湖南省邵阳县2023届高三下学期三模数学试卷（含答案）

湖南省邵阳县2023届高三下学期三模数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，则(   )

A.     B.

C.或     D.或

2、设复数z满足，则(   )

A.2     B.1     C.     D.2

3、在中，D是BC边上一点，P是线段AD的中点，且.则(   )

A.     B.1     C.     D.2

4、“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下第一个数2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素数.在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为(   )

A.130     B.132     C.134     D.141

5、为加强居民对电信诈骗的认识，提升自我防范的意识和能力，拧紧保障居民的生命财产的“安全阀”，某社区开展了“防电信诈骗进社区，筑牢生命财产防线”专题讲座，为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份防电信诈骗手段知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图所示，则(   )

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数大于75%

B.讲座后问卷答题的正确率的众数为85%

C.讲座前问卷答题的正确率的方差小于讲座后正确率的方差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

6、如图所示，正八面体的棱长为2，则此正八面体的表面积与体积之比为(   )

A.     B.     C.     D.

7、拿破仑·波拿巴最早提出了一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在△ABC中，已知，且，，现以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的边长为(   )

A.3     B.2     C.     D.

8、定义在R上的可导函数满足，且在上有若实数a满足，则a的取值范围为(   )

A.     B.     C.或    D.

二、多项选择题

9、下列命题中，正确的有(   )

A.若，则     B.若，则

C.若，则     D.若，则

10、已知函数，则(   )

A..f（x）的最小正周期为     B.在上单调递增

C. 的图象关于直线对称   D.若，则的最小值为-1

11、已知双曲线C的左､右焦点分别为，，双曲线具有如下光学性质：从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点，如图所示.若双曲线C的一条渐近线的方程为，则下列结论正确的有(   )

A.双曲线C的方程为：

B.若，则

C.若射线n所在直线的斜率为k，则

D.当n过点时，光由所经过的路程为10

12、如图所示，已知点A为圆台下底面圆周上一点，S为上底面圆周上一点，且，则(   )

A.该圆台的体积为

B.直线SA与直线所成角最大值为

C.该圆台有内切球，且半径为

D.直线所成角正切值的最大值为

三、填空题

13、一个袋子中有大小和质地相同的5个球，其中有3个红色球，2个白色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则第2次摸到红色球的概率为__________.

14、三棱锥中，平面ABC，，,则三棱锥外接球的表面积为__________.

15、过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线l，l与抛物线及其准线从上到下依次交于A，B，C三点.令，则的值为__________.

16、已知函数有两个极值点，，且，则实数m的取值范围是__________.

四、解答题

17、如图所示，D为外一点，且，,，,

（1）求的值；

（2）求BD的长.

18、记为等差数列的前n项和，已知，数列满足

（1）求数列与数列的通项公式；

（2）数列满足，n为偶数，求前2n项和

19、如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，E为线段上一点.

（1）求证：

（2）若平面与平面ABCD的夹角的余弦值为，求直线BE与平面所成角的正弦值.

20、某电视台为了解不同性别的观众对同一档电视节目的评价情况，随机选取了100名观看该档节目的观众对这档电视节目进行评价，已知被选取的观众中“男性”与“女性”的人数之比为，评价结果分为“喜欢”和“不喜欢”，并将部分评价结果整理如下表所示.

（1）根据所给数据，完成上面的列联表；

（2）依据的独立性检验，能否认为性别因素与评价结果有关系？

（3）电视台计划拓展男性观众市场，现从参与评价的男性中，按比例分层抽样的方法选取3人，进行节目“建言”征集奖励活动，其中评价结果为“不喜欢”的观众“建言”被采用的概率为，评价结果为“喜欢”的观众“建言”被采用的概率为，“建言”被采用奖励100元，“建言”不被采用奖励50元，记3人获得的总奖金为X，求X的分布列及数学期望.

附：

21、已知椭圆的离心率为，且过点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知O为坐标原点，A，B，P为椭圆C上不同的三点，若.试问：的面积是否为定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由.

22、已知函数,

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，恒成立，求a的取值范围.

参考答案

1、答案：C

解析：由，, 得 或. 故选: C.

2、答案：A

解析：由, 得

所以.

故选: A.

3、答案：C

解析：P是BN 的中点,.

又，，， ，故选 D

4、答案：B

解析：由题可知, 2到 20 的全部整数和为

2到20的全部素数和为 ，

所以挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有 数的和为.

故选: B.

5、答案：B

解析：

6、答案：D

解析：如图，由边长为2，可得的高，

，则其表面积为

.

体积为.

此正八面体的表面积与体积之比为.

