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2023年四川省成都市金牛区中考数学二诊试卷（含解析）
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这是一份2023年四川省成都市金牛区中考数学二诊试卷（含解析），共53页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省成都市金牛区中考数学二诊试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共18小题，共72.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数中，比−2小的数是( )
A. − 2 B. |−3| C. 0 D. −4
2. 2022年世界杯在卡塔尔举办，为了办好这届世界杯，人口仅有280万的卡塔尔投资2200亿美元修建各项设施.数据2200亿用科学记数法表示为( )
A. 22×1010 B. 2.2×1010 C. 2.2×1011 D. 0.22×1012
3. 下列正面摆放的几何体中，左视图是三角形的是( )
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是( )
A. a3+a2=a5 B. a3⋅a2=a5 C. (a2)3=a5 D. a10÷a2=a5
5. 已知，如图，点C是以AB为直径的半圆O上一点，过点C作⊙O的切线CD，BD⊥CD于点D，若∠DCB=50°，则∠ABC的度数是( )
A. 25°
B. 40°
C. 45°
D. 50°
6. 合肥市某校九年级(1)、(2)班共有2名女生和3名男生分别被评为“智慧之星”，要从这5位学生中随机抽取一男一女两位学生做获奖感言，女同学杨玲和男同学张军恰好来自同一班级，则他俩同时被抽中的概率为( )
A. 13 B. 14 C. 110 D. 16
7. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D和点E分别是BC和AB上的点，已知DE⊥AB，sinB=45，AC=8，CD=2，则DE的长为( )
A. 3.2
B. 4
C. 4.5
D. 4.8
8. 已知a2−ca−1=0，b2−cb−1=0，若a≠b，则下列等式成立的是( )
A. a+b=−1 B. a+b=1 C. a−b=1 D. a−b=−1
9. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，交AC于点D，则cosA=( )
A. 5−14
B. 5+14
C. 5−12
D. 3− 52
10. 在等边△ABC中，AB=4、AD是中线，点E是BD上点(不与B、D重合)，点F是AC上一点，连接EF交AD于点G，CF=2BE，以下结论错误的是( )
A. 当EF//AB时，BE=43 B. 当EF⊥AC时，CE=4BE
C. EG≠FG D. 点G不可能是AD的中点
11. 在−1.5，−3，−1，−5四个数中，最大的数是( )
A. −1.5 B. −3 C. −1 D. −5
12. 如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成，其主视图大致是( )
A.
B.
C.
D.
13. 2022年，成都新改扩建幼儿园、中小学80所，新增学位82000个，新建人才公寓10000套、保障性租赁住房61000套，一批医疗卫生、公共服务等重大项目超额完成目标任务.将数据82000用科学记数法表示为( )
A. 8.2×103 B. 8.2×104 C. 8.2×105 D. 0.82×105
14. 下列计算正确的是( )
A. a6÷a3=a2 B. (4ab3)2=4a2b6
C. (a+b)(a−b)=a2−b2 D. (a−1)2=a2−1
15. 如图，OB是∠AOC内的一条射线，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F都不与O点重合，连接ED、EF，添加下列条件，能判定△DOE≌△FOE的是( )
A. ∠DOE=∠EOF，∠ODE=∠OEF
B. OD=OF，ED⊥OA，EF⊥OC
C. DE=EF，∠ODE=∠OFE
D. OD=OF，∠ODE=∠OFE
16. 若关于x的分式方程x−1x+1=ax+1−2有增根，则a的值是( )
A. −2 B. −1 C. 0 D. 1
17. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连结OA、AC，则∠OAC的大小是( )
A. 18°
B. 24°
C. 30°
D. 36°
18. 二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，与x轴的交点坐标为(1,0)和(−5,0)，下列说法正确的是( )
A. b2−4ac<0 B. x>0时，y的值随x值增大而减小
C. 对称轴是直线x=−3 D. 9a−3b+c<0
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共14小题，共60.0分）
19. − 64的立方根是______．
20. 因式分解：3a3−27ab2=______．
21. 如图，点P是双曲线y=mx(m是常数)上一点，点A，B是双曲线y=nx(n是常数)上一点，AP//x轴，BP//y轴，若四边形APBO的面积为9，则m−n ______ ．
22. Rt△ABC和Rt△DEF的位置如图，∠ACB=∠DFE=90°，AC=BC=EF=4，连接AE，且AC⋅DE=AE⋅DF，则：
(1)若∠EDF=α，则∠BAE= ______ (用含α的代数式来表示)；
(2)若BEEC=12，则GF的长为______ ．
23. 在一个不透明的箱子中有黄球和红球共6个，它们除颜色外都相同，若任意摸出一个球，摸到红球的概率为23，则这个箱子中红球的个数为______ 个.
