广东省华南师范大学附属中学2022-2023学年高三数学三模试卷（Word版附答案）

2023届高三综合测试

数学

2023年5月

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则等于（    ）

A. B. C. D.

2.已知复数满足，则复数对应的点在第（    ）象限

A.一 B.二 C.三 D.四

3.已知向量，，且，则（    ）

A.3 B.4 C.5 D.6

4.在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染1个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长.当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散.接种疫苗是预防病毒感染的有效手段.已知某病毒的基本传染数，若1个感染者在每个传染期会接触到个新人，这人中有个人接种过疫苗（称为接种率），那么1个感染者新的传染人数为，为了有效控制病毒传染（使1个感染者传染人数不超过1），我国疫苗的接种率至少为（    ）

A.75% B.80% C.85% D.90%

5.设为正项等差数列的前项和.若，则的最小值为（    ）

A. B.5 C.9 D.

6.已知，，，则（    ）

A. B. C. D.

7.已知克列尔公式：对任意四面体，其体积和外接球半径满足，其中，，，，，，分别为四面体的三组对棱的长.在四面体中，若，，则该四面体的外接球的表面积为（    ）

A. B. C. D.

8.在平面直角坐标系中，若抛物线：的准线与圆：相切于点，直线与抛物线切于点，点在圆上，则的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.为了建立茶水温度随时间变化的回归模型，小明每隔1分钟测量一次茶水温度，得到若干组数据，，…，（其中，），绘制了如图所示的散点图.小明选择了如下2个回归模型来拟合茶水温度随时间的变化情况，回归模型一：；回归模型二：，下列说法正确的是（    ）

A.茶水温度与时间这两个变量负相关

B.由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，因此模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况

C.若选择回归模型二，利用最小二乘法求得到的图象一定经过点

D.当时，通过回归模型二计算得，用温度计测得实际茶水温度为65.2，则残差为

10.下列命题正确的是（    ）

A.如果一条直线上两点到一个平面的距离相等，那么这个直线与这个平面平行

B.两条平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等

C.如果一个平面内一个锐角的两边，分别平行于另一个平面内一个角的两边，那么这两个平面平行

D.如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直

11.在平面直角坐标系中，双曲线：的下、上焦点分别是，，渐近线方程为，为双曲线上任意一点，平分，且，，则（    ）

A.双曲线的离心率为

B.双曲线的方程为

C.若直线与双曲线的另一个交点为，为的中点，则

D.点到两条渐近线的距离之积为

12.已知有三个不相等的零点，，，且，则下列命题正确的是（    ）

A.存在实数，使得

B.

C.

D.为定值

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数在点处的切线方程为________.

14.甲、乙、丙3所学校每所学校各派出两名同学，现从这六名同学中任取两名，安排到甲、乙、丙3所学校交流。每所学校至多安排一名同学，每名同学只能去一所学校且不能去自己原先的学校，则不同的安排方法有________种.

15.在中，已知，，，，边上两条中线，相交于点，则的余弦值为________.

16.我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，，记范数为奇数的的个数为，则________.（用含的式子表示，）

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

已知函数，.

（1）若函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求的单调增区间；

（2）若函数的图象关于对称，且函数在上单调，求的值.

18.（12分）

已知整数数列是等差数列，数列满足.数列，前项和分别为，，其中.

（1）求数列的通项公式；

（2）用表示不超过的最大整数，求数列的前20项和.

19.（12分）

某地的水果店老板记录了过去50天某类水果的日需求量（单位：箱），整理得到数据如下表所示，已知每箱某类水果的进货价为50元，售价为100元，如果当天卖不完，剩下的水果第二天将在售价的基础上打五折进行特价销售，但特价销售需要运营成本每箱30元.根据以往的经验第二天特价水果都能售馨，并且不影响正价水果的销售.

（1）一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求店长希望每天的某类水果尽量新鲜，又能70%地满足顾客的需求（在100天中，大约有70天可以满足顾客的需求）.请根据频数分布表，估计每天某类水果的进货量箱.（结果保留一位小数）

（2）以这50天记录的日需求量的频率作为日需求量发生的概率，设（1）中所求的值，如果店老板计划每天购进箱或箱的某类水果，请以利润的期望作为决策依据，判断店老板应当购进的箱数.

20.（12分）

如图，四棱锥的底面为正方形，，平面，，分别是线段，的中点，是线段上的一点.

（1）求证：平面平面；

（2）若直线与平面所成角的正弦值为，且点不是线段的中点，求三棱锥体积.

