陕西省武功县普集高级中学2023届高三下学期5月四模理科数学试题（含解析）

陕西省武功县普集高级中学2023届高三下学期5月四模理科数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知是虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数虚部为（    ）

A． B． C． D．

2．已知集合，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

3．《数书九章》有这样一个问题：有5位士兵按从低到高站成一排（从低到高依次为甲、乙、丙、丁、戊），身高依次成等差数列，已知乙士兵的身高为5尺1寸，这五位士兵身高之和为26尺（1尺为10寸），则丁士兵的身高为（    ）

A．5尺2寸 B．5尺3寸 C．5尺4寸 D．5尺5寸

4．已知2022年第1季度农村居民人均消费支出为4391元，为本季度农村居民人均可支配收入的76%，本季度农村居民人均可支配收入的来源及其占比的统计数据的饼状图如图所示，根据饼状图，则下列结论正确的是（    ）

A．财产净收入占农村居民人均可支配收入的4%

B．工资性收入占农村居民人均可支配收入的40%

C．经营净收入比转移净收入大约多659元

D．财产净收入约为173元

5．已知过双曲线：的右焦点作轴的垂线与两条渐近线交于，，的面积为，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

6．一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A．1 B． C． D．7

7．函数的大致图象可能为（    ）

A．   B．   

C．   D．  

8．已知为第二象限角，，则（    ）

A． B．

C． D．

9．已知是各项均为正数的数列的前项和，，，若对恒成立，则实数的最大值为（    ）

A． B．16 C． D．32

10．在直四棱柱中，E，F分别为AC，的中点，在线段上，，，则下列结论错误的是（    ）

A．平面

B．异面直线与夹角的正切值为2

C．三棱锥的体积为定值

D．

11．已知，则下列结论错误的是（    ）

A．是周期函数

B．在区间上是增函数

C．的值域为

D．关于对称

12．已知不等式有实数解，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知的展开式中，含项的系数为，则实数的值为__________.

14．已知菱形中，，则__________.

15．已知抛物线的焦点为，过作抛物线的切线，切点为，，则抛物线的方程为__________.

16．已知圆柱外接球的表面积为，则该圆柱表面积的最大值为______.

三、解答题

17．已知分别是的角的对边，.

(1)求证：；

(2)求的取值范围.

18．南水北调中线工程建成以来，通过生态补水和减少地下水开采，华北地下水位有了较大的回升，水质有了较大的改善，为了研究地下水位的回升情况，对2015年~2021年河北某平原地区地下水埋深进行统计如下表：

根据散点图知，该地区地下水位埋深与年份t（2015年作为第1年）可以用直线拟合.

(1)根据所给数据求线性回归方程，并利用该回归方程预测2023年北京平原地区地下水位埋深；

(2)从2016年至2021年这6年中任取3年，该地区这3年中每一年地下水位与该地区上一年地下水位相比回升超过0.5米的年份数为，求的分布列与数学期望.

附相关表数据：，；

参考公式：，其中，.

19．已知多面体，四边形是等腰梯形，，，四边形是菱形，，E，F分别为QA，BC的中点，.

(1)求证：平面平面；

(2)求直线与平面夹角的正弦值.

20．已知，是椭圆的左、右焦点，（不在轴上）是椭圆上一点，是线段的中点，的周长为3，离心率为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知是椭圆上一点，过作圆：的切线，直线与椭圆交于另一点，判定，的斜率之积是否为定值，若为定值，求出定值.

21．已知.

(1)讨论函数的单调性；

(2)当时，判定函数零点的个数，并说明理由.

22．已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为与曲线交于点，.

(1)将曲线的参数方程化为极坐标方程；

(2)已知是曲线上异于，的两点，求面积的最大值.

23．已知函数.

(1)解不等式；

(2)已知的最小值为，正实数，满足，求的最小值.

参考答案：

1．B

【分析】由复数的运算直接求解得到，再由共轭复数的概念求解即可.

【详解】由题知，

复数的共轭复数为复数的共轭复数虚部为，

故选：B.

2．D

【分析】求出集合，结合集合间的关系和集合的交集并集运算即可求解。

【详解】由题知，错误；

错误：

，故C错误；

，D正确，

故选：.

3．B

【分析】依题意列方程组求出等差数列的首项和公差即可求解.

【详解】设甲、乙、丙、丁、戊这5位士兵身高依次所成等差数列为，公差为，

则，解得丁的身高为，

故选：B.

