2022-2023学年辽宁省六校协作体高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年辽宁省六校协作体高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知等差数列的前项和为，若，则（    ）

A．22 B．33 C．44 D．66

【答案】B

【分析】根据等差数列下标的性质，以及前项和公式，即可列式求值.

【详解】根据等差数列的性质可知，，即，

所以.

故选：B

2．的展开式中的系数为（    ）

A． B．32 C．8 D．

【答案】A

【分析】由题设写出展开式通项，进而确定的值，即可求其系数.

【详解】由题设，展开式通项为，

∴时，的系数为.

故选：A

3．世界数学三大猜想：“费马猜想”､“四色猜想”､“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”.281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“1+2"由我国数学家陈景润在1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．在不超过10的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出基本事件总数， 再求出和为奇数事件所包含的基本事件个数，根据古典概型求解.

【详解】不超过10的质数有：2，3，5，7共4个，

随机选取两个不同的数，基本事件为：

共6种，

其和为奇数包含的基本事件有：，共3个，

所以.

故选：D.

4．某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量（单位：）近似服从正态分布，现有该新品种大束10000个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（    ）

附：若，

A．8400 B．8185 C．9974 D．9987

【答案】B

【分析】根据正态分布的对称性，结合题中所给的公式进行求解即可.

【详解】由，数学期望，方差，

由公式可知： ，

，

，

所以单果质量在范围内的大枣个数约为，

故选：B

5．的图像大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据，，，即排除B，D，结合特殊值即可得出答案.

【详解】由题知，根据，，，

则，排除B，D，

当时，没有意义，排除A.

故选：C

6．由组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（    ）个

A．360 B．192 C．312 D．240

【答案】D

【分析】根据题意可分为两类：个位数字为和个位数数字为或，结合排列、组合数的公式，即可求解.

【详解】解：根据题意可分为两类：个位数字为和个位数数字为或，

当个位数字为时，小于的偶数有个；

当个位数字为或时，小于的偶数有个，

所以小于的偶数共有个.

故选：D.

7．2023年3月24日是第28个“世界防治结核病日”，我国的宣传主题是“你我共同努力，终结结核流行”，呼吁社会各界广泛参与，共同终结结核流行，维护人民群众的身体健康.已知某种传染疾病的患病率为5%通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人诊断为阳性，患者中有2%的人诊断为阴性.随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳性的概率为（    ）

A．0.46 B．0.046 C．0.68 D．0.068

【答案】D

【分析】应用全概率公式求解即可.

【详解】设随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳性为事件A,

设随机抽取一人实际患病为事件B, 随机抽取一人非患为事件，

则.

故选:D.

8．设，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】构造函数研究其单调性来比较，构造函数研究其单调性来比较即可.

【详解】由，

设，，

∴，

当时，

∴在上单调递减，

∴，即

所以；

由

设，则，

所以，

当时，，

所以，

所以在单调递减，

又，

所以，

因为，

所以，即，

所以，

故选：C.

二、多选题

9．下列说法中，正确的有（    ）

A．已知，则数列是递增数列

B．数列的通项，若为单调递增数列，则

C．已知正项等比数列，则有

D．已知等差数列的前项和为，则

【答案】AD

【分析】由，可判定A正确；恒成立，可判定B错误；根据，，得到，可判定C错误；由构成等差数列，列出方程求得，可判定D正确.

【详解】对于A中，由，可得，所以数列是递增数列，所以A正确；

对于B中，若数列的通项，

则恒成立，

所以，所以B错误；

对于C中，正项递增的等比数列，若，

可得，此时，

所以C不正确；

对于D中，等差数列的前项和为且，

根据构成等差数列，即构成等差数列，

可得，解得，所以D正确.

故选：AD.

10．下列命题正确的是（    ）

A．若甲､乙两组数据的相关系数分别为0.66和-0.85，则乙组数据的线性相关性更强

B．已知样本数据的方差为4，则的标准差是36

C．对具有线性相关关系的变量，有一组观测数据，其线性回归方程是，且，则实数的值是

D．在检验与是否有关的过程中，根据所得数据算得，则有的把握认为和有关附：

【答案】AC

【分析】根据两个随机变量的线性相关性，即可判断A，根据方差与标准差，即可判断B，根据线性回归方程，即可判断C，根据独立性检验，即可判断D.

