江苏省扬州中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题及答案

这是一份江苏省扬州中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题及答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

江苏省扬州中学高二数学5月考试卷
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．如果，，三点共线，那么（      ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．的展开式中的系数为（      ）
A． B．32 C．8 D．
3．已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是（     ）
A． B． C． D．
4．算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国传统的计算工具：现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）.如果拨动图1算盘中的两枚算珠，则表示的数字大于50的概率为（     ）

A． B． C． D．
5．由组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（     ）个
A．360 B．192 C．312 D．240
6．已知P（B）=0.3，，，则=（     ）
A． B． C． D．
7．为了预防肥胖，某校对“学生性别和喜欢吃甜食”是否有关做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢吃甜食的人数占男生人数的，女生喜欢吃甜食的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢吃甜食与和性别有关，则被调查的男生人数可能是（     ）
参考公式及数据：，其中.
附：

0.05
0.010


3.841
6.635
A．7 B．11 C．15 D．20
8．已知，，，则下列排序正确的是（     ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
9．下列命题正确的是（     ）
A．对于事件A，B，若，且，，则
B．若随机变量，，则
C．相关系数r的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关程度越强
D．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越好
10．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（     ）
A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有18种
C．甲乙不相邻的排法种数为72种
D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
11．已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法正确的有（     ）
A． B．，且为偶数时，
C．时，随着的增大而增大 D．时，随着的增大而减小
12．如图所示，圆锥PO中，PO为高，AB为底面圆的直径，圆锥的轴截面是面积等于2的等腰直角三角形，C为母线PA的中点，点M为底面上的动点，且OM⊥AM，点O在直线PM上的射影为H．当点M运动时，（     ）
A．三棱锥M-ABC体积的最大值为 B．直线CH与直线PA垂直不可能成立
C．H点的轨迹长度为π D．AH+HO的值小于2

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知随机变量服从正态分布，且，则的展开式中的系数为_______.
14．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，则点C到平面的距离等于_______.
15．定义在R上的奇函数满足，，且当时，，则_______．
16．某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．记件产品中恰有件不合格品的概率为，则取最大值时，_______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.
17．现有7本不同的书准备分给甲、乙、丙三人.
(1) 若甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得4本，则不同的分配方法有多少种？
(2) 若甲、乙、丙三人中，一人得3本，另外两人每人得2本，则不同的分配方法有多少种？

18．在①，②二项式系数之和为64，③二项式系数最大项仅为第4项这三个条件中任选一个，补充在下面横线中，已知，　　　　　，求:
(1) n的值;
(2)的值.

19．设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm，测得的一些数据如下表所示：
第x天
1
2
3
4
5
6
7
高度ycm
0
4
7
9
11
12
13
作出这组数据的散点图发现：y（cm）与x（天）之间近似满足关系式.
(1) 试借助一元线性回归模型，根据所给数据，求出y关于x的线性回归方程；
(2) 在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3个点，记这3个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望.
附：回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式，分別为，


20．新能源汽车是中国战略新兴产业之一，政府高度重视新能源产业的发展，某企业为了提高新能源汽车品控水平，需要监控某种型号的汽车零件的生产流水线的生产过程，现从该企业生产的该零件中随机抽取100件，测得该零件的质量差（这里指质量与生产标准的差的绝对值）的样本数据统计如下表.
质量差（单位：）
56
67
70
78
86
件数（单位：件）
10
20
48
19
3
(1) 求样本平均数的值；根据大量的产品检测数据，得到该零件的质量差（这里指质量与生产标准的差的绝对值）X近似服从正态分布，其中的近似值为36，用样本平均数作为的近似值，求概率的值；
(2) 若该企业有两条生产该零件的生产线，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的生产效率的两倍. 若第1条生产线出现废品的概率约为0.015，第2条生产线出现废品的概率约为0.018，将这两条生产线生产出来的零件混放在一起，这两条生产线是否出现废品相互独立.现从该企业生产的该零件中随机抽取一件.（i）求该零件为废品的概率； （ii）若在抽取中发现废品，求该废品来自第1条生产线的概率.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，


21．如图，在多面体中，侧面为菱形，侧面为直角梯形，分别为的中点，且.
(1)证明：平面；
(2)若平面平面，多面体的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.


