2022-2023学年安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学高二下学期4月期中考试数学试题含解析

2022-2023学年安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学高二下学期4月期中考试数学试题

一、单选题

1．在的二项展开式中，项的系数为（    ）

A．6 B．4 C．2 D．1

【答案】A

【分析】求出展开式的通项，再令的指数等于即可得解.

【详解】展开式的通项为，

令，则，

所以项的系数为.

故选：A.

2．已知函数在处可导，若，则＝（     ）

A．1 B． C．2 D．8

【答案】B

【分析】利用导数的定义求解．

【详解】.

故选：B

3．曲线在处的切线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由斜截式方程，即可得到所求切线的方程．

【详解】的导数为，在点处的切线斜率为，

即有在点处的切线方程为，即.

故选：C

4．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（　　）

A．1440种 B．960种 C．720种 D．480种

【答案】B

【详解】5名志愿者先排成一排，有种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有=960种不同的排法，选B．

5．设，且，若能被13整除，则（    ）

A．0 B．1 C．11 D．12

【答案】D

【分析】转化为，利用二项式定理求解.

【详解】

因为能被13整除，所以能被13整除

因为，且，所以，

故选：D

6．据说，笛卡尔担任瑞典一小公国的公主克里斯蒂娜的数学老师，日久生情，彼此爱慕，其父国王知情后大怒，将笛卡尔流放回法国，并软禁公主，笛卡尔回法国后染上黑死病，连连给公主写信，死前最后一封信只有一个公式：国王不懂，将这封信交给了公主，公主用笛卡尔教她的极坐标知识，画出了这个图形“心形线”．明白了笛卡尔的心意，登上了国王宝座后，派人去寻笛卡尔，其逝久矣.某同学利用GeoGebra电脑软件将，两个画在同一直角坐标系中，得到了如图“心形线”．观察图形，当时，的导函数的图象为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据图象的单调性判断导数正负排除BC，再由函数增长快慢判断AD，即可得解.

【详解】因为，所以的图象在轴及下方，

当时，由图象知单调递增，所以，故排除BC；

又当且时，图象越来越“陡”，即增长越来越快，故函数导数越来越大，

据此排除D.

故选：A

7．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】构造，利用导数求其单调性可判断的大小，构造，利用导数求其单调性可得到，再由为锐角时，，即可得到答案.

【详解】设，

则，

令，，

因为在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递减，

由，所以，

所以当，所以在上单调递增，

当，所以在上单调递减，

又，，

从而即在上恒成立，

故在上单调递增，

所以，即，

即，

构建，则，

令，则，

当时，，则在单调递增，

所以，即，

故在上单调递增，则，

故在恒成立，

取，可得，

而由为锐角时，可知，，

由不等式传递性知，

综上可得：.

故选：D.

【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：

（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，

（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，

（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.

8．对任意 ，若不等式恒成立，则的取值范围为（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】B

【分析】将变形为，设，利用导数求得，，则，所以恒成立，构造函数，利用导数求得其最小值，即可求得答案.

【详解】对任意 ，若不等式恒成立,

即，即，

设，则，

当时，，在时单调递减，

当时，，在时单调递增，

故当时，取得极小值也是最小值，即，

令，则，所以恒成立，

设,

故是单调递增函数，故，

所以 ，又因为，

所以的取值范围为，

故选：B

【点睛】本题考查了不等式的恒成立成立问题，解答时要注意对不等式进行恰当的变式，从而分离参数，构造新函数，将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题解决.

二、多选题

9．下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】根据排列数公式可直接判断A；根据组合数公式计算可判断B；由组合数性质可判断C；利用排列数公式直接计算可判断D.

【详解】对于A，，

所以，故A错误；

对于B，，故B正确；

对于C，，故C正确；

，故D正确.

故选：BCD.

10．如图是导函数的导函数的图像，则下列说法正确的是（    ）

A．函数在区间上单调递减

B．函数在区间上单调递增

C．函数在处取极大值

D．函数在处取极小值

【答案】BC

【分析】根据题意，由导函数与原函数的关系以及极值的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】由图像可知，当时，，则函数单调递增，

当时，，则函数单调递减，

所以当时，函数有极大值，故C正确，A错误；

当时，，则函数单调递增，故B正确；

且，即不是函数的极值点，

当时，，则函数单调递增，

当时，，则函数单调递增，

所以不是函数的极值点，故D错误.

故选:BC

11．2022年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（    ）

A．小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条

B．小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条

C．小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为

D．小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F，事件B：从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则

【答案】BCD

【分析】根据起点走向终点所需要向上、向右走的总步数，并确定向上或向右各走的步数，则最短路径的走法有，再利用古典概型的概率公及条件概率的求法，求小明到处和小华会合一起到老年公寓的概率，小明经过且从到老年公寓两人的路径没有重叠的概率即可.

【详解】由图可知，要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动，

对于A，小华到老年公寓需要向上1格，向右2格，即共走3步，其中1步向上，所以最短路径的条数为条，所以A错误，

对于B，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即共走7步，其中3步向上，最短路径的条数为条，所以B正确，

对于C，小明到的最短路径走法有条，再从处和小华一起到老年公寓的路径最短有3条，而小明到老年公寓共有35条，所以到处和小华会合一起到老年公寓的概率为，所以C正确，

对于D，由题意知：事件的走法有18条，即，事件，所以，所以D正确.

