高考数学一轮复习课时质量评价56两个计数原理、排列与组合含答案

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1．现有甲、乙、丙三种树苗可供选择，分别种在一排五个坑中，要求相同的树苗不能相邻，第一、五坑内只能种甲种树苗，则不同的种法共有( )
A．4种 B．5种
C．6种 D．7种
C 解析：根据题意，分2种情况讨论：
①若二、四号坑种的树苗相同，则二、四号坑有2种选择，三号坑有2种选择，此时有2×2＝4种种法，
②若二、四号坑种的树苗不同，则二、四号坑有2×1＝2种选择，三号坑有1种选择，此时有2×1＝2种种法．
则有4＋2＝6种不同的种法．
故选C．
2．6名同学和1名老师去参观“伟大征程——庆祝中国共产党成立100周年特展”，参观结束后他们排成一排照相留念．若老师站在正中间，甲、乙两同学相邻，则不同的排法共有( )
A．240种 B．192种
C．120种 D．96种
B 解析：共有7个人，老师在正中间，则老师左右各3人，所以甲、乙相邻在老师左右共有4种情况满足，剩下4人全排即可，所以不同的排法共有4×Aeq \\al(2,2)×Aeq \\al(4,4)＝192种．故选B．
3．(2021·广州期末)A，B，C，D，E五人并排站成一排，若A，B必须相邻且B在A的左边，那么不同的排法共有( )
A．24种 B．36种
C．48种 D．60种
A 解析：根据题意，分2步进行分析：
①A，B必须相邻且B在A的左边，将AB看成一个整体，有1种排法；
②将AB整体与C，D，E全排列，有Aeq \\al(4,4)＝24种排法，
则共有1×24＝24种排法．故选A．
4．(2022·枣庄期末)一名同学有2本不同的数学书，3本不同的物理书，现要将这些书放在一个单层的书架上．如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，则不同放法的种数为( )
A．24 B．12
C．120 D．60
A 解析：根据题意，要求不使同类的书分开，即同类的书相邻，先将2本不同的数学书看成一个整体，再将3本不同的物理书看成一个整体，最后将两个整体全排列，有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,2)＝24种不同放法．故选A．
5．冼太夫人故里、放鸡岛、窦州古城、茂名森林公园这4个景区均为广东茂名市的热门旅游景区．现有5名学生决定于今年暑假前往这4个景区旅游．若每个景区至少有1名学生前去，且每名学生只去一个景点，则不同的旅游方案种数为( )
A．120 B．180
C．240 D．360
C 解析：根据题意，分2步进行分析：
①将5名学生分为4组，有Ceq \\al(2,5)＝10种分组方法；
②将分好的4组全排列，安排到4个景区旅游，有Aeq \\al(4,4)＝24种安排方法．
则共有10×24＝240种安排方法．故选C．
6．若把一句话“我爱大中华”的汉字顺序写错了，则可能出现错误的情况共有________种．
119 解析：根据题意，“我爱大中华”五个字排成一排，有Aeq \\al(5,5)＝120种不同的顺序，
其中正确的只有1种，则可能出现错误的情况有120－1＝119种．
7．高考期间，某校高三年级租用大巴车送考，原则上每班一辆车，但由于高三(1)班人数较多，坐满一辆车之后还余下7名同学．现有高三(2)、(3)、(4)班的选考车辆分别剩余2,3,3个空位，要把这7名同学都安排到这三辆车中，则共有______种不同的安排方法．
560 解析：根据题意，余下的7人坐车，还有8个空座位，可以看成7个人再加上一个空位，安排在8个空座位上的问题，有Ceq \\al(2,8)Ceq \\al(3,6)Ceq \\al(3,3)＝560种安排方法
8．有8名学生排成一排照相，求满足下列要求的排法的种数．
(1)甲、乙两人相邻；
(2)丙、丁两人不相邻；
(3)甲站在丙、丁两人的中间(未必相邻)．
解：(1)根据题意，将甲、乙看成一个整体，与其他6人全排列即可，
有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(7,7)＝10 080(种)排法．
(2)根据题意，将8人全排列，有Aeq \\al(8,8)种排法，其中丙、丁相邻的排法有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(7,7)种，则丙、丁两人不相邻的排法有Aeq \\al(8,8)－Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(7,7)＝30 240(种)．
(3)根据题意，将8人全排列，有Aeq \\al(8,8)种排法，
甲、丙、丁三人的排法有Aeq \\al(3,3)＝6(种)，其中甲站在丙、丁两人的中间有2种，
则有甲站在丙、丁两人的中间有eq \f(A\\al(2,2)×A\\al(8,8),A\\al(3,3))＝13 440(种)．
9．(2022·长沙月考)甲、乙、丙三位教师指导五名学生a，b，c，d，e参加全国高中数学联赛，每位教师至少指导一名学生．
(1)若每位教师至多指导两名学生，求共有多少种分配方案；
(2)若教师甲只指导其中一名学生，求共有多少种分配方案．
解：(1)根据题意，分2步进行分析：
①将5名学生分成3组，人数分别为(2,2,1)，有eq \f(C\\al(2,5)C\\al(2,3)C\\al(1,1),A\\al(2,2))＝15(种)分组方法，
②将分好的三组全排列，安排给三位教师，有Aeq \\al(3,3)＝6(种)情况，
则有15×6＝90(种)分配方案．