22．已知函数．
(1)当时，证明：当时，；
(2)当时，恒成立，求a的取值范围．
参考答案：
1．D
【分析】确定，，根据共线得到，计算得到答案.
【详解】即，，
，，三点共线，故，
即，解得，，，故.
故选：D
2．A
【分析】由题设写出展开式通项，进而确定的值，即可求其系数.
【详解】由题设，展开式通项为，
∴时，的系数为.
故选：A
3．D
【分析】利用空间共面向量定理及基底的概念判断即可.
【详解】∵，，∴与共面，故A，B错误；
∵，∴与共面，故C错误；
∵是基底，∴不存在使成立，
∴与不共面，故可以与构成空间的一组基底，故D正确.
故选：D.
4．B
【分析】根据给定条件分类探求出拨动两枚算珠的结果，从而得到表示不同整数的个数和表示的数字大于50的个数，再根据古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】拨动图1算盘中的两枚算珠，有两类办法，
第一类，只在一个档拨动两枚算珠共有4种方法，表示的数字分别为；
第二类，在每一个档各拨动一枚算珠共有4种方法，表示的数字分别为，
所以表示不同整数的个数为8.
其中表示的数字大于50的有共3个，
所以表示的数字大于50的概率为.
故选：B
5．D
【分析】根据题意可分为两类：个位数字为和个位数数字为或，结合排列、组合数的公式，即可求解.
【详解】解：根据题意可分为两类：个位数字为和个位数数字为或，
当个位数字为时，小于的偶数有个；
当个位数字为或时，小于的偶数有个，
所以小于的偶数共有个.
故选：D.
6．A
【分析】根据已知利用全概率公式得，即可求解.
【详解】由全概率公式可得：
可得，解得：.
则.
故选：A.
7．C
【分析】设男生的人数为：，根据题意可列出列联表，由公式求出，由求出的取值范围，可得答案.
【详解】由题意被调查的男女生人数相同，设男生的人数为：，由题意可列出列联表：

男生
女生
合计
喜欢吃甜食



不喜欢吃甜食



合计



.
由于有的把握认为是否喜欢吃甜食和性别有关，
所以；解得：，因为，
所以选项ABC错误，选项D正确.
故选：D.
8．A
【分析】先直接计算得的值，构造函数，利用导数研究其单调性得到，再利用二项式定理求得的值，从而得解.
【详解】因为，，
令，则，
故在上单调递减，
所以，即，故，
因为
，
所以，即.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是构造函数证得，再利用二项式定理求得，从而得解.
9．AC
【分析】对于A，根据事件之间的关系，可得概率计算，结合条件概率的计算公式，可得答案；对于B，根据正态分布的性质，利用其对称性，可得答案；对于C，根据相关系数的性质，可得答案；对于D，根据残差图的性质，可得答案.
【详解】对于A，由，则，故，故A正确；
对于B，由随机变量，则随机变量满足的正态分布曲线关于直线对称，
故，，
，故B错误；
对于C，根据相关系数的性质，可得C正确；
对于D，根据残差图的性质，可知宽度越窄表示回归效果越好，故D错误.
故选：AC.
10．ACD
【分析】根据题意，由捆绑法，插空法，特殊元素优先处理法，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A，甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，将甲乙看成一个整体，与丙，丁，戊全排列，有种排法，A正确；
对于B，若甲站在最左端，乙和丙，丁，戊全排列，有种排法，
故B错误；
对于C，先将丙，丁，戊三人排成一排，再将甲乙安排在三人的空位中，有种排法，C正确；
对于D，甲，乙，丙，丁，戊五人全排列有种排法，
甲乙丙全排列有种排法，则甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，故D正确.
故选：ACD.
11．AC
【分析】根据二项分布的概率公式判断A、C、D，根据组合数公式判断B.
【详解】因为，所以，且，
对于A：由二项分布可知，故正确；
对于B，由时，，则
所以，
，
所以，故B不正确，
对于C、D：，
当时，，且为正项且单调递增的数列，
故随着的增大而增大，故C正确，
当时，，且为摆动数列，故D不正确.
故选：AC
12．ACD
【分析】根据圆锥体积公式结合最值判断A选项，由已知得出矛盾判断B选项，由线面垂直得出轨迹判断C选项，结合不等式判断最值判断D选项.

