2022-2023学年湖北省黄冈市浠水县第一中学高二下学期5月质量检测数学试题含解析

2022-2023学年湖北省黄冈市浠水县第一中学高二下学期5月质量检测数学试题

一、单选题

1．已知，则（    ）

A．1 B．3 C．6 D．9

【答案】D

【分析】利用导数的定义式以及极限的性质可求答案.

【详解】.

故选：D.

2．设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】由正态分布密度函数的概念即得.

【详解】由正态分布密度函数表达式知，.

故选：D.

3．设随机变量的概率分布列为：

则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据对立事件的概率公式求解即可.

【详解】依题意，，即事件的对立事件是的事件，

所以.

故选：C

4．年小李夫妇开设了一家包子店，经统计，发现每天包子的销量单位：个，估计天内每天包子的销量约在到个的天数大约为（    ）

附：若随机变量，则，，

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用正态分布三段区间概率估计公式计算即可.

【详解】由题意可知，，，

则，

，

，

则天内每天包子的销量约在到个的天数大约为．

故选：．

5．2023年4月12日湖北省运会在宜昌奥体中心开幕，在观看湖北省运会的同时，也有很多游客慕名来宜昌旅游，甲乙两名游客准备分别从三峡大坝、三峡人家、三峡大瀑布和清江画廊四个5A景区中随机选择一个游玩，记事件A：甲和乙至少一人选择三峡大坝景区，事件：甲和乙选择的景点不同，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由条件概率公式计算即可.

【详解】解：，，

，

故选：A.

6．在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数.小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码.如果排列时要求2不排第一个，两个8相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为（    ）

A．30 B．32 C．36 D．48

【答案】C

【分析】由题意，设置的密码可分为8排第一位和8不排第一位两类，结合插空法、捆绑法和分类计数原理计算即可求解.

【详解】由题意，设置的密码可分为8排第一位和8不排第一位两类：

若8排第一位，则两个8占第一、二位，

再从四个位置中选两个位置给2，最后排7和1，共种；

若8不排第一位，则7或者1排第一位，

两个8捆绑，与两个2，以及7和1剩的数排列，共种，

所以设置的不同密码个数共36种，

故选：C.

7．泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛的应用，泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值．当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中．一般地，当而时，泊松分布可作为二项分布的近似．若随机变量，的近似值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题可得，代入公式用对立事件的概率和为1计算即可.

【详解】由题， ，，泊松分布可作为二项分布的近似，

此时，

所以，

所以，，

则.

故选：B

8．设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据的结构特征构造函数，并判断其单调性，结合可得的解集，即可求得答案.

【详解】设，则,

∵，∴,

而,故,

∴在R上单调递增，

又，故，

∴的解集为，

即不等式的解集为，

故选：B

【点睛】方法点睛：像此类给出一个关于导数的不等式的问题，要能根据所给不等式的结构特征，构造恰当的函数，从而利用其单调性求得答案.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．对于独立性检验，随机变量χ2的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小

B．在线性回归分析中，相关系数r的绝对值越接近于1，说明回归方程拟合的效果越好

C．随机变量，若，则

D．用拟合一组数据时，经代换后得到的回归直线方程为，则

【答案】BD

【分析】由随机变量χ2、相关系数r的实际意义判断A、B；根据二项分布期望、方差公式列方程求n判断C；由，结合回归直线方程即可求参数判断D.

【详解】A：对于独立性检验，随机变量χ2的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，故错误；

B：在线性回归分析中，相关系数r的绝对值越接近于1，说明回归方程拟合的效果越好，故正确；

C：随机变量，若，则，解得，故错误；

D：因为，所以，又，所以，则，故正确.

故选：BD

10．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球．则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C．事件B与事件相互独立 D．，，两两互斥

【答案】AD

【分析】根据给定条件，利用缩小空间的方法求出条件概率判断A；利用互斥事件相互独立事件概率公式计算判断B；利用相互独立事件、互斥事件的意义判断CD作答.

