2022-2023学年江苏省盐城市响水中学高二下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年江苏省盐城市响水中学高二下学期期中数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省盐城市响水中学高二下学期期中数学试题 一、单选题1．已知随机变量的分布列如表：12340.150.350.25则实数（    ）A．0.05 B．0.15 C．0.25 D．0.35【答案】C【分析】由随机变量的分布列的性质可得.【详解】由随机变量的分布列的性质知，解得.故选：C.2．设函数，则（    ）A． B． C．4 D．2【答案】A【分析】由基本初等函数的导数公式即可得到，即可求解【详解】由可得，所以.故选：A.3．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E在侧棱PC上，且，若，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据向量的三角形法则运算求解．【详解】解：在平行四边形ABCD中，，在中，，，，，在中，．故选：B．4．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（    ）．A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】函数求导，计算，利用切线与直线垂直，求得a值.【详解】因为，所以曲线在点处的切线的斜率为，直线l的斜率，由切线与直线l垂直知，即，解得．故选：C．5．某市组织高二学生统一体检，其中男生有10000人，已知此次体检中高二男生身高h（cm）近似服从正态分布，统计结果显示高二男生中身高高于180cm的概率为0.32，则此次体检中，高二男生身高不低于170cm的人数约为（    ）A．3200 B．6800 C．3400 D．6400【答案】B【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出高二男生身高不低于170cm的概率，即可计算作答.【详解】因为高二男生身高h（cm）近似服从正态分布，且，于是，因此，所以高二男生身高不低于170cm的人数约为.故选：B.6．某学校购买了10个相同的篮球分配给高二年级6个班，要求每个班至少一个篮球，则不同的分配方法有（    ）A．126种 B．84种 C．72种 D．48种【答案】A【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合相同元素分组问题隔板法求解即可.【详解】将10个篮球排成一排，形成9个空，插入5个挡板将篮球分成6组，所以不同的分配方案有种.故选:A.7．如图，在四棱锥中，PD底面，底面为正方形，PD=DC=2，Q为PC上一点，且PQ=3QC，则异面直线AC与BQ所成的角为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成的角即可【详解】因为PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，所以DP，DC，DA两两互相垂直，以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由，得，，，，，所以，，设异面直线AC与BQ所成的角为，则，又，所以异面直线AC与BQ所成的角为．故选：A．8．已知函数的定义域为R，为的导函数，且，则不等式的解集是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造，由导函数得到其单调性，从而由单调性解不等式求出答案.【详解】根据题意，构造函数，则，所以函数在R上单调递增，又，即，所以，即，解得.故选：D. 二、多选题9．定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）A．-2是函数的极大值点，-1是函数的极小值点B．0是函数的极小值点C．函数的单调递增区间是D．函数的单调递减区间是【答案】BC【分析】根据导函数的正负，即可判断原函数单调性和极值，得出正确选项.【详解】由题意可得，当时，，当时，，所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，所以0是函数的极小值点，所以B，C正确，A，D错误.故选：BC10．下列说法正确的是（    ）A．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则B．若是空间任意一点，，则四点共面C．已知，若，则D．