【详解】设圆锥的底面半径为R，高为h，母线长为l．
由已知，圆锥的轴截面为面积等于2的等腰直角三角形，则其面积，解得l=2，所以．
对于A项，如图2，由OM⊥AM可知，点M在以OA为直径的圆上．
因为，所以点M到平面PAB距离的最大值为．

易知，故三棱维M-ABC体积的最大值为，故A正确．
对于B项，易知PO⊥平面AMB，AM平面AMB，所以AM⊥PO，又AM⊥OM，OM∩PO=O，OM平面POM，PO平面POM，
所以AM⊥平面POM，又OH平面POM，则AM⊥OH，
又OH⊥PM，PM∩AM=M，AM平面PAM，PM平面PAM，则OH⊥平面PAM，又PA平面PAM，则OH⊥PA，
由△PAB是等腰直角三角形，可得PO=OA，即△POA为等腰三角形，连接OC，又C为PA的中点，故PA⊥OC，
又OH∩OC=O，OH平面OHC，OC平面OHC，则PA⊥平面OHC，所以PA⊥CH恒成立，故B项不正确．
对于C项，由B项可知PA⊥平面OHC，又OH⊥平面PAM，HC平面PAM，所以OH⊥HC，过点C且与PA垂直的平面仅有一个，则H点的轨迹为以OC为直径的圆（除去O，C两点）．
又，则H点形成的轨迹周长为π，故C项正确.
对于D项，设，由B项可知CH⊥PA，CH⊥OH，则，．
所以，则AH+HO的值小于2，D项正确．
故选:ACD．
13．
【分析】根据正态分布的性质求，结合二项式定理展开式的通项公式求展开式中的系数.
【详解】因为随机变量服从正态分布，且，
所以，故，
二项式展开式的通项，
令，可得，
所以展开式中的系数为，
故答案为：.
14．
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离.
【详解】
如图，建立空间直角坐标系，则，，，，
，，设平面的一个法向量为，
，即，取，又，
所以点到面的距离，
故答案为：.
15．1012
【分析】根据函数的奇偶性、周期性求解即可.
【详解】因为是奇函数，且，
所以，
故是周期为4的周期函数．
所以，
令,可得，所以，
因为函数为奇函数且周期为4，所以，
则，
则．
故答案为:1012.
16．/
【分析】利用独立重复试验的概率可得出的表达式，利用导数法可求得函数取最大值对应的值.
【详解】因为每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立，
所以，件产品中恰有件不合格品的概率为，
则
，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
故当时，取最大值.
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）首先将7本书分成1本、2本、4本（不平均分组），再将三组作全排即可得结果；
（2）首先将7本书分成3本、2本、2本（部分平均分组），再将三组作全排即可得结果；
【详解】（1）首先将7本书分成1本、2本、4本，共三组有种，
再将三组分给甲、乙、丙三人有种，
所以共有种.
（2）首先将7本书分成3本、2本、2本，共三组有种，
再将三组分给甲、乙、丙三人有种，
所以共有种.
18．(1)6；
(2)63.
【分析】（1）选①，根据二项式通项列方程可解；选②，根据二项式系数和列方程可解；选③，根据二项式系数的性质可解；
（2）先根据二项式通项表示出，然后带入目标式由二项式系数和可得.
【详解】（1）若选①，因为，所以=60，化简可得=30，且，解得n=6.
若选②，则，∴n=6.
若选③，则+1=4，∴n=6.
（2）由（1）知，n=6
的展开式通项，所以，
所以

