高中数学（理）易错知识清单



理科数学


一、集合与常用逻辑用语


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1.集合的概念与运算

（1）解题时要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素（集合是点集、数集还是图形集）.

（2）集合中的元素具有确定性、无序性和互异性，在求解有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性.

（3）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，要时刻注意对空集的讨论，防止漏解.

（4）解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系.（5）Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.

（6）处理集合问题时，一定要注意检验结果是否与题设相矛盾.

2.命题及其关系、充分条件与必要条件

（1）当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.

（2）判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若

p 则 q”的形式.

（3）判断条件之间的关系时要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是 q”等语言.

3.简单的逻辑联结词、命题的否定与否命题

（1）p∨q 为真命题，只需 p、q 有一个为真即可;p∧q 为真命题，必须 p、q 同时为真.

（2）p 或 q 的否定：非 p 且非 q;p 且 q 的否定:非 p 或非 q.

（3）命题的否定与否命题：

“否命题”是对原命题“若 p，则 q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论;“命题的否定”即“非 p”，只是否定命题 p 的结论.

二、函数与导数

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1.分段函数

在求分段函数的值 f (x0 ) 时，要先判断 x0 属于定义域的哪个子集，然后代入相应的关系式；

分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.

2.函数的单调性与最值

（1）区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者是指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.

（2）函数的单调区间不一定是整个定义域，可能是定义域的子集，但一定是连续的.

（3）函数的额单调性是针对定义域内的某个区间而言的，函数在某个区间上是单调函数，


1
但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数 y= x 在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数，但在定义域上不具有单调性.

（4）若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集.例如，函数 f(x)在区间(-1，0)上是减函数，在（0，1）上也是减函数，但在(-1，0)∪(0，1)上却不
一定是减函数，如函数 f (x) = 1x .

3.函数的奇偶性与周期性

（1）f(0)=0 既不是函数 f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.

（2）判断分段函数的奇偶性要有整体的观点，可以分类讨论，也可以利用图象进行判断.

4.二次函数与幂函数

（1）对于函数 y = ax2 + bx + c ，要认为它是二次函数，就必须满足 a≠0，当题目条件未说明 a≠0 时，就要讨论 a=0 和 a≠0 两种情况.

（2）幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.

5.指数与指数函数

（1）指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分 a>1 和 00，在无 M>0 的条件下应为 loga M a = a loga M |(α为偶数).


（2）指数函数 y = a x (a>0，且 a≠1)与对数函数 y = loga x (a>0，且 a≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.

（3）解决与对数函数有关的问题时需注意两点：①务必先研究函数的定义域;②注意对数底数的取值范围.

7.函数的图象

（1）函数图象的每次变换都是针对自变量“x”而言，如从 f(-2x)的图象到 f(-2x+1)的图象是向右平移 12 个单位，即把 x 变成 x- 12 .

（2）当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确性进行求解，解题过程中要注重数形结合思想的运用.

8.函数与方程

（1）函数 f(x)的零点是一个实数，是方程 f(x)=0 的根，也是函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点的


横坐标.

（2）函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件;判断零点个数还要依据函数的单调性、对称性或结合函数图象.

9.函数模型及其应用

（1）函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以要正确理解题意，选择适当的函数模型.

（2）要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域.

（3）注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.

10.导数的概念及运算

（1）利用公式求导时要特别注意除法公式中分子中的符号，防止与乘法公式混淆.复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导.

（2）求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过点 P 的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.

（3）曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个.

11.导数与函数的单调性、极值、最值

（1）求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减小失分的可能性.

（2）求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论.（3）解题时要注意区别求单调性和已知单调性的问题，处理好 f ′(x)=0 时的情况;区分极值点和导数为 0 的点.

12.导数的综合应用

（1）若函数 f(x)在某个区间内单调递增，则 f ′(x)≥0，而不是 f ′(x)>0(f ′(x)=0 在有限个点处取到).

（2）利用导数解决实际生活中的优化问题时，要注意问题的实际意义.

13.定积分

（1）被积函数若含有绝对值符号，应先去绝对值符号，再分段积分.

（2）若定积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是积分变量.

（3）定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限.

（4）定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意面积非负，而定积分的结果可以为负.

（5）将要求面积的图形进行科学而准确地划分，可使面积的求解变得简捷.

三 、数列


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1.数列的概念及简单表示法

（1）数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如

数列 an = f (n) )和函数 y = f (x) 的单调性是不同的.

（2）数列的通项公式不一定唯一.

2.等差数列及其前 n 项和

（1）当公差 d≠0 时， an 是 n 的一次函数，当公差 d=0 时， an 为常数.


（2）公差不为 0 的等差数列的前 n 项和 sn 是 n 的二次函数，且常数项为 0.若某数列的前 n

项和 Sn 是常数项不为 0 的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列.

3.等比数列及其前 n 项和

（1）注意等比数列中的分类讨论.

（2）由 an+1 = q · an (q≠0)，并不能判断数列｛ an ｝是等比数列，还要验证 a1 是否为 0.

