江苏省泰州中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题

江苏省泰州中学2022~2023学年度第二学期期中考试

高一数学试题

（考试时间：120分钟  总分：150分）

命题人： 审题人：

一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域。）

1.在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ）

A. B. C.5 D.6

2.已知，则（    ）

A. B. C. D.

3.向量，，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则（    ）

A. B.4 C.2 D.

4.已知、都是锐角，且，，则（    ）

A. B. C.或 D.或

5.设非零向量，满足，，，则在上的投影向量为（    ）

A. B. C. D.

6.中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为37m，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部、鹳雀楼顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（    ）

A.64m B.74m C.52m D.91m

7.已知平面向量，，，对任意实数，都有，成立。若，则的最大值是（    ）

A. B. C. D.

8.在中，内角，，，.若对于任意实数，不等式

恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A. B.

C.  D.

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。请将答案填涂到答题卡相应区域。）

9.下列各式中，值为的是（    ）

A.  B.

C.  D.

10.已知，，其中，为锐角，则以下命题正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

11.在中，，，，则下列结论正确的是（    ）

A.外接圆的面积为 B.若，则

C.的面积有最大值 D.若有一解，则

12.重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为图2的扇形，其中，，动点在上（含端点），连结交扇形的弧于点，且，则下列说法正确的是（    ）

A.若，则 B.

C.  D.

三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.）

13.已知，则______.

14.已知，为非零不共线向量，向量与共线，则______.

15.设，若，则______.

16.在中，角，，的对边分别为，，，若，，点是的重心，且，则______.

四、解答题：（本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（10分）已知向量，.

（1）当时，求的值；

（2）当，，求向量与的夹角.

18.（12分）若，均为锐角，且.

（1）求的值；

（2）若，求的值.

19.（12分）的内角，，的对边分别为，，，.

（1）求角；

（2）若，，求的面积.

20.（12分）设是边长为4的正三角形，点、、四等分线段（如图所示）.

（1）求的值；

（2）为线段上一点，若，求实数的值；

（3）在边的何处时，取得最小值，并求出此最小值.

21.（12分）如图，某小区有一块空地，其中，，，小区物业拟在中间挖一个小池塘，，在边上（，不与，重合，且在，之间），且.

（1）若，求的值；

（2）为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小.设，试确定的值，使得的面积取得最小值，并求出面积的最小值.

22.（12分）如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中线，已知且，.

（1）求边的长度；

（2）求的面积；

（3）点为上一点，，过点的直线与边，（不含端点）分别交于，.若，求的值.

江苏省泰州中学2022~2023学年度第二学期期中考试

高一数学参考答案

一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）

三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.）

13.. 14.. 15.. 16.或

四、解答题：（本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.解：（1）∵，，∴，

∵，∴，∴，解得或.

（2），，则，

∵，∴，解得，∴，，

∵，∴，∵，∴.

18.解：（1），均为锐角，且，所以；

所以，故；

（2）由于，均为锐角，所以，

由于，所以；

19.解：（1）因为，

所以由正弦定理可得，，

整理得，

因为，所以，又，所以；

（2）因为，所以，即，解得，

所以的面积为.

20.解：（1）∵是边长为4的正三角形，点、、四等分线段，

∴

；

（2）设，；

（3）设，，

∴，又，

∴当时，即在处时，取得最小值.（本题也可以建系来解题）

21.解：（1）由题意可得，

设，则，，

在中，由余弦定理，

则，即，

由正弦定理可得，可得，

即，，可得，

在中，，

，由正弦定理，

可得，

故.故的值；

（2）设，则，，

由正弦定理，可得，

在中，由正弦定理，可得，

故的面积

∵，∴，∴，

∴，当且仅当，即时，等号成立，故面积的最小值.

22.解：（1）由已知条件可知：，

在中，由正弦定理，得，

在中，由余弦定理，得，

∴，又∵，∴.

（2）设，∵为边上中线∴，

则，

，①

∴，∴，∴或，

由①，得，∴，∴，∴，∴.

（3）设，，，.则可以证明

又，经过化简得到解得，，

∴，，∴.