==63
19．(1)
(2)分布列见解析，数学期望.
【分析】（1）由y关于x的回归直线方程的计算公式求得结果；
（2）利用超几何分布概率公式计算，求得随机变量的分布列，并根据分布列，利用数学期望计算求得期望值.
【详解】（1）由表格数据，得，
，
则，
所以，
所以y关于x的线性回归方程为.
（2）7天中幼苗高度大于的有4天，小于等于8的有3天，
从散点图中任取3个点，即从这7天中任取3天，
所以这3个点中幼苗的高度大于的点的个数的取值为0，1，2，3，
；；
；；
所以随机变量的分布列为：










随机变量的期望值.
20. (1)，
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）先由表格计算平均数，再根据正态分布三段区间公式计算概率即可；
（2）（i）根据全概率公式计算即可，（ii）根据贝叶斯公式计算即可.
【详解】（1）
由得：


（2）（i）设“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”，
“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”，
“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”，
则由题意可知，
又，
于是
.
（ii）.
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，易证四边形为平行四边形，则有，再由线面平行的判定证结论；
（2）由题设及面面、线面垂直的性质可得、，线面垂直的判定有平面，连接得到为三棱柱，设，用表示多面体的体积求参，构建空间直角坐标系，向量法求直线与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）取的中点，连接，则为的中位线，
所以，且，又，且，
所以，且，即四边形为平行四边形，
所以，又平面平面，
故平面.
（2）连接，在菱形中，则.
在直角梯形中，所以，
因为面面，面面面，
所以平面，又平面，故，
又，面，所以平面.
连接，因为，即，且，
所以为平行四边形，且，则为三棱柱，
设，则，三棱柱的体积.
连接，则三棱锥的体积.
取中点，连接，则，
面面，面面面，则面，
所以三棱锥的体积，
由多面体的体积为，得：，解得.
综上，两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，
，，
设面的法向量为，由，令，则，
设直线与平面所成角为，所以，
故直线与平面所成角的正弦值为.
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）法一：求导后利用放缩法得到，故；
法二：多次求导，结合隐零点，得到先增后减，结合端点值的符号，得到在上恒成立，求出；
（2）法一：构造，变形后结合，，，且在处取等号，得到时，符合题意，时，结合函数单调性及零点存在性定理得到矛盾，求出答案；
法二：构造，求导后考虑，利用放缩法及函数单调性可证，再考虑，由在单调递增，且，分与两种情况，进行求解，得到答案.
【详解】（1）法一：首先证明，，理由如下：
构造，，
则恒成立，故在上单调递减，
故，所以，，
，，
，
故在上恒成立，
所以在单调递增，故
法二：，，
，且，
令，则，
令，则在上恒成立，
所以单调递减，
又，其中，故，
故，使得，且当时，，当时，，
所以先增后减，又，，
∴在上恒成立，
所以单调递增，；
（2）法一：，
，
下证：，，，且在处取等号，
令，则，故单调递增，
故，且在处取等号，
在（1）中已证明；
令，则，故单调递增，
故，且在处取等号，
当时，，
当时，即时，符合题意，
当时，，
，，
其中当时，，，，
故，
令，，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
故，使得，在单调递减，
故与矛盾，舍去；
综上：a的取值范围为；
法二：，，，
①当时，，，
在单调递增，且符合题意，
②当时，在单调递增，，
③当时，即时，
  在单调递增，符合题意，
②当时，即时，，
，，
其中当时，，，，
故，
令，，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
故，使得，在单调递减，
故与矛盾，舍去；
综上：a的取值范围为.
【点睛】方法点睛：隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.