2022-2023学年北京市朝阳区第八十中学高二下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年北京市朝阳区第八十中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．某质点沿直线运动的位移与时间的关系是，则质点在时的瞬时速度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据导数的物理意义，求导即可得到瞬时速度.

【详解】解：，当时，.

故选：C.

2．对变量x，y由观测数据得散点图1；对变量y，z由观测数据得散点图2．由这两个散点图可以判断（    ）．

A．变量x与y正相关，x与z正相关 B．变量x与y正相关，x与z负相关

C．变量x与y负相关，x与z正相关 D．变量x与y负相关，x与z负相关

【答案】D

【分析】利用散点图判断.

【详解】解：由散点图知：变量x与y负相关，y与z正相关，

所以x与z负相关．

故选：D．

3．一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除了颜色外完全相同，从中模出2个球，恰有一个黑球的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据组合计数，结合古典概率公式求解即可.

【详解】解：由题知，从装有5个白球和3个黑球，模出2个球，共有种，

其中，恰有一个黑球的共有种，

所以，恰有一个黑球的概率为.

故选：B

4．在5道题中有3道数学题和2道物理题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到数学题条件下，第二次抽到数学题的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】法一：分析出第一次抽到数学题条件下，剩余试题的特征，从而求出概率；法二：设出事件，利用条件概率公式进行求解.

【详解】法一：因为第一次抽到数学题条件下，还剩下4道试题，有2道数学题和2道物理题，因此第二次抽到数学题的概率是；

法二：设第二次抽到数学题为事件，第一次抽到数学题为事件，

则，，

则.

故选：B

5．已知，则（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】D

【分析】令，利用赋值法可得出，即可得解.

【详解】令，

则，

故选：D.

6．已知函数，则的极小值点为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】的定义域为R，求导得，分析的符号，的单调性，极值点，即可得出答案．

【详解】解：的定义域为R，

，

所以在上，单调递增，

在上，单调递减，

在上，单调递增，

所以是的极小值点，

故选：B．

7．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ）

A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2

【答案】D

【分析】根据随机变量服从正态分布，求得其图象的对称轴，再根据曲线的对称性，即可求解答案．

【详解】解：由题意，随机变量服从正态分布，所以，即图象的对称轴为，

又由，则，

则，

故选：D．

8．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）

A．或 B． C．或 D．

【答案】C

【分析】由题可求导函数，利用导函数与单调性的关系可得在恒成立，即求.

【详解】由题意，在恒成立，则，

又，

∴在恒成立，

∴即在恒成立，∴，

综上，或.

故选：C.

9．笛卡尔心形线的极坐标方程是．某同学利用GeoGebra电脑软件将，两个画在同一直角坐标系中，得到了如图“心形线”．观察图形，当时，的导函数的图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】易得函数表示如图“心形线”中轴下方的图象，再根据函数的单调性及切线斜率的变化情况即可得解.

【详解】因为，，

所以函数表示如图“心形线”中轴下方的图象，

由得，所以

由图可知函数在上单调递增，可得，故排除BC，

又函数在时的图象的切线斜率先减小后增大，排除D，

故函数的先减后增，故只有A选项符合题意.

故选：A.

10．二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二制数(）对应的十进制数记为，即 其中， ，则在中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的总和为（    ）

A．1910 B．1990 C．12252 D．12523

【答案】D

【分析】利用等比数列前n项和以及组合数问题可解

【详解】根据题意得 ，因为在中恰好有2个0的有=28种可能，即所有符合条件的二进制数 的个数为28．

所以所有二进制数对应的十进制数的和中，出现=28次，，…，2，均出现=21次，所以满足中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的和为

故选：D．

二、填空题

11．二项式展开式中的常数项是__．（用数字作答）

【答案】20

【分析】根据二项式的展开公式求解即可.

【详解】二项式展开式的通项公式为，

令，得，

所以展开式中的常数项是．

故答案为:20.

12．世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在年和年荣升为“四色定理”和“费马大定理”．如今，哥德巴赫猜想仍未解决．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于的偶数，都可以写成两个质数之和．（质数是指在大于的自然数中，除了和它本身以外不再有其他因数的自然数）．在不超过的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数取法有________种．

【答案】

【分析】列举出不超过的质数，分析可知必取，然后在剩余个奇数中任选一个即可，即可得出不同的选法种数.

【详解】不超过的质数有：、、、、、、，共个，

在这个数中随机选取两个不同的数，其和为奇数，则必取，

然后在剩余个奇数中任选一个即可，

所以，不同的取法种数为种.

