高考数学一轮复习课时质量评价33空间点、直线、平面之间的位置关系含答案

课时质量评价(三十三)

A组　全考点巩固练

1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为(　　)

A．4　　　　　　　   B．3 

C．2   D．1

A　解析：首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．

2．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

A　解析：若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行，异面或相交．故选A．

3．(2022·威海模拟)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是(　　)

A．直线AA1   B．直线A1B1

C．直线A1D1   D．直线B1C1

D　解析：通过图象易知：直线AA1、直线A1B1、直线A1D1与直线EF不在同一平面内，直线B1C1与EF在同一平面内且不平行，故直线B1C1与EF相交．故选D．

4．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)

A．l1⊥l4 

B．l1∥l4

C．l1与l4既不垂直也不平行

D．l1与l4的位置关系不确定

D　解析：构造如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A，B，C．故选D．

5．空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是(　　)

A．平行

B．异面

C．相交或平行

D．平行或异面或相交均有可能

D　解析：如图，可知AB，CD有相交、平行、异面三种情况．故选D．

6．已知ABCD­A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F，G分别为AA1，D1C1，BC的中点，过E，F，G的平面截正方体的截面面积为(　　)

A．   B． 

C．3   D．3

C　解析：如图，分析正方体结构可以得知，该截面为一个边长为的正六边形，此正六边形分成6个全等的三角形，所以其面积为6××××＝3．故选C．

7．在三棱锥S­ABC中，G1，G2分别是△SAB和△SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是________．

平行　解析：如图所示，连接SG1并延长交AB于M，连接SG2并延长交AC于N，连接MN．

由题意知SM为△SAB的中线，且SG1＝SM，SN为△SAC的中线，且SG2＝SN，所以在△SMN中，＝，所以G1G2∥MN，易知MN是△ABC的中位线，所以MN∥BC，所以G1G2∥BC．

8．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．

　解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD．

因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1D⊥AD．因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为．

9．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2．求：

(1)三棱锥P­ABC的体积；

(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．

解：(1)S△ABC＝×2×2＝2，三棱锥P­ABC的体积为V＝S△ABC·PA＝×2×2＝．

(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，

所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角)．

在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，

cos∠ADE＝＝＝．

故异面直线BC与AD所成角的余弦值为．

B组　新高考培优练

10．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(　　)

A．30°   B．45° 

C．60°   D．90°

C　解析：如图，延长CA到点D，使得AD＝AC，连接DA1，BD，则四边形ADA1C1为平行四边形，所以∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角．又A1D＝A1B＝DB，所以△A1DB为等边三角形，所以∠DA1B＝60°．故选C．

11．(多选题)在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，AA1＝3，则(　　)

A．异面直线A1B与B1D1所成角的余弦值为

B．异面直线A1B与B1D1所成角的余弦值为

C．A1B∥平面B1D1C

D．点B1到平面A1BD1的距离为

ACD　解析：因为A1B∥D1C，所以∠B1D1C或其补角即为异面直线A1B与B1D1所成角．又因为B1D1＝4，D1C＝5，B1C＝5，所以cos∠B1D1C＝＝，故A正确，B错误．因为A1B∥D1C，A1B⊄平面B1D1C，D1C⊂平面B1D1C，所以A1B∥平面B1D1C，故C正确．设点B1到平面A1BD1的距离为h．因为VB­A1B1D1＝VB1­A1BD1，即×A1B1·A1D1·B1B＝×A1B·A1D1·h，解得h＝，故D正确．故选ACD．

12．(多选题)如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为PA，PD的中点．在此几何体中，给出下列结论，其中正确的是(　　)

A．直线BE与直线CF异面

B．直线BE与直线AF异面

C．直线EF∥平面PBC

D．平面BCE⊥平面PAD

BC　解析：将平面展开图还原成直观图如图所示．

因为E，F分别为PA，PD的中点，所以EF∥AD．又四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，所以EF∥BC，所以B，C，F，E四点共面．所以直线BE与直线CF共面，不是异面直线，故A错误．因为E∈平面PAD，AF⊂平面PAD，点E不在直线AF上，B∉平面PAD，所以直线BE与直线AF为异面直线，故B正确．因为EF∥BC，BC⊂平面PBC，EF⊄平面PBC，所以EF∥平面PBC，故C正确．假设平面BCE⊥平面PAD，即平面BCFE⊥平面PAD，又平面BCFE∩平面PAD＝EF，作PM⊥EF，垂足为M，可得PM⊥平面BCE，但由题中条件无法证得PM⊥平面BCE，故假设不成立，故D错误．

13．如图所示，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于点K．给出以下说法：

①直线MN⊂平面PQR；

②点K在直线MN上；

③M，N，K，A四点共面．

其中说法正确的是________．

①②③　解析：由题意知，M∈PQ，N∈RQ，K∈RP，从而点M，N，K∈平面PQR．所以直线MN⊂平面PQR，故①正确．同理可得点M，N，K∈平面BCD．从而点M，N，K在平面PQR与平面BCD的交线上，即点K在直线MN上，故②正确．因为A∉直线MN，从而点M，N，K，A四点共面，故③正确．

14．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在线段A1B上运动，则异面直线DP与CB1所成角的取值范围是________．

　解析：连接DA1，DB(图略)，则CB1∥DA1，所以∠A1DP(或其补角)为异面直线DP与CB1所成的角，点P与B重合时，∠A1DP最大，为；当点P与A1无限接近时，∠A1DP趋近于零，故异面直线DP与CB1所成角的取值范围是．

15．如图，在侧棱长为3的正三棱锥A­BCD中，每个侧面都是等腰直角三角形，在该三棱锥的表面上有一个动点P，且点P到点B的距离始终等于2，求动点P在三棱锥表面形成的曲线的长度．

解：设动点P在三棱锥表面形成的曲线是EFGH，如图所示，

则BE＝BH＝2．在直角三角形BAH中，cos∠HBA＝＝，

所以∠HBA＝，∠HBG＝－＝，

所以＝2×＝π，同理＝π．

在直角三角形HAE中，∠HAE＝，AH＝AE＝＝，

所以＝×＝．

在等边三角形BCD中，∠CBD＝，

所以＝2×＝．

则所求曲线的长度为π＋π＋π＋π＝π．

16．如图，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝2AD＝2CD＝2，点E是PB的中点．

(1)线段PA上是否存在一点G，使得点D，C，E，G共面？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．

(2)若PC＝2，求三棱锥P­ACE的体积．

(1)证明：存在PA的中点G满足条件．

连接GE，GD，则GE是三角形PAB的中位线，所以GE∥AB．

又由已知AB∥DC，所以GE∥DC，所以G，E，C，D四点共面．

(2)解：因为E是PB的中点，所以VP­ACE＝VB­ACE＝VP­ACB．＝VC­PAB．

由题易知AC⊥BC，所以S△ABC＝AC·BC＝××＝1，VP­ACB＝PC·S△ABC＝，

所以VP­ACE＝．