【详解】依题意，，A正确；

事件，，两两互斥，D正确；

，，，，，

，

因此B与不是相互独立事件，BC都不正确．

故选：AD

11．杨辉三角把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合．根据杨辉三角判断下列说法正确的是（    ）

A．

B．

C．已知的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数和为

D．已知，则

【答案】AB

【分析】根据二项展开式的性质，逐个选项进行计算验证，即可得答案.

【详解】对于A，因为的展开式为，计算即可求出，故A正确；

对于B，因为，所以，，而，故B正确；

对于C，根据题意得，，所以，原式变为，令，所以，所有项的系数和为，故C错误；

对于D，令，得，令，得，所以，，根据展开式通项公式，明显可见，故D错误.

故选：AB

12．已知奇函数在上可导，其导函数为，且恒成立，若在单调递增，则下列说法正确的是（    ）

A．在单调递减 B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】根据函数的的对称性和周期性，以及函数的导数的相关性质，逐个选项进行验证即可.

【详解】方法一：

对于A，若，符合题意，故A错误，

对于B，因已知奇函数在上可导，所以，

因为，所以，

所以，故B正确，

对于C和D，设，

则为上可导的奇函数，，

由题意，得，

所以关于直线对称，

所以

，

所以奇函数的一个周期为4，，

所以，即，故C正确，

由对称性可知，，即，所以，

等式两边对x求导得，，

令，得，所以．

由等式两边对x求导得，，

所以的一个周期为4，所以，

所以，故，故D正确．

方法二：

对于A，若，符合题意，故错误，

对于B，因已知奇函数在R上可导，所以，

因为，所以，

所以，故B正确，

对于C，将中的x代换为，

得，所以，

可得，两式相减得，，

则，，…，，

叠加得，故C正确，

对于D，将的两边对x求导，得，

令得，，

将的两边对x求导，得，所以，

将的两边对x求导，得，

所以，故D正确．

故选：BCD

【点睛】知识点点睛：本题主要考查抽象函数的奇偶性，对称性和周期性的判断及其性质的运用，同时考查导数的运算法则，综合程度较高，充分利用函数的周期性，奇偶性，对称性的定义是解决问题的关键.

三、填空题

13．已知随机变量服从，若，则__________.

【答案】/

【分析】利用正态曲线的对称性可求得的值.

【详解】因为，则.

故答案为：.

14．在国际自然灾害中，中国救援力量为挽救生命做出了重要贡献，完美地展示了国家形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得荣誉．某国际救援团队拥有6个医疗小组和8个抢险小组，现分别去两个受灾点执行救援任务，每个救援点至少需要2个医疗小组和4个抢险小组，则不同的分配方式一共有________种．（用数字作答）

【答案】3500

【分析】先分医疗小组再分抢险小组，按小组数先分组后分配即可求得答案.

【详解】第一步分配医疗小组，先按2：4或3：3分两组再分配到两个受灾点，共有；

第二步分配抢险小组，只能按4：4分组再分配到两个受灾点，共有，

因此，共有种，

故答案为：3500

15．数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理．由等式利用算两次原理可得____．

【答案】

【分析】利用二项式定理，结合所求式子的意义求解作答.

【详解】因，

因此是展开式中项的系数，而展开式中项的系数为，

所以.

故答案为：

16．已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________.

【答案】

【分析】将已知不等式变形整理，构造新函数h（t）=tet，求导分析单调性，将原不等式通过单调性转化为含a的恒成立问题，求解即可.

【详解】易知，将原不等式变形：，

，可得，

即，其中.

设，则，原不等式等价于.

当时，原不等式显然成立；

当时，因为在上递增，

恒成立，

设，则，所以在递减，递增，

所以的最小值为，故.

故答案为：

【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

四、解答题

17．（1）计算：

（2）已知，求.