24. 不等式组−2x<4x−1>0的解集是______
25. 如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，已知OAA′A=25，若四边形ABCD的周长为8，则四边形A′B′C′D′的周长为______ ．
26. 方程x2+x=2(x+1)的解是______ ．
27. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交AC于点E，再分别以点A、E为圆心，大于12AE长为半径作弧，两弧交点为M，作射线BM与AC交点为F，若∠ACB=35°，则∠FBD= ______ °.
28. 已知x+y=1，xy=−3，则x2+y2= ______ ．
29. 关于x的方程x2− mx+m−1=0有两个不同的实数根，则m的取值范围是______ ．
30. 正方形EFGH的顶点分别在正方形ABCD各边上，且AE=2ED，沿正方形EFGH各边将其周围的直角三角形向内翻折，得到四边形A′B′C′D′，现可在正方形ABCD区域随机取点，则点落在正方形A′B′C′D′区域的概率为______ ．
31. 在平面直角坐标系中，点P(m,y1)和点Q(m+1,y2)在抛物线y=x2−4mx+1上，若y1=y2，则m= ______ ；若y1
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
33. 随着我国数字化阅读方式的接触率和人群持续增多，数字阅读凭借独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径，目前，数字阅读已经成为当下更环保、更年轻的阅读方式，2019年中国数字阅读市场规模为293亿元，2021年为421.92亿元．
(1)求2019到2021年中国数字阅读市场规模的年平均增长率；
(2)预计2022年中国数字阅读市场规模是否可以达到510亿元？
四、解答题（本大题共16小题，共158.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
34. (本小题8.0分)
4sin45°− 8+|1− 3|−(−12)−1−(3−π)0．
35. (本小题8.0分)
某人利用网络直播销售甲、乙两种商品，预计用#替#换#一#换#替#元购进一批商品，其中乙种商品的个数是甲种商品的3倍少30个，甲、乙两种商品的单价分别为20元/个、30元/个.求这一批商品中甲、乙两种商品各有多少个？#
36. (本小题8.0分)
观察以下等式：
第1个等式：73×(2−33)=3−23；
第2个等式：137×(2−35)=3−25；
第3个等式：1911×(2−37)=3−27；
第4个等式：2515×(2−39)=3−29；
…
按照以上规律，解答下列问题：
(1)写出第5个等式：______；
(2)写出你猜想的第n个等式：______(用含n的等式表示)，并证明．
37. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，A(−1,0)，B(−2,−1)，C(0,−3)．
(1)以原点O为位似中心，相似比为2，作△ABC的位似图形，得到△A1B1C1，请在图中作出△A1B1C1(点A1，B1，C1分别为点A，B，C的对应点)；
(2)若将△ABC绕原点O逆时针旋转90°，得到△A2B2C2，请在图中作出△A2B2C2(点A2，B2，C2分别为点A，B，C的对应点)；旋转过程中，点B经过的路径长为______ ．
38. (本小题10.0分)
如图，△ACD内接于⊙O，CD为直径，射线OE⊥AC于点E，交⊙O于点F，过点A作⊙O的切线交射线OE于点B．
(1)当∠B=25°时，求∠D的度数；
(2)当AD=2，OEEF=12时，求BF的长．
39. (本小题12.0分)
教育部办公厅在《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中明确要求保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间，某校为了解本校九年级学生每天参加体育活动的情况，随机抽取了n名学生，对某一天的体育活动时间进行了调查，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．
调查结果的频数分布表
组别
时间1(分钟)
频数
A
30≤t<60
5
B
60≤t<90
a
C
90≤t<120
b
D
120≤t<150
12
E
t≥150
8
根据上述信息，解答下列问题：
(1)频数分布表中的a= ______ ，扇形统计图中C组所在的扇形的圆心角为______ 度；
(2)被抽取的n名学生这一天的体育活动时间数据的中位数在哪一组(直接写出组别即可)；
(3)若该校九年级共有720名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育活动时间不低于120分钟的学生人数．
40. (本小题12.0分)
某公园要在小广场建造一个喷泉景观.在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子OA，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距OA的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