4.数列求和

（1）直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数时，应对公比是否为 1 进行分类讨论.

（2）在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如 an，an+1 的式子要合并.

（3）在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项后剩多少项.

四、三角函数


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1.任意角的三角函数

（1）注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于 90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二类、第三类是区间角.

（2）角度制与弧度制可利用 180°=π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.

（3）已知三角函数值的符号确定角的终边位置时不要遗漏终边在坐标轴上的情况.

2.同角三角函数的基本关系与诱导公式

（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤为：去负—脱周—化锐.要特别注意函数名称和符号的确定.

（2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.

（3）注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化.

3.三角函数的图象与性质

（1）闭区间上最值或值域问题，要先在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.

（2）要注意求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0 时的情况.

（3）三角函数的最值不一定在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的.

4.函数 y=A sin(ωx+φ)的图象及应用

（1）由函数 y=sin x 的图象经过变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象，如先伸缩，再平移时，要把 x 前面的系数提取出来.

（2）复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx+φ看作一个整体.若ωbÞ ac>bc 或 abn，对于正数 a、b 才成立.
a >1 Û a>b，对于正数 a、b 才成立.
（4） b
（5）注意不等式性质中“Þ ”的区别，如 a>b，b>c a>c，反过来 a>c，不能

推出 a>b，b>c.

（6）作商法比较大小时，要注意两式的符号.

（7）求范围问题时，如果多次利用不等式，则可能扩大变量的取值范围.

2.不等式的解法及应用

（1）对于不等式 ax2+bx+c>0，求解时不要忘记讨论 a=0 时的情况.
（2）当 0(a≠0)的解集为 R 还是空集.
（3）对于含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.
（4）注意用“根轴法”解整式不等式的注意事项及解分式不等式 f (x) >a(a≠0)的一般思路

g (x)

——移项通分.

（5）求解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”.注意：求解完之后要写上“综上，原不等式的解集是……”;若按参数讨论，最后应按参数


取值分别说明其解集;若按未知数讨论，最后应求并集.

提醒：①解不等式就是求不等式的解集，最后务必用集合的形式表示;

②不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.

（6）解决恒成立问题一定要弄清谁是主元，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.

3.二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

（1）画二元一次不等式（组）表示的平面区域时，避免错误的重要方法就是使二元一次不等式（组）标准化.
z
（2）通过求直线的截距 b 的最值间接的求 z 的最值时，要注意：当 b>0 时，若截距 b 取最

大值，则 z 也取最大值，若截距
z
取最小值，则 z 也取最小值；当 b0,反之不成立;若两个向量的夹角为钝角，则有a·bb>0）点的坐标为 P(x,y)，则｜x｜≤a,这往

a2 b2

往在求与点 P 有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.

（3）区分双曲线中的 a，b，c 大小关系与椭圆中的 a，b，c 大小关系，在椭圆中 a2＝b2＋ c2 ，而在双曲线中 c2＝a2＋b2.
（4）双曲线的离心率 e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率 e∈(0,1)．

（5）双曲线
x2
-
y2

＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是 y＝±
b
x，
y2
-
x2
＝1 (a>0，b>0)的渐




a

a2
b2

a2
b2





a





近线方程是 y＝ y =
±
x .



















b






（6）求抛物线的标准方程时一般用待定系数法求出 p 值，但要先判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程．


（7）注意应用抛物线的定义解决问题．

（8）求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系．检验可从以下两个方面进行：一是方程的变形是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义．

（9）求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求.求点的轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明点的轨迹的形状、位置、大小等．

5.直线与圆、圆锥曲线的位置关系

（1）直线与双曲线交于一点时，其位置关系不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.

（2）在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情.（3）若利用弦长公式计算问题，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．

（4）对于中点弦问题，可以利用“点差法”求解，但不要忘记验证 >0 或说明中点在曲线内部．


九、计数原理


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1.两个计数原理

（1）切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．

（2）分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．

（3）确定题目中是否有特殊条件限制．

2.排列与组合

（1）解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，然后利用两个计数原理做最后处理．

（2）解受条件限制的组合题时，通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决.分类标准应统一，避免出现重复或遗漏现象．

（3）对于选择题要谨慎处理，注意答案的不同等价形式.处理选择题可采用排除法，错误的答案会有重复或遗漏现象.

3.二项式定理

（1）项的系数与 n 和 a，b 的值有关，二项式系数只与 n 有关，且大于 0(n 为项数).（2）求二项式系数的和，可采用“赋值法”．

（3）关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种不同算法．（4）展开式中第 k＋1 项的二项式系数与第 k＋1 项的系数一般是不相同的.在具体求各项的系数时，一般先确定符号，再确定数值；确定符号时对根式和指数的运算要细心，以防出错.

十、概率与统计


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1.随机事件的概率

（1）正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．


（2）需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义.

2.古典概型

（1）古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是不是等可能的．

（2）概率的一般加法公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．

提示：①公式的作用是求 A∪B 的概率，当 A∩B＝ 时，A、B 互斥，此时 P(A∩B)＝0，所

以 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；②要计算 P(A∪B)，需要求 P(A)、P(B)，更重要的是确定事件 A ∩B，并求其概率；③该公式可以看作一个方程，知三可求一.