(2)根据题意，分2步进行分析：
①从5名学生任选1名学生分配给甲教师指导，有5种情况，
②剩下4名学生分成2组，安排其余两位教师辅导，有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(2,2))＋C\\al(3,4)))×Aeq \\al(2,2)＝14(种)情况，
则有5×14＝70(种)分配方案．
B组 新高考培优练
10．某校进行体育抽测，甲与乙两名同学都要在100 m跑、立定跳远、铅球、引体向上、三级跳远这5项运动中，选出3项进行测试．假定他们对这五项运动没有偏好，则他们选择的结果中至少有两项相同运动的选法种数为( )
A．70 B．50
C．30 D．20
A 解析：根据题意，分2种情况讨论：
①他们选择的结果中有两项相同运动，有Ceq \\al(3,5)Aeq \\al(2,3)＝60种选法．
②他们选择的结果中有三项相同运动，有Ceq \\al(3,5)＝10种选法，
则共有60＋10＝70种选法．故选A．
11．(多选题)(2021·重庆校级期中)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是( )
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为45
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为Aeq \\al(4,5)Ceq \\al(1,4)
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为(Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,3))Aeq \\al(3,3)
D．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(3,3)
AD 解析：根据题意，依次分析选项：
对于A，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有45种安排方法，A正确；
对于B，分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有Ceq \\al(2,5)Aeq \\al(4,4)种安排方法，B错误；
对于C，分2步分析：需要先将5人分为3组，有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(C\\al(3,5)C\\al(1,2),A\\al(2,2))＋\f(C\\al(2,5)C\\al(2,3),A\\al(2,2))))种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有Aeq \\al(3,3)种情况，
则有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(C\\al(3,5)C\\al(1,2),A\\al(2,2))＋\f(C\\al(2,5)C\\al(2,3),A\\al(2,2))))Aeq \\al(3,3)种安排方法，C错误；
对于D，分2种情况讨论：①从丙，丁，戊中选出1人开车，②从丙，丁，戊中选出2人开车，则有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(3,3)种安排方法，D正确．故选AD．
12．(多选题)现有3名男生和4名女生，在下列不同条件下进行排列，则( )
A．排成前后两排，前排3人后排4人的排法共有5 400种
B．全体排成一排，甲不站排头也不站排尾的排法共有3 600种
C．全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有576种
D．全体排成一排，男生互不相邻的排法共有1 440种
BCD 解析：根据题意，依次分析选项：
对于A，将7名学生排成前后两排，前排3人后排4人的排法，有Ceq \\al(3,7)Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(4,4)＝5 040种排法，A错误；
对于B，甲不站排头也不站排尾，有5种情况，将剩下的6人全排列，有Aeq \\al(6,6)种排法，则有5×Aeq \\al(6,6)＝3 600种排法，B正确；
对于C，将4名女生看成一个整体，有Aeq \\al(4,4)种排法，将这个整体与3名男生全排列，有Aeq \\al(4,4)种排法，则有Aeq \\al(4,4)×Aeq \\al(4,4)＝576种排法，C正确；
对于D，先排4名女生，有Aeq \\al(4,4)种排法，排好后有5个空位，在5个人空位中任选3个，安排3名男生，有Aeq \\al(3,5)种排法，则有Aeq \\al(4,4)×Aeq \\al(3,5)＝1 440种排法，D正确．
13．(2021·湖南模拟)某公司销售六种不同型号的新能源电动汽车A，B，C，D，E，F．为了让顾客选出自己心仪的电动汽车，把它们按顺序排成一排，A必须安排在前两个位置，B，C不相邻，则不同的排法有( )
A．144种 B．156种
C．160种 D．178 种
B 解析：根据题意，分2种情况讨论：
①A排在第一位，先将D，E，F排好，再将B，C安排在空位中，有Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,4)＝72种排法．
②A排在第二位，