4．D

【分析】根据题干计算出本季度农村居民人均可支配收入的总额，即可得出各收入占比，由此判断出选项.

【详解】由题知，农村居民人均可支配收入为，

⸫工资性收入占农村居民人均可支配收入的，

⸫财产净收入占农村居民人均可支配收入的百分比为，

故错、B错；

经营净收入与转移净收入差为元，故错误；

财产净收入为元，故D正确.

故选：D.

5．A

【分析】先结合双曲线的渐近线方程求出，再根据三角形面积公式得到即可.

【详解】  

由题知，双曲线的渐近线为，

得，，

，

，

，

故选：A.

6．C

【分析】复原图形可知该几何体是棱台，根据棱台体积公式求解即可.

【详解】由题知，该几何体是上底面边长为1的正方形、下底面边长为2的正方形、与底面垂直的侧棱长为1的棱台，

其直观图如图所示，其体积为，

故选：.

7．A

【分析】根据函数的奇偶性、单调性和特殊值排除即可.

【详解】由题知，，，

是奇函数，故排除B；

，排除C；

，

，排除D，

故选：A

8．B

【分析】由平方关系和辅助角公式可求解.

【详解】为第二象限角，，

原式.

.

故选：B.

9．D

【分析】根据，求出和的通项公式，代入不等式计算，再根据基本不等式即可求解得出.

【详解】，

数列是首项为、公比为2的等比数列，

，解得或（舍），

，即恒成立，

，当且仅当即时取等号，.

故选：.

10．D

【分析】根据图中给定的几何关系，运用线面平行，异面直线夹角的计算方法逐项分析.

【详解】  

设为中点，连接分别为的中点，，四边形是平行四边形，

，平面，平面，平面，平面，

平面平面，，

平面平面，平面平面，故正确；

是异面直线与夹角，易得，

，故B正确；

平面在线段上，到平面的距离为定值，又的面积为定值，三棱锥的体积为定值，故C正确；

假设为的中点，，，又，， ，矛盾，故D错；

故选：D.

11．D

【分析】由周期函数的定义可判断A；由复合函数的单调性结论可判断B；判断出的单调性可判断C；由函数有对称轴的性质可判断D.

【详解】由题知，，

，

是函数的一个周期，故A正确；

在区间上是增函数，其值域为在区间上是增函数，根据复合函数同増异减法则知，在区间上是增函数，故B正确；的值域为在区间上是增函数，

的值域为，故C正确；

不关于对称，故错误，

故选：D.

12．C

【分析】构造两个函数，先利用导数求出单调区间，从而得到在处取到最小值，再利用二次函数的性质知在处取到最大值，从而可求出结果.

【详解】，所以不等式有实数解，即不等式成立，

设， ，

当时，，当时，，

所以在区间上是减函数，在区间上是增函数，，

又因为，当时，，

因为不等式有实数解，则

故选：C.

【点睛】关键点睛：处理本题的关键在于，通过构造两个函数，利用导数和二次函数的性质，分别求出两个函数的最值，两个函数均在处取到最值，从而得解.

13．2

【分析】分情况讨论，当第1个因式取时，第2个因式展开式中取常数项；当第1个因式取时，第2个因式展开式中取含，分别求出系数相加求解即可得出答案.

【详解】当第1个因式取时，第2个因式展开式中取常数项，其系数为，

当第1个因式取时，第2个因式展开式中取含，其系数为，

由题知，，解得.

故答案为：2.

14．

【分析】根据菱形对角线互相垂直，结合平面向量数量积公式求出答案.

【详解】设与交于，则且是线段的中点，

，由平面向量数量积的几何意义知，

.

故答案为：

15．

【分析】利用导数的几何意义建立等量关系，求解即可.

【详解】不妨设，由抛物线定义知，，

当时，，

解得拋物线的方程为，

故答案为：.

16．

【分析】根据球的表面积求出半径，建立圆柱高和半径的方程，求出圆柱表面积解析式，三角换元，利用三角函数知识求解圆柱表面积的最大值.

【详解】设圆柱的底面半径为、高为，球的半径为，

由题知，，解得，由圆柱的轴截面知，，如图

所以该圆柱的表面积为，

设，

所以

，其中，

所以当即时，.

故答案为：

17．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理即可求解.