【详解】两个随机变量的线性相关性越强，

相关系数的绝对值越接近于，故A正确；

B中样本数据的方差为4，

则的方差为，

标准差为，故B错误；

C中，，

由，得，故C正确；

D中由，

没有的把握判断认为和有关，故D不正确.

故选：AC

11．下列不等式恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】A选项，构造函数，及，，由导函数得到其单调性，证明出结论；BC选项，可举出反例；D选项，放缩后，只需证明，构造，，由隐零点结合基本不等式证明出结论.

【详解】A选项，令，，

，当时，，当时，，

故在上单调递减，在上单调递增，

故，

令，，

，当时，，当时，，

故在上单调递增，在上单调递减，

故，

故，A正确；

B选项，，则，当时，，

当时，，

故在上单调递增，在上单调递减，

故，

当时，，故不满足，B错误；

C选项，令，，

，

当时，，当时，，

故在上单调递增，在上单调递减，

故，当且仅当时，等号成立，C错误；

D选项，由题意得，

令，，

，令，则恒成立，

故在上单调递增，

因为，，

所以存在使得，即，

当时，，当时，，

故在上单调递减，在上单调递增，

又，

当且仅当时，即时，等号成立，

又，故等号取不到，所以，

故，，D正确.

故选：AD

【点睛】隐零点的处理思路：

第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；

第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.

12．设一个正方体，一只蚂蚁从上底面的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个相邻顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行次，仍然在上底面的概率为，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】由，可判定A正确；再由，得到，得出数列为等比数列，求得，可判定B、D不正确；结合等比数列的求和公式，可判定C正确.

【详解】解：由题意得，所以A正确；

蚂蚁爬行次，仍然在上底面的概率为，则它前一步只有两种情况：

①本来就在上底面，再走一步要想不在下底面，只有两条路，其概率为；

②若上一步在下底面，第步不在上底面的概率为，

如果爬上来，其概率应为，

所以，整理得，即，

所以数列构成首项为，公比为的等比数列，

所以，所以，

所以，所以B、D不正确；

因为数列构成首项为，公比为的等比数列，

所以，所以C正确.

故选：AC.

三、填空题

13．已知数列为等比数列，，则__________．

【答案】

【分析】由，求得，结合，即可求解.

【详解】设等比数列的公比为，

因为，可得，可得，

所以

故答案为：.

14．某班有7名班干部，其中4名男生，3名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为__________．

【答案】

【分析】设事件表示“男生甲被选中”，事件表示“女生乙被选中”，分别求得，结合条件概率的计算公式求解即可.

【详解】设事件表示“男生甲被选中”，事件表示“女生乙被选中”，

则，

所以，即男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为.

故答案为：.

15．数列的前项和为，则数列的通项公式为__________．

【答案】

【分析】根据题意得到，得出数列构成等差数列，求得，结合，再求出数列的通项公式.

【详解】由，可得，即，

又由，可得，所以数列构成首项为，公差为的等差数列，

可得，所以，

当时，；

当时,不符合上式，

所以数列的通项公式为.

故答案为：.

16．函数（e为自然常数），方程恰有1个不等实根，则取值范围是__________．

【答案】或

【分析】求导得，分析的单调性，进而可得极大值、极小值与最值，方程恰有1个不等实根，可转化为与的交点有1个，结合图像即可判断.

【详解】，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以的极大值为，

的极小值为，

当时，，时，，

且的极大值为，的极小值为，

由上述分析可知，的图像为：

由图像可得当或时，有1个实数根，

故答案为:或

四、解答题

17．某校从学生会宣传部6名成员（其中女生4人，男生2人）中，任选3人参加某省举办的演讲比赛活动．

(1)选拔前6个人站成一排拍照，其中2个男生不能相邻，共有多少种不同的站法

(2)设所选3人中女生人数为，求的概率分布列及数学期望．

【答案】(1)480

(2)的概率分布列见详解，数学期望为：2.

【分析】（1）要使男生不相邻，先排女生，再让男生排在女生之间的空隙中；

（2）根据题意可得的所有可能取值为1,2,3，再求出取每一个值的概率,可得的分布.

