2023年7月浙江省普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷03

2023年7月浙江省普通高中学业水平合格性考试

数学仿真模拟试卷03

（考试时间：80分钟；满分：100分）

一、选择题(本大题共12小题，每题3分，共36分，每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）

1.  设集合，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

D 

【解析】

【分析】

本题主要考查集合的交集、并集运算，比较基础．
根据集合的基本运算即可求，再求．

【解答】

解：集合，，
则，
，
；
故选：．

2.  已知命题，则是(    )

A.  B.
C.  D.

【答案】

C 

【解析】

【分析】

本题考查全称量词命题与存在量词命题的否定，属于基础题．
根据全称量词命题的否定直接求解即可．

【解答】

解：全称量词命题的否定是存在量词命题．
因为命题  ，所以  是  ．

故选C．

3.  方程的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

A 

【解析】

【分析】

本题主要考查对数方程的求解，属于基础题．
把左右两边化为同底数的指数式计算即可．

【解答】

解：，化简得可得解得，
方程的解集为．
故选A．

4.  函数的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

【答案】

A 

【解析】

【分析】

解：易知在区间上，
当时，，即
当时，，即
当时，，即．
又当时，，
据此可知只有选项符合条件．

【解答】

本题考查函数图象的识别，属中档题．
根据分析在的不同区间子集上与的大小可得函数值的正负，结合时的函数值的正负排除三个错误选项即可得解．

5.  在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

B 

【解析】

【分析】

本题考查异面直线所成角，余弦定理的应用．
连接，则异面直线与所成角为或其补角，设，在中由余弦定理求解即可．

【解答】

解：连接，显然，所以异面直线与所成角为或其补角，

不妨设，因为，
所以，，得，
又因为，所以，，
因为，，
由勾股定理可知，在中由余弦定理得，
所以异面直线与所成角的余弦值为．

故选：．

6.  “”是“函数的最小值大于”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】

C 

【解析】

【分析】

本题考查充分、必要、充要条件的判断，由基本不等式求取值范围，属于基础题．
先利用基本不等式求出的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断，即可得到答案．

【解答】

解：若，，，当且仅当时取等号，，充分性成立；
若的最小值大于，
当时，易知函数在上单调递增，则函数无最小值，
当时，，，，必要性成立．
所以“”是“函数的最小值大于”的充要条件．
故本题选C．

7.  若，则下列结论中不恒成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

D 

【解析】

【分析】

本题主要考查不等式的基本性质，还考查了理解辨析的能力．
将，转化为，利用不等式的基本性质判断，的正误，利用完全平方公式判断的正误，利用特殊值判断的正误．

【解答】

解：因为，所以所以，即，故A，B正确．

因为，所以，又，所以故C正确．

当时，，故D错误．

故选：

8.  将函数的图像向右平移，再将横坐标上所有的点伸长为原来的倍，再向上平移个单位，得到函数，则的函数解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

【答案】

C 

【解析】

【分析】

本题考查函数图象变换，考查函数的解析式，属于基础题．
由图象变换法则求解即可．

【解答】

解：函数的图像向右平移，得到的函数解析式为，
再将横坐标上所有的点拉伸为原来的倍，得到的解析式为，
故．

9.  设函数是单调递增的一次函数，满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

D 

【解析】

【分析】

设，，代入条件，由恒等式的性质可得方程，解方程可得的解析式．
本题考查函数的解析式的求法，注意运用待定系数法，是一道基础题．

【解答】

解：是单调递增的一次函数，
设，，
，
，，
解得，或，不合题意舍去，
；
故选：．

10.  若实数，满足，则的最大值是．(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

B 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式求最值，属于中档题．
由题可以得出，同号，利用基本不等式即可求解．