故答案为：.

13．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为5%，第2，3台加工的次品率均为4%，加工出来的零件混放在一起；已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%．现任取一个零件，则该零件是次品的概率为___________．

【答案】/

【分析】根据条件，结合全概率公式求解即可.

【详解】解：由全概率公式可得，任取一个零件，则该零件是次品的概率为

.

故答案为：

14．函数有两个零点，则写出符合上述要求的一个实数k的值为________．

【答案】1（答案不唯一，满足即可）

【分析】根据题意分析可得原题意等价于与有两个交点，求导，利用导数判断的单调性与最值，结合图象分析运算.

【详解】令，则，

构造，原题意等价于与有两个交点，

因为，

令，则；令，则；

则在上单调递增，在上单调递减，

可得，

且当x趋近于0，趋近于，当x趋近于，趋近于0，

结合的图象可知：若与有两个交点，则，

解得，

所以实数k的取值范围为，且.

故答案为：1（答案不唯一，满足即可）

【点睛】

三、双空题

15．我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》里，出现了图1这张表.杨辉三角的发现比欧洲早500年左右.如图2，杨辉三角的第行的各数就是的展开式的二项式系数.

则第10行共有___________个奇数；第100行共有___________个奇数.

【答案】     4     8

【分析】根据图2可知第7行的数全部是奇数，再进一步得到第15行也全部是奇数，从而找到规律，即可得答案；

【详解】由杨辉三角可得如下表：

第1行，2个；第2行，2个；第3行，4个； 第4行，2个； 第5行，4个；

第6行，4个；第7行，8个；

第8行，2个；第9行，4个；第10行，4个； 第11行，8个； 第12行，4个；

第13行，8个；第14行，8个；第15行，16个；

第16行，2个；第17行，4个；第18行，4个； 第19行，8个； 第20行，4个；

第21行，8个；第22行，8个；第23行，16个；

第96行，4个；第97行，8个；第98行，8个； 第99行，16个； 第100行，8个；

故答案为：4；8.

四、填空题

16．已知函数，关于函数给出下列命题：

①函数为偶函数；

②函数在区间单调递增；

③函数存在两个零点；

④函数存在极大值和极小值．

其中正确命题的序号是________．

【答案】①②④

【分析】①根据偶函数的定义，即可判断①正确；

②当时，求出，并分析其单调性，得对恒成立，则函数在区间单调递增，②正确；

③由②可知，当时的单调性，并由零点存在定理可知其有两个零点，进而判断出的单调性，再根据零点存在定理可判断在上有两个零点，由为偶函数可知，其在上存在四个零点，故③错误；

④由③可知，存在极大值和极小值，故④正确.

【详解】①：定义域为，，

则函数为偶函数，故①正确；

②：当时，，

令，则，

由解得，

则当时，单调递增，

又由及可知，

即对恒成立，

则函数在区间单调递增，故②正确；

③：由②可知，

在单调递增，单调递减，

又，，，

由零点存在定理知，，使得，

在单调递减，单调递增，单调递减.

又，，，

由零点存在定理可知，在上有两个零点，

又由为偶函数可知，其在上存在四个零点，故③错误；

④：由③可知为极小值，为极大值，

又由偶函数可知，为极小值，为极大值，

故④正确.

故答案为：①②④.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是对导函数继续进行求导，以及利用零点存在定理，找到导函数的单调区间，则可求得原函数的单调性，同时又可以判断函数的零点个数和极值.

五、解答题

17．为加强素质教育，提升学生综合素养，某中学为高一年级提供了“书法”和“剪纸”两门选修课.为了了解选择“书法”或“剪纸”是否与性别有关，调查了高一年级1500名学生的选择倾向，随机抽取了100人，统计选择两门课程人数如下表：

(1)补全2×2列联表；

(2)是否有的把握认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关？（计算结果保留到小数点后三位，例如：3.841）

参考附表：

参考公式：，其中.

【答案】(1)列联表见解析

(2)有

【分析】（1）直接根据表中数据即可完成列联表；

（2）根据公式求出，再对照临界值表，即可得出结论.

【详解】（1）根据题意补全2×2列联表，如下：

（2）根据列联表中数据，得，

所以有的把握认为选“书法”或“剪纸”与性别有关.