若B或C中有1个排在第一位，有Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(4,4)＝48种排法；
若D，E，F中有1个排在第一位，有Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,3)＝36种排法，
则此时有48＋36＝84种排法．
则共有72＋84＝156种排法．
14．(2022·杭州模拟)某省派出由4名医生、5名护士组成的医疗小组前往疫区支援，要求将这9名医护人员平均派往某地的A，B，C3家医院，且每家医院至少要分到一名医生和一名护士，则不同的分配方案有________种．(用数字作答)
1 080 解析：由题意可知，4名医生要分配到3家医院，且每家医院至少有一名医生，则必有一家医院有2名医生，其余2家医院各有1名医生．
假设A医院分配的是2名医生1名护士，则B，C医院均分配1名医生2名护士，则分配方案有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,4)＝360(种)，故不同的分配方案有360×3＝1 080(种)．
15．学校拟安排6位老师在今年6月12日至14日端午值班，每天安排2人，每人值班1天；若6位老师中的甲不值12日，乙不值14日且甲、乙不在同一天值班，则不同的安排方法共有________种．
36 解析：根据题意，分2步进行分析：
①将6人分为3组，要求甲、乙不在同一组，有eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(3,3))－eq \f(C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(2,2))＝12种分组方法．
②若甲所在的组在14日值班，有Aeq \\al(2,2)＝2种安排方法；
若甲所在的组在13日值班，则乙所在的组必须在12日值班，有1种安排方法．
则有3种值班安排方法．
故共有12×3＝36种安排方法．
16．现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学(要求用数字作答)．
(1)若5本书完全相同，求共有多少种分法；
(2)若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，求共有多少种分法；
(3)若5本书仅有两本相同，按一人3本另两人各1本分配，求共有多少种分法．
解：(1)根据题意，5本书完全相同，
将这5本书和2个挡板排成一排，利用挡板将5本书分为3组，对应3位同学即可，
则有Ceq \\al(2,7)＝21(种)不同的分法．
(2)根据题意，分2步进行分析：
①将5本书分成3组，
若分成1,1,3的三组，有eq \f(C\\al(3,5)C\\al(1,2)C\\al(1,1),A\\al(2,2))＝10(种)分组方法．
若分成1,2,2的三组，有eq \f(C\\al(1,5)C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(2,2))＝15(种)分组方法，
从而分组方法有10＋15＝25(种)．
②将分好的三组全排列，对应3名学生，有Aeq \\al(3,3)＝6(种)情况，
根据分步乘法计数原理，故共有25×6＝150(种)分法．
(3)记这5本书分别为A，A，B，C，D,5本书取其3本分配时，
①不含A时仅有一种分组，再分配给3人，有3种方法；
②仅含一个A时，分组的方法有Ceq \\al(2,3)种，再分配给3人，共有Ceq \\al(2,3)×Aeq \\al(3,3)＝18(种)方法；
③含两个A时，分组的方法有Ceq \\al(1,3)种，再分配给3人，共有Ceq \\al(1,3)×Aeq \\al(3,3)＝18(种)方法．
从而共有18＋18＋3＝39(种)分法．
17．已知从1,3,5,7,9中任取两个数，从0,2,4,6,8中任取两个数，组成没有重复的数字的四位数．
(1)可以组成多少个不含有数字0的四位数？
(2)可以组成多少个四位偶数？
(3)可以组成多少个两个奇数数字相邻的四位数？(所有结果均用数值表示)
解：(1)从1,3,5,7,9任取两个数，从2,4,6,8中任取两个数，
组成Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(4,4)＝10×6×24＝1 440(个)不含有数字0的四位数．
(2)当0在末位时，共有Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(1,4)Aeq \\al(3,3)＝10×4×6＝240(个)四位偶数，
当末位为2,4,6,8(且0不在首位)，共有4Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(1,4)Aeq \\al(3,3)－4Aeq \\al(2,5)＝880(个)四位偶数，
则可以组成240＋880＝1 120(个)四位偶数．
(3)当0在首位时，有Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(1,4)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,2)＝160(种)，
则两个奇数数字相邻的四位数共有Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,5)Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,2)－160＝1 040(个)．