衡水金卷先享题考前悟题——新高考数学

新高考数学

1.为支援上海抗击新冠疫情，某医院从请战的4名男医生和2名女医生中随机选取3人派往上海某方舱医院.在已选中2名男医生的前提下，另外1名是女医生的概率是（  ）

A．          B．         C．            D．

2.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（  ）

A.       B.       C.      D.

3.(多选)如图1，在平面四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD=BD=2，，将沿对角线折起，使点A到达点的位置，得到三棱锥，则下列说法正确的是（  ）

         图1                          图2

A. 在折叠过程中，总有

B. 当时，平面平面

C. 存在点使得

D. 当二面角为时，三棱锥的外接球表面积为 

4.在①，②，③这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答.

已知等差数列的前项和为，，且          .

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

5.已知椭圆C：的右焦点恰好为圆F：的圆心，且圆F上的点到直线：的距离的最大值为．

(1)求C的标准方程；

(2)过点E(4,0)作直线交C于A,B两点，直线AF,BF与y轴的交点分别为P,Q,求证：为等腰三角形.

参考答案：

1.C【解析】记“选中2名男医生”为事件A，“另外1名是女医生”为事件B,从4名男医生和2名女医生中随机选派3人共有种方法，3人中已选中2名男医生共有种方法，3人中选中2名男医生1名女医生有种方法，则，，所以所求的概率为.故选C.

2.D【解析】由，得，即.当

时，，故不可能恒成立，所以. ，当时，，

显然成立.构造函数，易得，

当时，，单调递增，则当时，不等式恒成立，等价于恒成立，即对恒成立，进而转化为恒成立，设，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以函数的最大值为，所以，即实数的取值范围是. 故选D.

3.ABD【解析】如图，取BD的中点E，连接，

则由可得又，A正确；

当时，，

B正确；

由，可得,不可能为3，C错误；

设的外心为，则，过点，分别作平面的垂线，交于点，则即为四面体外接球的球心.∵二面角的平面角为，即，则.在中，，连接OD，则OD即为外接球的半径，则，∴该球的表面积为,D正确.故选ABD.

4.解：（1）设等差数列的公差为d,

由，得.

若选①：由，得，

又，解得

若选②：由，

得，

，，

若选③：，

则，，

由，得，，

.

（2）由（1）得，

，①

.②

①-②可得，

故.

5.解：（1）将圆F化为标准方程,得，圆心，半径，

椭圆的右焦点为F(1,0)，即，①

圆心到直线的距离，

圆F上的点到直线的距离的最大值为，

，② 

由①②解得,

∴椭圆C的标准方程为.

（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，

联立方程组，可得，

则，解得<

∴，，

分别记的斜率为，则

，

∴直线关于x轴对称.

∴(O为坐标原点)，

又，，

∴，∴，

即为等腰三角形.