四川省成都列五中学2022-2023学年高二下学期阶段性考试（三）数学（理科）试题及答案

四川省成都列五中学2022-2023学年高二下学期阶段性考试（三）

数学（理科）试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，请把答案直接填涂在答题卷上）

1.已知集合，若，则(   )

A．         B．                C．            D．

2.复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点在(   )

A．第一象限      B．第二象限          C．第三象限         D．第四象限

3.圆的圆心的极坐标是(   )

A．        B．           C．            D．

4.“”是“”的(    )

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件  C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

5.设m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

6.霍兰德职业能力测试问卷可以为大学生在择业方面提供参考,对人的能力兴趣等方面进行评估.某大学随机抽取100名学生进行霍兰德职业能力测试问卷测试,测试结果发现这100名学生的得分都在内,按得分分成5组：,,,,,得到如图所示的频率分布直方图,则这100名同学得分的中位数为(    )

A． B．75 C． D．80

7.用数学归纳法证明（，n为正整数）的过程中，从递推到时，不等式左边需添加的项为(    )

A．   B．    C．   D．

8.函数的图象大致为(   )

A． B．

C． D．

9.已知集合表示的平面区是域为,若在区域内任取一点,则点的坐标满足不等式的概率为(   )

A．         B．        C．          D．

10.设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为(   )

A．      B．   C．     D．

11.已知三棱锥的各顶点都在同一个球面上，且平面若该棱锥的体积为且则此球的表面积等于(   )

A．         B．          C．           D．

12.已知函数在上是减函数，则a的取值范围为(   )

A．          B．        C．         D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卷上.）

13.已知两个空间向量，，且，则实数m的值为__________．

14.成都某学校高中部学生中，高一年级有700人，高二年级有500人，高三年级有300人，为了了解该校高中学生的健康状况，用分层抽样的方法从高中学生中抽取一个容量为的样本，已知从高三年级学生中抽取15人，则为__________．

15.抛物线的焦点为准线为直线与交于两点，线段的垂直平分线交轴于点过线段的中点作垂直为为坐标原点，则__________．

16.已知恰有三个不同的零点，则的范围为__________．

三、解答题（本大题共 6小题，第17—21题各12分，第22题10 分，共 70 分.请把答案写在题卡上.)

17．（本小题满分12分）

设是函数的一个极值点，曲线在处的切线斜率为8.

(1)求的单调区间；

(2)若在闭区间上的最大值为10，求的值.

18．（本小题满分12分）

某地区2014年至2020年农村居民家庭纯收入y（单位：万元）的数据如下表：

（1）求y关于t的线性回归方程；

（2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2022年农村居民家庭人均纯收入.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面  分别是中点，点在棱上移动.

(1)证明：无论点在上如何移动，都有平面平面；

(2)当直线与平面所成的角最大时，确定点的位置.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆长轴两个端点间的距离与两个焦点之间的距离的差为，且椭圆的离心率为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点作直线l交C于P､Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由.

21.（本小题满分12分）

已知函数，.

(1)当时，讨论f（x）的单调性；

(2)若时，都有，求实数a的取值范围；

(3)若有不相等的两个正实数满足，证明：.

22.（本小题满分10分）

在直角坐标系中，直线（为参数），以原点为极点，轴为正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(1)求曲线的直角坐标方程；

(2)点，直线与曲线交于，，求的值.

成都列五中学2022-2023（下）阶段（三）数学（理）参考答案

一、选择题：

1-5   BBBAC             6-10  ACADC                   11-12  D B

12.【详解】由题在上恒成立，即在上恒成立；设，则有；令，得，即.由于在上是增函数，则存在，使得，即，此时.由于当时，，在上是减函数；当时，，在上是增函数，所以当时，，则有，故，

故选：B.

二、填空题：

13.  -2                14.    75             15.   2                16.

16. 【详解】令，变形得：，

令，得，，故，

当，，在上单调递增；

当，，在上单调递减，

且，故在时有最大值.

当有唯一根或无解时，原方程最多两解，不符题意；

当有两根时，或，规定，要使原方程有三个解，则直线

，与的交点恰有三个，

即转化为的两根，，

则，解得.   故答案为：.

三、解答题：

17.解（1），由已知得，得，解得．

于是，

由，得或，由，得，

可知是函数的极大值点，符合题意，

所以的单调递增区间是和，单调递减区间是. ┄┄┄┄┄┄（6分）

（2）由（1）知，

因为在区间上是单调递减函数，在上是单调递增函数，

又，

所以的最大值为，解得. ┄┄┄┄┄┄（12分）

19.解：（1）证明：连接，底面为菱形，为正三角形，

是的中点，，又，

平面平面，

平面平面，

平面平面平面.                            ┄┄┄┄┄┄（5分）

（2）由（1）知，两两垂直，故以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，┄┄┄┄┄┄（7分）

.

设，则. ┄┄┄┄┄┄（8分）

设平面的法向量为，则

令，则.                  

┄┄┄┄┄┄（10分）

设直线与平面所成角为，则

当时，取最大值，此时为的中点.                     ┄┄┄┄┄┄（12分）

20.解：（1）由题意得：，解得，又，

所以椭圆C的方程为：                           ┄┄┄┄┄┄（4分）

（2）当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：，，

联立直线与曲线方程，整理得：，

则，， ┄┄┄┄┄┄（6分）

假设存在定点，使得为定值，

则

   ┄┄┄┄┄┄（8分）

=.

当且仅当，即时，(为定值)，这时，┄┄┄┄（10分）

当直线l与x轴重合时，此时，，，，，当时，(为定值)，满足题意.┄┄┄┄┄┄（12分）

所以存在定点使得对于经过点的任意一条直线l均有.

21.解（1）因为，定义域为，.

①当时，令，解得

即当时，，单调递增，当时，，单调递减；

②当时，在单调递增；

综上：当时，在单调递增，在单调递减；

当时，在单调递增.                                    ┄┄┄┄┄┄（3分）

（2）若时，都有，即，恒成立.

令，则，，

令，所以，

当时，，单调递增，，

所以，在单调递减，所以=，所以┄┄┄（7分）

（3）原式可整理为，

令，原式为，

由（1）知，在单调递增，在单调递减，且时，；

时，；

则为两根，其中，不妨令，

要证，即证，即证，只需证，

令，，则，

令，则，，单调递增，，，单调递减.

又，故，所以恒成立，

即成立，所以，原式得证.┄┄┄┄┄┄（12分）

22.解：（1）∵曲线的极坐标方程为，

即.

∴曲线的直角坐标方程为，即.………...5分

（2）将直线（为参数），

法一：，所以，设方程两根为，

则，，由直线参数的几何意义知，

所以=..………...10分

法二：令转换为：（为参数），代入曲线，

得到：，

所以，（和为和对应的参数），

则.故的值为.