衡水金卷先享题考前悟题——新教材新高考数学考前悟题

新高考数学

1.2022年12月4日20时09分，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功.某学校为了激励高三学生挑战自我、追逐梦想，决定将180个飞船模型分成八份，并奖励给在期末考试中平均分排名前八的高三班级，排名越靠前所得奖励越多.若每个班级所得飞船模型的数量成等差数列，且排名前两名的班级所得模型数量之和的等于排名后两名的班级所得模型数量之和，则模型数量最少的一份为（  ）

A．5个 B．10个            C．15个            D．20个

2.（多选）在长方体中，点分别在棱上，且记平面截该长方体所得的截面多边形为，平面与侧面、底面相交所得的线段分别为,则（     ）

A.截面为五边形

B.异面直线m与BC所成的角为

C.线段m的长度为

D.线段n的长度为

3.已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为，轴于点,且.当最大时，点恰好在上，则的离心率为       .

4.如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，，且，点为棱的中点.

(1)求线段的长；

(2)求直线与平面所成角的余弦值.

5.已知函数，R．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围．

参考答案：

1.A【解析】设每个班级所得模型的数量按从小到大排列构成等差数列，首项为，公差为，由题意可得，解得所以模型数量最少的一份为5个.故选A.

2.ABD【解析】由题意可知，点分别为棱的四等分点，且.连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点，交CD的延长线于点，连接QK交于点,连接，则五边形即为截面多边形,故A正确；由图可知,线段m即为线段，线段n即为线段，由面面平行的性质得,所以（或其补角）即为异面直线m与BC所成的角，因为，所以解得，所以,所以，所以，故B正确；因为，所以，所以，所以,因为，,所以,所以,故C错误；，故D正确.故选ABD.

3.【解析】，点为线段的三等分点，设，，则，根据双曲线的对称性，不妨取，易知为锐角，当最大时，最大，又，，，，当且仅当，即时取等号,此时.当最大时，点恰好在上，，，即双曲线的离心率为.

4.解：（1）取的中点，连接，

，

四边形ABED为平行四边形，

，且，

又点M为棱PC的中点，,且.

平面，平面.

又平面，.

（2）由题可知，两两垂直，

以为坐标原点，所在直线分别为轴,建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，

，，.

设平面的法向量为，

则，

取，得.

设直线与平面所成的角为，

则，

，

直线与平面所成角的余弦值为．

5.解：(1)，，

.

当时，令，得；

令，得，

在上单调递增，在上单调递减；

当时，令，得；

令，得，

在上单调递减，在上单调递增.

综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

 (2)当时，不等式恒成立，

当时，恒成立.

令，，

则，

当时，；当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

.

令，则，

当时，恒成立，

等价于对任意恒成立，

即对任意恒成立，

即.

令，，

则，

在上单调递增，

，

，

即实数的取值范围为.