河南省豫北名校2023届高三下学期全真模拟考试文科数学试卷及答案

河南省豫北名校2023届高三下学期全真模拟考试

文科数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若z=1+i，则|z2–2z|=（    ）

A. 0 B. 1 C.  D. 2

2. 已知集合，则

A.   B. C. D.

3. 设为等差数列的前项和，若，，则

A.  B.  C.  D.

4. 已知向量满足，则（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

5. 设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　)

A.  B.  C.  D.

6. 已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（    ）

A. 2 B. 3 C. 6 D. 9

7. 关于的不等式的解集为，则的取值范围为 （    ）

A．    B．    C．    D．

8. 若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（   ）

A．  B．  C． D．

9. 在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 在正方体中，E，F分别为的中点，则（    ）

A. 平面平面 B. 平面平面

C. 平面平面 D. 平面平面

11. 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 关于函数有下述四个结论：

①f(x)是偶函数        ②f(x)在区间（,）单调递增

③f(x)在有4个零点    ④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是

A. ①②④ B. ②④ C. ①④ D. ①③

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为   

14. 若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为______________.

15. 设为单位向量，且，则______________.

16. 已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．

（1）求A；（2）若，求sinC．

18. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．

（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；

（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积.

19. 2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．

（1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？

（2）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为．享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．

（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．

20. 设椭圆右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.

（1）当与轴垂直时，求直线的方程；

（2）设为坐标原点，证明：.

21. 已知函数.

（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；

（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线的切线.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）求C上的点到l距离的最小值．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23. 已知函数．

（1）当时，求不等式的解集;

（2）若，求a的取值范围．

高三文科数学答案

1. 【答案】D

2. 【答案】B

3. 【答案】B

4. 【答案】C

5. 【答案】D

6. 【答案】C

7. 【答案】D

8. 【答案】D

9. 【答案】B

10. 【答案】A

11. 【答案】C

12. 【答案】C

13. 【解析】因为数据的方差是数据的方差的倍，所以所求数据方差为

14. 【答案】1

【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

目标函数即：，

其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，

联立直线方程：，可得点A的坐标为：，

据此可知目标函数的最大值为：.故答案为：1．

15. 【答案】

【详解】因为为单位向量，所以

所以

解得：

所以

故答案为：

16. 【答案】2

【详解】联立，解得，所以.

依题可得，，，即，变形得，,

因此，双曲线的离心率为.

故答案为：．

三、解答题：

17. 【答案】（1）；（2）.

【详解】（1），

即：，

由正弦定理可得：，

，

，.

（2）由（1）知，，所以由，

得，

整理得，即．

又，所以，即，

则．

18. 【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）为圆锥顶点，为底面圆心，平面，

在上，，

是圆内接正三角形，，，

，即，

平面平面，平面平面；

（2）设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为，

，解得，，

在等腰直角三角形中，，

在中，，

三棱锥的体积为.

19. 【答案】（1）应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人；（2）（i）见解析，（ii）．

【解析】（1）由已知，老、中、青员工人数之比为，

由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，

因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．

（2）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为

，共15种．

（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为

，共11种．所以，事件M发生的概率．

20. 【答案】（1）的方程为或；（2）证明见解析.

【详解】（1）由已知得，方程为.

由已知可得，点的坐标为或.

所以的方程为或.

（2）当与轴重合时，.

当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以.

当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，，

则，直线、的斜率之和为.

由得.

将代入得.

所以，.

则.

从而，故、的倾斜角互补，所以.

综上，.

21. 【答案】（1）函数在和上是单调增函数，证明见解析；

（2）证明见解析.

【详解】（1）函数的定义域为，

，因为函数的定义域为，所以，因此函数在和上是单调增函数；

当，时，，而，显然当，函数有零点，而函数在上单调递增，故当时，函数有唯一的零点；

当时，，

因为，所以函数在必有一零点，而函数在上是单调递增，故当时，函数有唯一的零点

综上所述，函数的定义域内有2个零点；

（2）设在点处的斜率为．

切线的方程为，即．

由，得．

所以曲线上斜率为的切线的切点为．

切线的方程为，即．

由于，故曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线的切线.

（二）选考题：

22. 【答案】（1）；；（2）

【详解】（1）由得：，又

整理可得的直角坐标方程为：

又，

的直角坐标方程为：

（2）设上点的坐标为：

则上的点到直线的距离

当时，取最小值

则

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23. 【答案】（1）.（2）.

【详解】（1）

  当时，．

当时，，解得；

当时，，无解；

当时，，解得．

综上，的解集为．

（2）依题意，即恒成立，

，

当且仅当时取等号，

,

故，

所以或，

解得.

所以的取值范围是.