故选:BCD

12．函数，下列说法正确的是（    ）

A．存在实数，使得直线与相切也与相切

B．存在实数，使得直线与相切也与相切

C．函数在区间上单调递减

D．函数在区间上有极大值，无极小值

【答案】AB

【分析】对AB，设直线与与分别相切于点，利用点在线上及斜率列方程组，解得切点即可判断；对CD，令，两次求导研究函数单调性及极值．

【详解】设直线分别与与分别相切于点，

则，，

，，

所以且，即，

化简得，解得或，

当时，可得，即切线的斜率为，且，即切点坐标为，

此时切线的方程为；

当时，可得，即切线的斜率为，且，

即切点坐标为，此时切线的方程为，即，

故公切线方程为或，所以选项正确；

令，可得，

令，可得，

所以单调递增，即单调递增，

又由，因为，所以，

即时，，所以在区间上单调递增，

所以C错误；

由C知，函数单调递增，所以函数无极值，所以错误.

故选：.

三、填空题

13．设离散型随机变量X的概率分布列为：则P(X≤2)＝________.

【答案】/

【分析】由题意可知，从而可求出结果

【详解】由题意可知，

故答案为：

14．“仁义礼智信”为儒家“五常”，由伟大的教育家孔子提出，现将“仁义礼智信”排成一排，则“礼智”互不相邻的排法总数为______.

【答案】72

【分析】根据插空法求排法种数.

【详解】先排仁，义，信，三个字，再将礼智两个字插空，共有种方法.

故答案为：72

15．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为__________．

【答案】

【分析】由全概率公式即可处理.

【详解】设=“任取一个X光片为次品”，=“X光片为某厂生产”（甲、乙、丙厂依次对应

）则,且两两互斥.

由题意可得：,

16．设实数，若不等式恰好有四个整数解，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【分析】不等式等价于，即，由函数在上单调递增，有，问题转化为恰好有四个整数解，令，利用导数研究单调性，通过数形结合求实数的取值范围.

【详解】，，由，即，故，

因为不等式恰好有四个整数解

所以不等式恰好有四个整数解，即恰好有四个整数解，

令，则在上恒成立，

所以函数在上单调递增，

所以，不等式恰好有四个整数解，即恰好有四个整数解，

令，则，

所以，当时，单调递增，当时，单调递减，

因为，

所以，作出函数的图像如图所示，

所以，要使恰好有四个整数解，则，即，

所以，实数的取值范围为.

故答案为：

四、解答题

17．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，白粽8个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个.

(1)求既有豆沙粽又有白粽的概率；

(2)设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列.

【答案】(1)

(2)分布列见解析

【分析】（1）根据古典概型以及组合数的计算先求全是白粽的概率，然后由对立事件的概率公式可得；

（2）根据超几何分布的知识即可求得的分布列.

【详解】（1）记事件A：取出的3个都是白粽.

则，

所以，既有豆沙粽又有白粽的概率为.

（2）的可能取值为，

则，

，

所以的分布列如下：

18．设某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，并且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从该厂这批产品中任取一件.

(1)求取到次品的概率；

(2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？

【答案】(1)

(2)此次品由甲车间生产的概率为：，由乙车间生产的概率为：，由丙车间生产的概率为：

【分析】（1）根据全概率计算公式，计算出所求概率.

（2）根据贝叶斯公式，计算出所求概率.

【详解】（1）取到次品的概率为

（2）若取到的是次品，则：

此次品由甲车间生产的概率为：.

此次品由乙车间生产的概率为：.

此次品由丙车间生产的概率为：.

19．已知函数，且．

(1)求函数在处的切线方程；

(2)求函数在上的最大值与最小值．

【答案】(1)；

(2)最大值为2，最小值为.

【分析】（1）由题可得，然后根据导函数在的值，可求出切线斜率，根据点斜式写出切线方程；

（2）根据导函数，确定单调区间，进而可得最值.

【详解】（1）因为，故，解得，

因为，所以，

则所求切线的斜率为，且，

故所求切线方程为，即；

（2）因为，，所以，

令，得（舍去），

由，可得，函数单调递减，

由，可得，函数单调递增，

所以的极小值为，又，，

所以的最大值为2，最小值为.

20．已知，其中，且，

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)2

(2)25

【分析】（1）分别令，，然后两式相减求结合即可得解；

（2）化为，求出展开式的通项，令的指数等于和即可得解.

【详解】（1）当时，，①

当时，，②

②①得，，

因为，所以，解得；

（2），

展开式的通项为，

令，则，令，则，

所以.

21．已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）.

【详解】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.

试题解析：（1）的定义域为，，

（ⅰ）若，则，所以在单调递减.

（ⅱ）若，则由得.

当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.

（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.

（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.

①当时，由于，故只有一个零点；

②当时，由于，即，故没有零点；

③当时，，即.

又，故在有一个零点.

设正整数满足，则.

由于，因此在有一个零点.

综上，的取值范围为.

点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.

22．已知函数在有零点.

(1)求实数的取值范围.

(2)求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用导数进行分类讨论，结合零点的定义和函数的单调性进行求解即可；

（2）结合（1），构建新函数利用导数进行证明即可.

【详解】（1）因为，，所以，

①若时，对任意恒成立，

.则在上单调递增，且，

则在上不存在零点，不符合题意；

②若时，令，解得，

（i）当，即时，在上单调递减，，则在上不存在零点，不符合题意；

（ii）当，即时，

所以当时，；当时，，

即在上单调递增；在上单调递减，

所以，

令，，则在上单调递减，

则，即，

又当时，，满足题意，

综上所述，实数的取值范围为.

（2）由（1）知，由，

要证明，只要证明，

设，，

，

，即；

另一方面：要证明，只要证明，

即证明，

，即证，

设，，

则，

所以当时，，即，

所以成立.

【点睛】关键点睛：根据不等式的形式，通过适当的变形，构造新函数，利用导数证明是解题的关键.