若和是相互垂直的两个单位向量，，，则【答案】BCD【分析】根据线面关系判断A，根据空间共面定理判断B，设得到方程组，解得、，即可判断C，根据向量数量积的运算律判断D.【详解】对于A：因为直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则，所以，所以或，故A错误；对于B：因为，且，所以、、、四点共面，故B 正确；对于C：因为，，设，所以，解得，所以，所以C正确；对于D：因为，所以，故D正确.故选：BCD.11．若，则下列说法正确的有（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】令，将式子化成，然后利用赋值法分别求出选项对应的系数【详解】令，则，令，可得，即，故A正确；令，可得，又，所以，故B正确；令，所以，所以，所以，故C错误；由题可知1798，故D正确.故选:ABD.12．已知8只小白鼠中有1只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患这种病的小白鼠，血液化验结果呈阳性的为患病小白鼠，下面是两种化验方案：方案甲：将8只小白鼠的血液逐个化验，直到查出患病小白鼠为止.方案乙：先取4只小白鼠的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这4只小白鼠的血液再逐个化验，直到查出患病小白鼠；若不呈阳性，则对剩下的4只小白鼠再逐个化验，直到查出患病小白鼠.则下列结论正确的是（    ）A．若用方案甲，化验次数为2次的概率为B．若用方案乙，化验次数为3次的概率为C．若用方案甲，平均化验次数为4D．若平均化验次数少的方案好，则方案乙比方案甲好【答案】AD【分析】求出两种方案的化验次数的分布列即可判断.【详解】若用方案甲，设化验次数为，则的可能取值为，所以正确；若用方案乙，设化验次数为，若，有两种情况：①头4只均为阴性，则；②头4只有阳性，则，所以化验次数为3次的概率为，B错误；若用方案甲，则，所以，C错误；若用方案乙，可取2，3，4.，所以，因为，所以方案乙比方案甲好，D正确.故选：. 三、填空题13．某质点沿直线运动的位移与时间的关系是，则质点在时的瞬时速度为__________.【答案】5【分析】先求函数的导数，再把代入导数方程即可.【详解】，当时，.故答案为：514．一面国旗燃起青春的向往，一身戎装肩负国家的担当.6名学生（含甲、乙）决定参军报国，不负韶华，报名前6人排成一排拍照，则甲、乙两人不相邻的不同的排法有__________种.【答案】480【分析】不相邻问题插空处理.【详解】先将不含甲、乙的4人排列，有种，再在4人之间及首尾5个空位中任选2个空位安排甲､乙，有种，所以甲､乙两人不相邻的不同的排法有（种）.故答案为：48015．在中国空间站某项建造任务中，需6名航天员在天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有___________种.【答案】450【分析】安排方案可以分为两类，第一类，每个舱各安排2人，第二类，分别安排3人，2人，1人，结合分堆分配问题解决方法求解即可.【详解】满足条件的安排方案可以分为两类，第一类，每个舱各安排2人，共有（种）不同的方案；方案二：一个实验舱安排3人，一个实验舱2人，一个实验舱1人，共有（种）不同的方案.所以共有不同的安排方案.故答案为：450.16．已知为互不相等的正实数，随机变量和的分布列如表，则__________.（填“>”“<”或“=”） 【答案】【分析】由均值和方差公式求出，再作差求解即可比较大小.【详解】，所以，因为为互不相等的正实数，所以，即.故答案为：. 四、解答题17．已知袋中有12个同型号零件，其中合格品有10个，次品有2个.(1)若检测员有放回地连续从该袋中取零件2次，每次取1个零件，求恰有1次取到正品的概率；(2)若检测员从该袋中一次性取2个零件，求在取出的2个零件中有次品的条件下，这2个零件都是次品的概率.【答案】(1)(2). 【分析】（1）根据题意，利用独立重复试验的概率计算公式即可求解；（2）利用条件概率的计算公式即可求解.【详解】（1）从该袋中取零件1次，取到正品的概率为，设恰有1次取到正品为事件，则.（2）设2个零件中有次品，2个零件都是次品分别为事件，则，所以，即在取出的2个零件中有次品的条件下，这2个零件都是次品的概率为.18．已知二项式，且．(1)求的展开式中的第5项；(2)求的二项式系数最大的项．【答案】(1)(2) 【分析】（1）首先根据组合数公式求，再利用二项展开式的通项公式求第5项；（2）根据（1）的结果可知，是最大的二项式系数，代入通项公式求解.【详解】（1）由，得，即，解得或（舍去）．的二项式通项为，当时，，所以的展开式中第5项为．