3.几何概型

（1）准确把握几何概型的“测度”是解题关键.

（2）几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.

4.二项分布

（1）运用公式 P(AB)=P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件 A、B 相互独立时，公式才成立.

（2）独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等.注意恰好与至多（少）的关系，灵活运用对立事件.

5.离散型随机变量的均值与方差、正态分布

（1）会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．

（2）对于实际应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差．

（3）解决正态分布问题有三个关键点:①对称轴 x=μ;②标准差σ;③分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ,σ,分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为 3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为 x=0.

6.随机抽样

（1）系统抽样的特点：适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会相等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样．

（2）进行分层抽样时应注意以下几点：

①分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，两

层之间的样本差异要大，且互不重叠.

②为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同.

7.用样本估计总体
（1）频率分布直方图的纵坐标为 频率 ，每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内

组距

的频率.

（2）条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误.

8.变量间的相关关系、统计案例

（1）相关关系与函数关系不同．函数关系中的两个变量间是一种确定性关系．例如正方形面积 S 与边长 x 之间的关系 S＝x2 就是函数关系．相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．例如商品的销售额与广告费是相关关系．两个变量具有相关关系是回归分析的前提．

（2）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义，根据回归方程进行预报，得出的仅是一个预报值，而不是真实发生的值.






十一、算法、复数、推理与证明

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1.算法

（1）注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同.

（2）注意条件结构与循环结构的联系：循环结构具有重复性，条件结构具有选择性没有重复性，并且循环结构中必定包含一个条件结构，用于确定何时终止循环体.

（3）对条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时时执行两个分支.

（4）循环语句有“直到型”与“当型”两种，要区别两者的异同，循环语句主要解决需要反复执行的任务，要理解循环结构中各变量的具体含义及变化规律.（5）关于赋值语句，有以下几点需要注意：

①赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如 3=m 是错误的.

②赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例

如 Y=x，表示用 x 的值替代变量 Y 的原先的取值，不能改写为 x=Y.因为后者表示用 Y 的值替代变量 x 的值.

③在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现多个“=”.

（6）应用循环结构解决问题时，一定要注意两个变量 i 和 S 的初始值及运算变量到底是什么，它递增的值是多少，即“步长”为多少，由输出的结果来判断对应的判断条件到底是什么，明确哪儿是计数器，哪儿是赋值器，注意循环体内各语句不能随意颠倒，准确判断结束

循环的条件，必要时，要对“边界”单独检验.

2.复数

（1）判定复数是实数，仅注重虚部等于 0 是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.

（2）对于复系数（系数不全为实数）的一元二次方程的求解，判别式不再成立.因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解.

（3）两个虚数不能比较大小.

（4）利用复数相等 a+bi=c+di 列方程时，注意 a,b,c,d∈R 的前提条件.

（5）在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合.

（6）注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如，若 z1，z2∈

C,z12+z22=0，就不能推出 z1=z2=0；z2m 的解集为 ，则 f(x)≤m 恒成立.

（7）用反证法证明命题时，推出的矛盾必须是明显的.放缩法的依据是不等式的传递性，运用放缩法证明不等式时，要注意放缩适度，放得过大或缩得过小都不能达到证明目的，常用的放缩方法有：①舍去或添加一些已知正负的项；②将分子或分母放大或缩小.


十三、常用数学思想方法


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1.转化与化归思想

（1）注意转化的等价性，保证逻辑上正确；

（2）注意转化的多样性，设计合理的转化方案；

（3）注意紧盯化归目标，保证化归的有效性、规范性.设计化归目标时，通常以教材中的基础知识、基本方法为依据，把要解决的问题化归为规律问题.

2.分类讨论思想

（1）根据问题实际，做到分类不重复不遗漏；

（2）熟练掌握基本知识、基本方法和基本技巧，并做到融会贯通，这是解决分类讨论问题的前提；

（3）不断总结经验和教训，克服分类讨论中的主观性和盲目性.

3.数形结合思想

（1）由数想形时，要注意“形”的准确性，这是数形结合的基础；

（2）数形结合，贵在结合，要充分发挥两者的优势，“形”有直观、形象的特点，但代替不了具体的运算和证明，在解题中往往提供一种数学解题的平台或模式，而“数”才是真正的主角，若忽视这一点，很容易造成对数形结合的谬用.

4.函数与方程思想

（1）在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何中的弦长公式等，当题目与这些问题有关时，就需要根据这些公式或定理列方程或方程组求解需要的量.

（2）当问题中涉及一些变量时，就需要建立这些变量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想.

（3）函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题来解决，如解

方程 f(x)=0 就是求函数 y=f(x)的零点，方程 f(x)=g(x)的解的问题可以转化为函数 y=f(x)与 y=g(x)

的交点问题，也可以转化为函数 y= f(x)-g(x)与 x 轴的交点问题.