【答案】（1）；（2）2或3

【分析】（1）根据排列组合数计算公式求解；

（2）根据组合数的性质求解.

【详解】（1）

（2）或解之：或.

18．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数的单调增区间．

【答案】(1)；

(2)，.

【分析】（1）利用导数几何意义即可求得曲线在点处的切线方程；

（2）利用导数即可求得函数的单调增区间．

【详解】（1），则

则，又，

则曲线在点处的切线方程为，即

（2），

则，

由可得或，

则函数的单调增区间为，.

19．已知．

(1)求展开式中含的项的系数；

(2)设的展开式中前三项的二项式系数的和为，的展开式中各项系数的和为，若，求实数的值．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）求出展开式的通项公式，令的指数为，可求出值，从而得解；

（2）求出的展开式中前三项的二项式系数和，再令，求出的展开式中各项系数的和，然后建立方程即可求解.

【详解】（1）的展开式的通项为（，1，2，3，4，5）．

令，则，

∴展开式中含的项为，

∴展开式中含的项的系数为．

（2）由题意可知，，

∵，

∴，解得或．

20．某校开展“学习二十大，永远跟党走”网络知识竞赛.每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学第一组每道题答对的概率均为，第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章.

(1)记甲同学在一轮比赛答对的题目数为，请写出的分布列，并求；

(2)若甲同学进行了10轮答题，试问获得多少枚纪念章的概率最大.

【答案】(1)分布列见解析，

(2)4

【分析】（1）由题意可得可取0，1，2，3，4，进而分别求出概率即可求解；

（2）先求得每一轮获得纪念章的概率，由每一轮相互独立，则每一轮比赛可视为二项分布，进而可得，，，由，解出即可求解.

【详解】（1）由题意，可取0，1，2，3，4.

,

，

，

，

，

则的分布列为：

.

（2）每一轮获得纪念章的概率为，

每一轮相互独立，则每一轮比赛可视为二项分布，

设10轮答题获得纪念章的数量为，则，

，.

由，得，

解得，又，得，则获得4枚纪念章的概率最大.

21．为了解市某疾病的发病情况与年龄的关系，从市疾控中心得到以下数据：

(1)若将每个区间的中点数据记为，对应的发病率记为，根据这些数据可以建立发病率（‰）关于年龄（岁）的经验回归方程，求；

附：

(2)医学研究表明，化验结果有可能出现差错.现有市某位居民，年龄在表示事件“该居民化验结果呈阳性”，表示事件“该居民患有某疾病”.已知，，求（结果精确到0.001）.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据表格中的数据，结合公式求得，进而求得的值；

（2）根据题意，结合相互独立事件的概率乘法公式和条件概率的计算公式，即可求解.

【详解】（1）解：由表格中的数据，可得，

则

所以.

（2）解：由题意，可得，

，

所以.

22．已知，设函数，为的导函数，且恒成立.

(1)求实数的取值范围；

(2)设的零点为，的极小值点为，证明：.

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1）由函数解析式求导，根据分离变量整理不等式，构造新函数，利用导数求新函数的最值，可得答案；

（2）根据零点与极小值点的定义，整理与的等量关系，利用函数的单调性，比较其大小，根据（1）求得的的取值范围，结合不等式的性质，可得答案.

【详解】（1）由函数，则，

即不等式，代入可得，

由，则不等式整理可得，

令，，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

所以，则，解得.

（2）因为函数的零点为，所以，则，解得，

由（1）知，令，则，

令，则，

故函数在上单调递增，所以，

由（1）可知，，故存在，使得，

所以当时，，，函数单调递减；

当时，，，函数单调递增.

所以是函数的极小值点，即是的极小值点，因此，

则，，又，

由，所以，所以，

又由（1）知，所以，所以，

又因为，所以，因为函数，

因为函数在上单调递增，所以，则.

由，则，即，可得，

由，则，即，

故.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用，二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理.