【详解】（1）先4个女生站成一排有种站法，

这4个女生之间共有5个“空档”，

在这5个“空档”中选取2个排男生，共有种，

所以6个人站成一排拍照，其中2个男生不能相邻，

共有种不同的站法.

（2）的所有可能取值为1,2,3，

依题意得: ，

，

.

∴的分布列为:

的概率分布及数学期望为：.

18．已知数列是公比大于1的等比数列，为数列的前项和，，且成等差数列．数列满足

(1)求数列的通项公式

(2)求数列的前项和

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据题意，由，求得，进而得到，再由，，得到是从第二项起，以3为公差的等差数列求解；

（2）根据（1）得到，再利用错位相减法求解.

【详解】（1）解：设数列的公比为q，

因为，且成等差数列，

所以，，

解得，

则，即，

即，解得或（舍去），

此时，所以；

所以，，

又，

所以是从第二项起，，3为公差的等差数列，

所以，

综上：；

（2）由（1）知：，

则

，

所以，

两式相减得：

 ，

所以 .

19．已知函数

(1)若函数在处取得极值，求实数的值；

(2)当时，求函数的最大值．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）求得，根据题意得到，求得，结合函数极值点的定义进行验证，即可求解；

（2）求得，求得函数的单调性，再分、和，三种情况讨论，结合函数的极值和的值的比较大小，即可求解.

【详解】（1）解：由函数，可得

因为函数在处取得极值，可得，

解得或（舍去），

当时，可得，

当或时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以当时，函数取得极大值，符合题意；

（2）解：由，其中，

令，解得或，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

①当时，可得且，

可得函数在单调递增，在上单调递减，

因为，可得，

所以；

②当时，可得且，

可得函数在单调递减，在上单调递增，

因为，

当时，可得取得最小值，最小值为，

所以，即，所以；

③当时，可得且，此时函数在区间单调递减，

函数.

20．第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会．为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表社区参加市亚运知识竞赛．已知社区甲､乙､丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．

(1)求这3人中至少有1人通过市知识竞赛的概率

(2)某品牌商赞助了A社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：

方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励600元：

方案二：只参加了初赛的选手奖励100元，参加了决赛的选手奖励400元．

若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．

【答案】(1)

(2)从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好

【分析】（1）计算出人都没有通过初赛的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；

（2）利用二项分布及期望的性质求出方案一奖金总额的期望，对方案二，列出奖金总额为随机变量的所有可能取值，并求出对应的概率，求出其期望，比较大小作答.

【详解】（1）人都没有通过初赛的概率为，

所以，这3人中至少有1人通过市知识竞赛的概率为.

（2）方案一：设三人中奖人数为，所获奖金总额为元，则，且，

所以元，

方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为元，则的所有可能取值为、、、，

则，

，

，

，

所以，.

所以，，

所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．

21．已知数列是公差为2的等差数列，其前3项的和为是公比大于0的等比数列，

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足，求的前项和．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据等差数列和等比数列的基本量，列方程，即可求解；

（2）由（1）可知，，利用裂项相消法求和.

【详解】（1）设等差数列的首项为，公差，

等比数列的首项，公比为，

则，得，

即；

，，解得：或（舍），

所以；

（2），

，

22．已知函数

(1)求在处的切线方程；

(2)若对任意的恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，求导即可得到结果；

（2）根据题意，转化为在区间上恒成立，然后证得在区间上，，再分与讨论，即可得到结果.

【详解】（1）因为，则，且，

所以切线方程为.

（2）由已知在区间上恒成立，

设，则在区间上恒成立，

而，令，则，

设，则，当时，，

所以函数在区间上单调递增，故在区间上，，

即在区间上，，

设函数，则,

所以函数在上单调递增，

故在区间上，即在区间上，

所以在区间上，，

即，所以在区间上函数单调递增，

当时，，故在区间上函数，

所以函数在区间上单调递增，

又，故，即函数在区间上恒成立，

当时，，故在区间上函数存在零点，即，

又在区间上函数单调递增，

故在区间上函数，所以在区间上函数单调递减，

由，所以在区间上，与题设矛盾.

综上，的取值范围为.

【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于借助不等关系，当，，然后以导数作为工具研究函数的单调性与极值.