛盾，舍去．

若2＝x2＋x－4，即x2＋x－6＝0，

解得x＝2或x＝－3．

经验证x＝2或x＝－3满足条件．

故选AC．

4．已知P＝{x|2<x<k，x∈N}．若集合P中恰有3个元素，则k的取值范围为________．

(5,6]　解析：因为P中恰有3个元素，所以P＝{3,4,5}，故k的取值范围为(5,6]．

考点2　集合的基本关系——综合性

(1)(多选题)若集合A＝{x|x≥1}，则满足B⊆A的集合B可以是(　　)

A．{2,3}   B．{x|x≥2}

C．{0,1,2}   D．{x|x≥0}

AB　解析：因为集合A＝{x|x≥1}，且B⊆A，所以集合B可以是集合{2,3}，也可以是{x|x≥2}．故选AB．

(2)已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－m<x<m}．若B⊆A，则m的取值范围为________．

(－∞，1]　解析：当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A．

当m>0时，A＝{x|－1<x<3}，

若B⊆A，在数轴上标出两集合，如图，

所以所以0<m≤1．

综上所述，m的取值范围为(－∞，1]．

1．若在例1(2)中，条件“B⊆A”，改为“A⊆B”，结果如何？

解：因为A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－m<x<m}，且A⊆B，

所以解得m≥3．

故m的取值范围为[3，＋∞)．

2．若在例1(2)中，条件“B⊆A”，改成“AB”，则m的取值范围为________．

[3，＋∞)　解析：因为A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－m<x<m}，且AB，所以或解得m≥3．

故m的取值范围为[3，＋∞)．

2．根据两集合的关系求参数的方法

已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对含参数的集合是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．

(1)若集合中的元素是一一列举的，依据集合间的关系，将其转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性．

(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需检验端点值能否取到．

1．设全集U＝R，则集合M＝{0,1,2}和N＝{x|x·(x－2)·log2x＝0}的关系可表示为(　　)

A　解析：因为N＝{x|x·(x－2)·log2x＝0}＝{1,2}，M＝{0,1,2}，所以N是M的真子集．故选A．

2．(1)满足{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5}的集合A的个数为________．

8　解析：因为集合A满足{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5}，

所以集合A中必有1,2，集合A还可以有元素3,4,5，

满足条件的集合A有：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}共有8个．

(2)满足{1,2}A{1,2,3,4,5}的集合A 的个数为　6　．

考点3　集合的运算——应用性

考向1　集合的运算

(1)设集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|－1<x<2}，则A∪B＝(　　)

A．{x|x>－1}  　　 B． {x|x≥1}

C．{x|－1<x<1}  　　 D．{x|1≤x<2}

A　解析：由交集的定义结合题意可得：A∪B＝{x|x>－1}．故选A．

(2)(2021·新高考全国Ⅱ卷)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,6}，B＝{2,3,4}，则A∩(∁UB)＝(　　)

A．{3}   B．{1,6}

C．{5,6}   D．{1,3}

B　解析：由题设可得∁UB＝{1,5,6}，故A∩(∁UB)＝{1,6}．

(3)(2020·全国Ⅲ卷)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为(　　)

A．2   B．3 

C．4   D．6

C　解析：由题意，A∩B中的元素满足且x，y∈N*．由x＋y＝8≥2x，得x≤4，

所以满足x＋y＝8的有(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，故A∩B中元素的个数为4．

例2(1)中的条件不变，试求∁R(A∩B)．

解：因为A＝{x|x≥1}，B＝{x|－1<x<2}，

所以A∩B＝{x|1≤x<2}，

所以∁R(A∩B)＝{x|x<1或x≥2}．

考向2　集合运算的应用

(1)(2020·全国Ⅰ卷)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝(　　)

A．－4   B．－2 

C．2   D．4

B　解析：集合A＝{x|x2－4≤0}＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|2x＋a≤0}＝．由A∩B＝{x|－2≤x≤1}，可得－a＝1，则a＝－2．

(2)(2021·西安模拟)已知集合A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{x|x＞a}．若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是(　　)

A．[3，＋∞)   B．(3，＋∞)

C．(－∞，1]   D．(－∞，1)

A　解析：因为集合A＝{x|x2－4x＋3≤0}＝{x|1≤x≤3}，又A∩B＝∅，所以a≥3．

1．设集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x＋y＝1}，则A∩B中元素的个数是(　　)

A．0   B．1 

C．2   D．3

C　解析：如图．

因为圆x2＋y2＝1和直线x＋y＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2．故选C．

2．设集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝(　　)

A．{2}   B．{2,3}

C．{－1,2,3}   D．{1,2,3,4}

D　解析：易知A∩C＝{1,2}，所以 (A∩C)∪B＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}．故选D．

3．已知集合M＝{x∈N*|2x＜8}，N＝{x|x＜a}．若M∩N有且仅有1个元素，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0,1]   B．[0,1]

C．(1,2]   D．[1,2]

C　解析：因为M＝{x∈N*|x＜3}＝{1,2}，N＝{x|x＜a}，且M∩N只有一个元素，所以M∩N＝{1}，所以1＜a≤2，所以a的取值范围是(1,2]．