故选：D.

7、答案：B

解析：如图，连接，则由题设得，，

因为以BC,AC,AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，,

所以，

所以.

故选：B.

8、答案：A

解析：由，得.

令，则，即为偶函数.

又时，.即在上单调递减.

由，得.

又为偶函数，所以，即解得.

故选：A

9、答案：ABD

解析：

10、答案：BC

解析：

11、答案：AC

解析：对于选项A，，，则双曲线的方程为：，A选项正确；

对于选项B，在中，，，

，则B选项错误；

对于选项C，由双曲线的性质可得射线所在直线的斜率范围为，则C选项正确；对于选项D，当n过点时，由双曲线定义可得光由所经过的路程为，则D选项错误.

故选：AC.

12、答案：ACD

解析：对于A选项，，则A选项正确.

对于B选项，如图（1），

过S作SD垂直于下底面于点D，则，

所以直线SA与直线所成角即为直线SA与直线SD所成角，

即为所求，而，

由圆的性质得，，

所以，因为，

则B选项错误.

对于C选项，若圆台存在内切球，则必有轴截面的等腰梯形存在内切圆，如图（2）所示，

图（2）

梯形的上底和下底分别为2，4，高为，易得等腰梯形的腰为，假设等腰梯形有内切圆，由内切圆的性质可得腰长为，所以圆台存在内切球，且内切球的半径为，则C选项正确；对于D选项，如图（3），

图（3）

平面即平面，过点A做交BC于点H，因为SD垂直于下底面，

而AH含于下底面，所以，又，所以平面，

所以直线与平面所成角即为，且.

设，则，

所以，

其中，所以，当时，，

当时，.

根据复合函数的单调性，可知函数，

在上单调递增，所以当时，有最大值，最大值为，所以D选项正确.

故选：ACD.

13、答案：

解析：

14、答案：

解析：令三棱锥外接球半径为R，则满足，所以外接球表面积为.

15、答案：2

解析：设，则由过抛物线的焦点的直线的性质可得：，又,.过点A,B作准线的垂线，分别交准线于点E,D，则，

同理可得,.

16、答案：

解析：有两个不同实根,且,.

设，

在单调递减，在单调递增.

图象如下：

当时，即.

，

时，.

17、答案：(1)

(2)

解析：（1）在中，由余弦定理得：

.

.

.

在中，，

.

（2）在中，由正弦定理得：

.

，且.

又，

.

.

在中，由余弦定理得：

，

，

.

18、答案：(1),

(2)

解析：（1），

，

.

，①

，②

所以①-②得，，

.

当时，，符合.

，

（2），依题有：

.

记，则.

记，

则

.

所以.

19、答案：(1)见解析

(2)

解析：（1）证明：连接BD，

底面ABCD为菱形，.

又平面ABCD,平面ABCD,.

又,BD,面，

平面.

又平面,.

（2）设CD的中点为F，连接AF，如图：

为等边三角形，，又，则.

又平面ABCD，则,.

以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，

则，,,

，

设平面的一个法向量为，

，

令，则.

又平面ABCD的一个法向量为，

则.

又平面与平面ABCD的夹角的余弦值为，

，

.

，

.

直线BE与平面所成角的正弦值为.

20、答案：(1)不成立，评价结果与性别有关系

(2)

解析：（1）

零假设：假设性别因素与评价结果无关，

计算卡方值，

小概率值对应的临界值为，所以.

故推断零假设不成立，评价结果与性别有关系.

（2）由题意得，选取的3人中，评价结果“喜欢”的为1人，“不喜欢”的为2人.

所以的所有可能取值为.

则，

.

.

.

数学期望为.

21、答案：

(2)

解析：（1）因为椭圆C的离心率为，且过点，则

椭圆方程为.

（2）

四边形OAPB为平行四边形.

①若直线AB斜率不存在，此时点P为长轴端点（若P为另一端点，面积不变）

不妨设，则.

②若直线AB斜率存在时，设AB方程：，

联立方程组得：消去可得：.

由，得，

,

，

.

又点P在椭圆C上，

.

，满足.

.

又点O到直线l的距离，

.

综上所述，面积为定值，且定值为.

22、答案：(1)

(2)

解析：（1）当时，，

，

.

曲线在点处的切线方程为：.

（2），恒成立，

恒成立.

构造函数，

则，

且，.

令，得.

且，.

①当时，，存在，

则在上单调递减

故存在，有，不符合题意.

②当时，令.

则，

所以单调递增，则.

所以在上单调递增，又，所以在上单调递增.

又，所以恒成立，符合题意.

③当时，，

同理得，符合题意.

综上所述.