（2）由（1）知，，利用正弦定理可得，然后利用换元思想得，利用函数的单调性求解即可.

【详解】（1）由正弦定理及知，

，

由余弦定理得，，

或.

.

（2）由（1）和正弦定理得，

，

，

设，则，则，

设，

则在上单调递增，则，

即.

的取值范围为.

18．(1)，

(2)分布列见解析，数学期望为2

【分析】（1）利用题目数据结合最小二乘法求解线性回归直线方程，代入计算即可；

（2）先求出随机变量的所有取值，再求出对应的概率，写出分布列，利用数学期望公式计算即可.

【详解】（1）由题知，

又，

所以，

所以，

所以线性回归方程为，

令，则.

（2）由题知，在2016年至2021年6年中，

2016年、2018年、2020年、2021年共4年该地的地下水位上升超过0.5米，

所以的取值可能为，

则，

所以的分布列为

所以.

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据题意结合线面垂直的判定定理可证平面，进而可得结果；

（2）建系，利用空间向量求线面夹角.

【详解】（1）设是线段的中点，连接，过作，垂足为，

因为四边形为等腰梯形，，

所以，

因为是的中点，可得，

则，即四边形为平行四边形，

可得，所以，

又因为四边形是边长为2的菱形，且，

则是边长为2的等边三角形，可得，

则，可得，

因为平面平面，

所以平面，

且平面，所以平面平面.

（2）以为原点、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则，

可得，

设平面的法向量为，则，

取，则，可得，

设直线与平面的夹角为，

则，

所以直线与平面夹角的正弦值为.

20．(1)

(2)是定值，定值为

【分析】（1）根据的周长，离心率结合椭圆的定义得到关于的方程，再结合，解方程即可得出答案；

（2）当直线斜率存在时，设其方程为，由直线与圆：相切可得③，再联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理表示出，将③代入化简即可得出，的斜率之积为定值；当直线的斜率不存在时，求出的坐标，由斜率公式也可验证.

【详解】（1）由题知，①

由椭圆定义知，是线段的中点，是线段的中点，，

的周长为②

由①②解得，

椭圆的标准方程为.

（2）设，当直线斜率存在时，设其方程为，

由直线与圆：相切，得，③，

将代入，整理得.

，，

，

当直线的斜率不存在时，，则，

综上，直线的斜率之积为定值，定值为-1.

【点睛】方法点睛：探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.

21．(1)答案见解析

(2)有且只有一个零点，理由见解析

【分析】（1）利用导数分类讨论含参函数的单调性即可；

（2）利用导数分析函数的单调性，从而求出极值，即可判断函数的零点个数.

【详解】（1）由题知，.

当时，当时，；当时，，

在区间上是㺂函数，在区间上是增函数；

当时，；当或时，；当时，；

在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间上是增函数；

当时，在区间上是增函数；

当时，；当或时，；当时，；

在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间上是增函数；

综上所述，当时，在区间上是减函数，在区间上是增函数；

当时，在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间上是增函数；

当时，在区间上是增函数；

当时，在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间上是增函数.

（2）由（1）知，，定义域为，

，设，

在区间上是增函数，

存在唯一，使，即，

当时，，即；当时，，

即；当时，，即，

在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间上是增函数，

当时，取极大值为，

设，其知在区间上是减函数.

在内无零点，

在内有且只有一个零点，

综上所述，有且只有一个零点.

【点睛】用导数研究函数零点个数问题，主要是由导数确定函数的单调性，然后结合零点存在定理得零点个数．难点是在确定零点存在时，零点两边函数值异号时点的取得．

22．(1)

(2)

【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程转换为极坐标方程即可.

（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用，点到直线的距离公式和三角形的面积公式求出结果.

【详解】（1）由（为参数）得，

（为参数），

消去得，，即，

将代入上式得，，

曲线的极坐标方程为.

（2）设，

将代入得，

则，

由题知，直线的直角坐标方程为，

由（1）知曲线是圆心为，半径为2的圆，

圆心到直线的距离为，

点到直线距离的最大值为，

面积的最大值为.

23．(1)

(2)

【分析】（1）范围根据x的取值展开，解出不等式即可；

（2）根据绝对值的性质求出的最小值，代入上式利用基本不等式求解即可.

【详解】（1）由题知，原不等式等价于

或或，

解得不等式的解集为

（2），

当且仅当时，，

，

，

当且仅当，即时，.