21.（12分）

已知椭圆：的左、右焦点为，，离心率为，为椭圆上的一点，且的内切圆半径最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线：交椭圆于，两点，的角平分线所在的直线与直线交于点，记直线的斜率为，试问是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.

22.（12分）

已知函数，.

（1）讨论零点的个数；

（2）当时，若存在，使得，求证：.

2023届高三综合测试

数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（写成亦可） 14.42

15.  16.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.解：（1），……1分

因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，

所以，则，所以，解得，

所以.………………………………3分

由，，解得

，

因此的单调增区间是，.……………………5分

（2）由，函数的图象关于对称，

所以，，所以，，…………………………7分

由，，则，

又函数在上单调，所以，解得，…………………………9分

由解得，此时.……………………………………10分

18.解：（1）当时，.……………………………………………………1分

又因为，所以.

设，则.………………………………2分

依题意，，………………………………3分

得恒成立……………………………………4分

解得，…………………………………………5分

所以，.……………………………………………………6分

（2）

…………………………①

……………………②

①-②，得……………………9分

即………………………………10分

时，，；

时，，，

所以.…………………………………………12分

19.解：（1）70%地满足顾客需求相当于估计某类水果日销售量的70%分位数.………………1分

由表可知，把50个日需求量的数据从小到大排列，

由，日需求量在24箱以下的天数为，

可知，可以估计日需求量的第70%分位数为，…………………………3分

所以能70%地满足顾客的需求，估计每天应该进货量为24.5箱.…………………………4分

（2）由（1）知，即

设每天的进货量为24箱的利润为，

由题设，每天的进货量为24箱，当天卖完的概率为，当天卖不完剩余的概率，当天卖不完剩余2箱的概率，

若当天卖完元，

若当天卖不完剩余1箱元，

若当天卖不完剩余2箱元，……………………6分

所以元.………………………………7分

设每天的进货量为25箱的利润为，

由题设，每天的进货量为25箱，当天卖完的概率为，当天卖不完剩余1箱的概率，

当天卖不完剩余2箱的概率，当天卖不完剩余3箱的概率，

若当天卖完元，

当天卖不完剩余1箱元，

当天卖不完剩余2箱元，

当天卖不完剩余3箱元，……………………9分

所以元，…………………………10分

由于，

显然每天的进货量25箱的期望利润小于每天的进货量为24箱的期望利润，

所以店老板应当购进24箱.…………………………………………………………12分

20.（1）证明：连接，在正方形中，

又平面，故

而，是平面上的两条相交直线，

所以平面…………………………………………2分

在中，为中位线，故…………………………3分

所以平面.

又平面，

所以平面平面……………………………………5分

（2）以，，所在直线为，，轴建立如图空间直角坐标系，

则，，，，，，，

，，………………………………7分

设平面的一个法向量为，

则，即，

取，……………………………………8分

设，

则

则，

整理得，解得或（舍去），…………………………10分

故，故到平面的距离，

故

因为，所以

又，所以，

又，所以平面，

故到平面的距离为

三棱锥体积为.…………12分

21.解：（1）因为的周长等于为定值，

所以内切圆半径最大时，即的面积最大，此时点为椭圆的上（下）顶点………………1分

可得；……………………………………2分

又因为，，解得，，，……………………3分

所以椭圆的方程为；……………………………………4分

（2）（法一）设点

由条件可知直线的斜率，

设点，，

由得：

所以，（*）………………………………5分

由（*）可得

①…………………………6分

②………………7分

③…………………………8分

由对称性，不妨令点位于第四象限，

设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，

则，，

又在的角平分线所在的直线上，则

可得出……………………………………9分

化简得

即

将①②③式代入上式得：…………………………10分

则，解得，（舍去）……………………11分

故直线方程为，令得点

则，故为定值.………………………………………………12分

【法二】设线

由条件可知直线的斜率，

设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，

直线：，其中

由得

即

整理得…………………………6分

即

令，则，其中，为方程的根

所以，…………………………8分

由对称性，不妨令点位于第四象限，

设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，

则，，

又在的角平分线所在的直线上，则

由得……………………9分

代入整理得，………………………………10分

则

故（舍去）或者……………………………………………………11分

所以直线的方程为，令得点

故，则为定值.………………………………………………12分

22.解：（1）的定义域为.…………………………1分

.………………2分

①时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，故，无零点.…………………………3分

②时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，故，且，时，均有.

当即时，有两个零点；

若即时，有一个零点；

若即时，无零点.…………………………4分

③时，若，则或时，，均单调递增；时，，单调递减.而，，，故有一个零点.

若，则，在上单调递增，且时，，时，，故有一个零点.