【解答】

解：因为实数，满足，为使取得最大值，必有，同号，
因为，当且仅当，即，或时，等号成立，所以，
因此的最大值为．
故选：．

11.  为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

B 

【解析】

【分析】

本题考查解三角形，数形结合思想，考查学生的计算能力，属于中档题．
通过所给条件依次求出，，再由余弦定理可求得．

【解答】

解：由题得，在中，，则，
在中，，
则在中，由余弦定理可得，
则．
故选：．

12.  若函数的零点所在的区间为，则整数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】

C 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数零点存在区间的判断，根据函数的单调性以及函数零点的判断条件是解决本题的关键．
根据题意，分析函数的定义域，由函数零点的判定定理即可得到结论．

【解答】

解：函数的定义域为，且函数单调递增，
，，
在内函数存在零点，，
故选：．

二、多选题(本大题共4小题，每题4分，共16分，每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对得2分，有错选的得0分）

13.  已知关于的不等式的解集为，则(    )

A.
B.
C.
D. 不等式的解集为

【答案】

BCD 

【解析】

【分析】

本题考查二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系，解一元二次不等式，属于中档题．
利用二次不等式的解集的性质可得，且是方程的两个不等实根，再利用根与系数的关系，依次判断选项即可得解．

【解答】

解：对于，因为不等式的解集为，
所以，且是方程的两个不等实根，
所以，又，
所以，故A错误，B正确；

对于，令，满足，则可化为，故C正确；

对于，由选项AB分析可得，即，又，

所以可化为，又，
所以，解得，

则的解集为，故D正确．

故选：．

14.  某小区为了让居民了解更多垃圾分类的知识，对名小区居民进行了培训，并进行了培训结果测试，从中随机抽取名居民的成绩单位：分，按照分成组，并制成了如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是(    )

A. 所抽取的名居民成绩的平均数约为
B. 所抽取的名居民成绩的中位数约为
C. 名居民成绩的众数约为，
D. 参加培训的居民中约有人的成绩不低于分

【答案】

AD 

【解析】

【分析】

本题主要考查频率分布直方图，考查平均数、中位数、众数，属于基础题．
对四个选项逐个判断，结合频率分布直方图即可得解．

【解答】

解：由频率分布直方图可得，
成绩在内的频率为，
则，
故可估计所抽取的名居民成绩的平均数为
，
所以A正确；
由频率分布直方图可知，成绩在内的频率为，
成绩在内的频率为，成绩在内的频率为，
所以中位数在内，
设中位数约为，
则．
解得，
所以所求中位数约为，
所以B错误；
最高矩形是第二个、第三个从左往右数，
这两个最高矩形数据的中间值为，
所以所求众数约为．
所以C错误．
由频率分布直方图可得成绩在内的频率为，
则成绩在内的频率为，
又成绩在内的频率为，
所以参加培训的居民中成绩不低于分的约有 人．
故D正确．
故选AD．

15.  已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是(    )

A. 若，，则直线平行于平面内的无数条直线
B. 若，，则
C. 若，，，则与是异面直线
D. 若，，则，一定相交

【答案】

AB 

【解析】

【分析】

本题考查了空间直线与直线的位置关系和面面平行的性质，属于基础题．
根据相关知识，对各个选项逐一验证即可得出答案．

【解答】

解：对于，由已知在内有无数条直线和平行，根据平行公理直线平行于平面内的无数条直线，故正确；
对于，若，，根据面面平行的性质可以得出，故正确；
对于，若，，，则与是异面直线或是平行，故错误；
对于，若，，则，，可能相交或平行，故错误．
故选AB．

16.  已知函数，则下列说法正确的是(    )

A. 是的一个对称中心
B. 把图像向右平移个单位后得到的函数图像是关于轴对称的
C. 函数在时的值域为
D. 不等式的解集是

【答案】

BC 

【解析】

【分析】

本题考查函数的图象和性质，属于中档题．
先化简函数解析式，然后根据正弦型函数的性质逐项进行分析即可求解．

【解答】

解：首先结合三角恒等变换化简函数解析式为，
当时，，此时函数值是，故函数的一个对称中心应是，故A不正确；
根据图象的平移变换规律，可知函数图像向右平移个单位后得到的函数解析式为
，显然该函数为偶函数，故B正确；
当时，函数值域为，故C正确；
不等式即，其解集为，故D不正确．
故选：．