18．“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心．据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，关注生态文明建设的约占80%．现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示．

(1)求a的值；

(2)现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中至少1人的年龄在第1组中的概率；

(3)用频率估计概率，从所有参与生态文明建设关注调查的人员（假设人数很多，各人是否关注生态文明建设互不影响）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为X．求随机变量X的分布列及期望．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据频率和为1求；

（2）根据题意结合古典概型分析运算；

（3）根据题意可得，根据二项分布求分布列和期望.

【详解】（1）由小矩形面积和等于1可得：，解得.

（2）第1组总人数为200×0.01×10＝20，第2组总人数为200×0.015×10＝30

根据分层抽样可得：第1组抽取人，第2组抽取人

再从这5人中抽取3人，设至少1人的年龄在第1组中的事件为A，其概率为.

（3）由题意可知：，则有：

，，

，.

∴X的分布列为：

可得的数学期望.

19．已知函数．

(1)求的值；

(2)求在区间上的最值；

(3)若，求的单调区间．

【答案】(1)

(2)最大值为，最小值为

(3)答案见解析

【分析】（1）求导，再令即可得解；

（2）利用导数求出函数的单调区间，在求出函数的极值和端点的函数值，即可得出函数的最值；

（3）求导，再分和两种情况讨论即可得解.

【详解】（1），则；

（2），

当或时，，当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

又，

所以在区间上的最大值为，最小值为；

（3），，

当时，，所以函数在上单调递减，

当时，或时，，当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

综上所述，当时，的单调减区间为，无增区间；

当时，的单调增区间为，单调减区间为；

20．已知函数.

（1）若曲线在点处的切线与直线平行.

（i）求a的值；

（ii）证明：函数在区间内有唯一极值点；

（2）当时，证明：对任意，.

【答案】（1）（i）；（ii）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）（i）求出，由直线平行的充要条件得到切线的斜率，根据导数的几何意义求出a的值，即可得到答案；

（ii）求出，令，利用导数研究的单调性，从而得到的取值情况，由此得到的单调性，结合极值的定义进行分析，即可证明；

（2）利用（1）中的单调性，分，两种情况，分别利用导数研究函数的单调性，确定函数的取值情况，由此证明结论.

【详解】（1）（i）解：因为函数，

所以，

因为曲线在点处的切线与直线平行，

所以切线的斜率为1，

则，即，解得，

检验：当时，，因此切线方程为，符合题意，

故.

（ii）证明：由（i）可知，，则，

令，则，

当时，，则单调递增，即单调递增，

当时，，则单调递减，即单调递减，

又，，，

故存在唯一的，使得，

当时，，则单调递增，

当时，，则单调递减，

所以当时，函数取得极大值，

故函数在区间内有唯一极值点.

（2）证明：由（1）可知，当时，单调递增，

当时，单调递减，

因为，则，且，

①若，即时，则，

所以在上恒成立，即在上单调递增，

故，符合题意；

②若，即时，，

因为，

故存在，使得，

当时，，单调递增，

当时，，则单调递减，

所以当时，函数取得极大值，

即且，符合题意.

综上所述，当时，对任意，.

21．对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称为“数列”．

(1)若数列的通项公式为的通项公式为，分别判断是否为“数列”，并说明理由；

(2)已知数列为等差数列，

①若是“数列，，且，求所有可能的取值；

②若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“数列”．

【答案】(1)是“数列”，不是“数列”；

(2)①9,10,12,16；②证明见解析．

【分析】（1）根据“数列”的定义验证即可；

（2）①设公差为，利用“数列”定义得是8的正约数：1，2，4，8，分别求出并验证符合题意即得；

②利用，求出公差与首项的关系，然后表示出通项公式，再根据“数列”定义证明．

【详解】（1），对任意的，，，，，

取，则，∴是“数列”，

，对任意的，，，，为偶数，而为奇数，因此不存在

使得，∴不是“数列”；

（2）数列为等差数列，

①若是“数列，，且，，，

，

对任意的，，，，

，由题意存在，使得，

即，显然，

所以，，

，所以是8的正约数，即，2，4，8，

时，，；

时，，；

时，，；

时，，．

综上，的可能值为9，10，12，16；

②若对任意，存在，使得成立，

所以存在，，，

设公差为，则，，

，

对任意的，，，，

，取，则，

所以是“数列”．

【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，解题关键是理解新定义并应用新定义求解．第（2）问中，第一个问题是直接利用等差数列的通项公式根据新定义进行验证即可，第二个问题关键是确定数列的通项公式，因此根据已知条件求得数列的首项与公差的关系，这样通项公式中相当于只含有一个参数（或），然后利用通项公式进行检验．