(1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到OA水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
(2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子OA的距离为d米，求d的取值范围；
(3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子OA的正上方，其中光线BP所在的直线解析式为y=−x+4，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
41. (本小题14.0分)
如图1，在△ABC中，AB=AC，点D为BC延长线上一点，∠BAC=∠ADB．
(1)求证：AD=BD；
(2)作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为点E，F，DF交AC于点G．
①如图2，当AC平分∠BAD时，求CEDF的值；
②如图3，连接DE交AC于点H，当EH=HD，CD=2时，求AD的长．
42. (本小题12.0分)
(1)计算： 12−(12)−2+cos30°+( 3+1)0；
(2)先化简，再求值：(2x−1−1x)÷(1+x+1x2+x)，其中x= 2+1．
43. (本小题8.0分)
成都市近年大力推进老旧院落改造，将过去那些陈旧的、不便的设备设施进行更换和整改，为广大市民打造了宜居的环境.如图，某小区原有一段1.2米长的坡道AC，已知坡道AC与水平地面的夹角(∠ACE)等于30°，为满足无障碍通道的设计要求，改造后的坡道AD与同一水平地面的夹角(∠ADE)等于17°，求改造后的坡道在水平方向上延伸的距离CD.(结果精确到0.01)(参考数据： 3≈1.73，sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.30)
44. (本小题8.0分)
为了落实国家教育数字化战略行动有关要求，提升师生数字素养，我区决定组织开展2022−2023年度学生信息素养提升实践活动.某校九年级460名学生在“信息素养提升”培训后参加了一次水平测试，按评比标准将测试成绩全部折算成“6分”、“7分”、“8分”、“9分”和“10分”5个成绩.为了解培训效果，学校用抽样调查的方式从中选取了部分学生的测试成绩，绘制成下面两幅不完整的统计图：
(1)本次抽样调查的学生人数是______ ；本次抽样调查的测试成绩众数是______ ；
(2)若测试成绩为8分、9分和10分是“优秀”，试估计本校九年级学生测试成绩为“优秀”的人数；
(3)在本次抽样调查中，有2名男生和2名女生的测试成绩都为10分，现从他们中随机选取2人代表学校参加比赛，求选中的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．
45. (本小题10.0分)
AB为⊙O直径，AB=8，点C为AB的一点，过点C作⊙O的切线与BA的延长线交于点D，CD=3，点E是BC上一点，连结BE、CE，过点C作AB的垂线，交⊙O于点F，垂足为点H．
(1)求AD和FH的长；
(2)延长FC、BE交于点G，若CEBE=35，求CG的长．
46. (本小题10.0分)
一次函数y=−2x+6与反比例函数y=kx(k>0,k为常数)的图象交点为A(a,4)和点B，点C是反比例函数y=kx(k>0,k为常数)在第三象限内的图象上一点．
(1)求反比例函数的解析式和点B的坐标；
(2)若点C为直线OB与反比例函数的另一个交点，求△ACB的面积；
(3)我们将对角线相等且互相垂直的四边形称为“等直四边形”.如图2，在平面内一点D，AB//CD，且四边形ABCD为“等直四边形”，求点C的坐标．
47. (本小题8.0分)
《成都市“十四五”世界赛事名城建设规划》提出到2025年将每年举办国际和全国赛事达到50项以上，让体育运动深度融入人们日常生活.现需建造一处5100(m2)的多功能场馆，由甲、乙两个工程队合作完成.已知甲队比乙队每天多建造2(m2)，甲队建造900(m2)与乙队建造720(m2)所需天数相同，甲队施工每天费用为1000元，乙队施工每天费用为600元．
(1)求甲、乙两队每天建造的面积；
(2)该场馆先由乙队施工，然后由甲队完成剩余的施工，若甲队建造的面积不少于乙队建造面积的2倍，那么该场馆的建设费用至少需要多少元？
48. (本小题10.0分)
如图，Rt△ABC的顶点A(−1,0)，B(4,0)，直角顶点C在y轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)动点P从点A出发以2个单位/s的速度沿AB向点B运动，动点Q从点C出发以 5个单位/s的速度沿CB向点B运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，连接CP、PQ，当△CPQ的面积最大时，求点P的坐标及最大面积；
(3)如图2，过原点的直线与抛物线交于点E、F(点E在点F的左侧)，点G(0,4)，设直线GE的解析式为y=mx+4，直线GF的解析式为y=nx+4，试探究：m+n是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
49. (本小题12.0分)
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3．
(1)点D在BC边上，DE⊥AB，垂足为E，如图1，已知CD=DE，求BE的长；