三、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分）

17.  已知是虚数单位，则复数的实部是    ，    ．

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查复数的乘法的运算法则以及复数的基本概念的应用，属于基础题．
利用复数的乘法的运算法则，化简求解即可．

【解答】

解：复数，
所以复数的实部是．
 

故答案为：．

18.  已知平面向量，若，则          ．

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的坐标运算，向量垂直，以及向量的数量积，属于基础题．
由平面向量的坐标运算得到，再由可得关于的方程，即可得解．

【解答】

解：因为向量，
所以，
若，
所以，解得．
故答案为：．

19.  已知甲运动员的投篮命中率是，乙运动员的投篮命中率是，若甲、乙各投篮一次，则下列命题中正确的有          都命中的概率是      恰有一人命中的概率是
恰有一人没命中的概率是至少一人命中的概率是

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查命题真假的判断，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力．
利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式直接求解．

【解答】

解：甲运动员的投篮命中率是，乙运动员的投篮命中率是，甲、乙各投篮一次，
对于，都命中的概率为，故正确；
对于，恰有一人命中的概率是，故正确；
对于，恰有一人没命中的概率是，故错误；
对于，至少一人命中的概率是，故正确．
故答案为

20.  如下图，在三棱锥中，，，分别是，，的中点，，分别是，的中点，设三棱柱的体积为，三棱锥的体积为，则：          ．
 

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查两个几何体的体积的比值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
设三棱柱的高为，则三棱锥的高为，推导出，，由此能求出的值．

【解答】

解：设三棱柱的高为，则三棱锥的高为，
由题意知：，
，又，
，
．
故答案为．

四、解答题（本大题共3小题，共33分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.  本小题分

函数在一个周期内的图象如图所示．

求函数解析式；

求的单调递增区间；

当时，求的最大值和最小值．

【答案】

解：由图象知，，，即．

由图象过点，代入函数，

即，因为，则，

所以；

令，，

解得，，

故函数的单调递增区间为，；

因为，所以，则

当时，即时，取最大值，最大值为，

当时，即时，取最小值，最小值为，

所以的最大值为，最小值为．

【解析】本题主要考查了由部分图象求解三角函数的解析式，以及正弦型函数的性质，属于中档题．
由函数图象的最大值和最小值求，由周期求，再代入特殊点求；

把整体角代入正弦函数的单调递增区间，化简计算求得；

由求出整体角的范围，再求正弦型函数的最大值和最小值．

22.  本小题分

已知函数，且

求实数的值；

判断函数在上的单调性，并用定义证明；

求函数在上的值域．

【答案】

解：  ，，解得．
由得，
函数在上单调递增，
证明如下：设，且，则有
，
，，，，
，即，
函数在上单调递增．
由得函数在上单调递增，
在上单调递增，
又，，
在上的值域是． 

【解析】本题考查函数值的求法、证明函数的单调性、利用单调性求解值域等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
由，能求出实数的值；
设，且，对变形，判断正负，根据单调性的定义判断；
判断函数在上的单调性，能求出值域．
 

23.  本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点．
证明：平面平面；
求与平面所成角的正切值．
 

【答案】

证明：为直三棱柱，
平面，又面面面
由于，面面，面，
面，面，
又在矩形中，，点是的中点，D.
，，面．
面，
面，
面面；
解：过点作交于，

平面平面，面面，面D.
就是与平面所成角．
在中，，，
． 

【解析】本题考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确作出线面角，属于中档题．
先证明面面，由于，可得面，所以，再证明，可得面，从而可得面面；
过点作交于，可证的大小就是与平面所成角的大小，在中，可求与平面所成角的正切值．