（2）因为是中最大的，所以第4项的二项式系数最大，，所以的二项式系数最大的项是．19．已知直三菱柱中，，，点M式的中点.(1)求证：平面 平面；(2)求直线与所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由勾股定理证明，再用线面垂直的判定定理证明平面，从而得到，即可证明平面ABM，最后由面面垂直的判定定理证明即可；（2）以点B为坐标原点，以BA，BC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量求解即可【详解】（1）不妨设，则，．因为点M是的中点，所以，所以．因为，所以．由直棱柱的性质可得平面ABC，因为平面ABC，所以．因为，即，又，，平面，所以平面，因为平面，所以．因为，，，AB，平面ABM，所以平面ABM．因为平面，所以平面平面．（2）以点B为坐标原点，以BA，BC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，所以，，．设为平面ABM的一个法向量，则令，得，，此时．所以，所以直线与平面ABM所成角的正弦值是．20．牛排主要分为菲力牛排，肉眼牛排，西冷牛排，T骨牛排，某牛肉采购商从采购的一批牛排中随机抽取100盒，利用牛排的分类标准得到的数据如下：牛排种类菲力牛排肉眼牛排西冷牛排T骨牛排数量/盒20302030(1)用比例分配的分层随机抽样方法从这100盒牛排中抽取10盒，再从抽取的10盒牛排中随机抽取4盒，求恰好有2盒牛排是T骨牛排的概率；(2)若将频率视为概率，用样本估计总体，从这批牛排中随机抽取3盒，若X表示抽到的菲力牛排的数量，求X的分布列和数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）先根据分层抽样分别求出T骨牛排和非T骨牛排的和数，再利用古典概型求解即可；（2）先求出从这批牛排中随机抽取1盒，抽到菲力牛排的概率，由题意可得服从二项分布，再根据二项分布的分布列及期望公式求解即可.【详解】（1）用比例分配的分层随机抽样方法从这100盒牛排中抽取10盒，其中T骨牛排有3盒，非T骨牛排有7盒，再从中随机抽取4盒，设恰好有2盒牛排是T骨牛排为事件A，则；（2）这100盒牛排中菲力牛排有20盒，所以菲力牛排的频率为，设从这批牛排中随机抽取1盒，抽到菲力牛排的事件为B，将频率视为概率，用样本估计总体可得，从这批牛排中随机抽取3盒，抽到的菲力牛排的数量X满足，，．所以X的分布列为X0123P所以．21．如图1，已知梯形中，是边的中点，.将沿折起，使点到达点的位置，且，如图2，分别是，的中点.  (1)求平面与平面所成二面角的正弦值；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)(2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，分别平面与平面的法向量，根据向量的坐标运算求解二面角的余弦值，即可得二面角的正弦值；（2）根据空间向量的点到平面的距离公式求解即可.【详解】（1）因为图1中，所以图2中，又，所以分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则  ，.因为平面，所以平面，所以是平面的一个法向量，设平面的法向量，由得取，则，所以平面的一个法向量，设平面与平面所成二面角的大小为，则，以平面与平面所成二面角的正弦值为.（2）由（1）知是平面的一个法向量，又，所以点到平面的距离.22．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若直线与曲线相切，求证：．【答案】(1)答案见解析(2)证明过程见解析 【分析】（1）先求定义域，再求导，对进行分类讨论，得到的单调性；（2）设出切点，根据导数的几何意义及切点在切线方程上，列出方程组，得到，则，设，由零点存在性定理得到，再设，求导得到单调性，得到，得到答案.【详解】（1）定义域为R，，当时，恒成立，故在R上单调递减，当时，令，解得：，令，解得：，故在上单调递增，在上单调递减，当时，令，解得：，令，解得：，故在上单调递增，在上单调递减，综上：时，在R上单调递减；时，在上单调递增，在上单调递减；时，在上单调递增，在上单调递减.（2）直线与曲线相切，设切点为，则，且，当时，无解，故舍去；由得：，由得：，所以，故，故，所以，令，则在R上单调递增，且，，由零点存在性定理可知：，令，，则在上恒成立，故在上单调递减，所以，其中，，所以，解得：，故.【点睛】当已知切点坐标为时，根据导函数的几何意义可得到切线的斜率，再利用求出切线方程；当不知道切点坐标时，要设出切点坐标，结合切点既在函数图象上，又在切线方程上，列出等式，进行求解.