(2)将(1)中的Rt△BDE绕点B顺时针旋转，连结CE，交直线AB于点G，在CE上方作∠FCE=∠ABC，∠FCE的边与AB交点为F．
①如图2，当点D落在CE上时，求BG的长；
②如图3，连结AD，延长CF交AD于点M，在Rt△BDE旋转的过程中，若点M落在BE的垂直平分线上，求此时AM的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：|−3|=3，|−4|=4,|− 2|= 2，|−2|=2，
∵42=16>22=4>( 2)2=2，
∴4>2> 2，
∴−4<−2<− 2<0<|−3|，
∴比−2小的数是−4，
故选：D．
根据实数的大小比较法则：正数大于0，负数小于0，正数总大于负数，负数绝对值大的反而小即可得答案．
本题考查了实数的大小比较法则，熟记比较法则是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：2200亿=220000000000=2.2×1011．
故选：C．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、左视图是等腰梯形，不符合题意；
B、左视图是长方形，不符合题意；
C、左视图是三角形，符合题意；
D、左视图是长方形，不符合题意；
故选：C．
根据几何体的特点及三视图的确定方法依次判断即可．
此题考查了几何体的三视图，正确掌握三视图的确定方法及几何体的特点是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A.a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；
B.a3⋅a2=a5，故本选项符合题意；
C.(a2)3=a6，故本选项不合题意；
D.a10÷a2=a8，故本选项不合题意．
故选：B．
利用合并同类项法则、同底数幂的乘除法以及幂的乘方的性质求解即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．
此题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方的性质．此题比较简单，注意掌握指数的变化是解此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：连接OC，如图，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°．
∵∠DCB=50°，
∴∠OCB=90°−∠DCB=40°，
∵OC=OB，
∴∠ABC=∠OCB=40°．
故选：B．
连接OC，利用圆的半径相等和切线的性质解答即可．
本题主要考查了圆周角定理，圆的有关性质，切线的性质定理，连接过切点的半径是常添加的辅助线．
6.【答案】C
【解析】解：列表图如下：
杨玲
女
男1
男2
张军
杨玲
杨玲、女
杨玲、男1
杨玲、张军
女
女、杨玲
女、男1
女、张军
男1
男1、杨玲
男1、女
男1、男2
男1、张军
男2
男2
男2、女
男2、男1
男2、张军
张军
张军、杨玲
张军、女
张军、男1
张军、男2
由表可知：共有20种等可能的结果，其中女同学杨玲和男同学张军恰好同时被抽中的结果有2种，
故女同学杨玲和男同学张军恰好同时被抽中的概率为：2÷20=110，
故选：C．
首先列出表格，再根据表格的情况，利用概率公式即可求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
7.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，
∴sinB=ACAB=45，即8AB=45，
解得AB=10，
∴BC= AB2−AC2=6，
∵CD=2，
∴BD=BC−CD=4，
∵DE⊥AB，
∴sinB=DEBD=45，即DE4=45，
解得DE=3.2．
故选：A．
先在Rt△ABC中根据正弦的定义和勾股定理可得AB=10、BC=6，进而得到BD=4，最后根据DE⊥AB运用正弦的定义即可解答．
本题主要考查了正弦的定义、勾股定理等知识点，灵活运用正弦的定义成为解答本题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵a2−ca−1=0，b2−cb−1=0，
∴a2−c−a=0，b2−c−b=0，
∴a、b相当于是关于x的一元二次方程x2−x−c=0的两个实数根，
∴a+b=1．
故选：B．
先推出a2−c−a=0，b2−c−b=0，进而得到a、b相当于是关于x的一元二次方程x2−x−c=0的两个实数根，由根与系数的关系即可得到a+b=1．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，若x1，x2是该方程的两个实数根，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca是关键．
9.【答案】B
【解析】解：如图，过B作BE⊥AC于E，
设CD=2a，
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=12(180°−∠A)=12(180°−36°)=72°，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=36°，
∴∠BDC=180°−36°−72°=72°，
∵∠C=∠C，∠CDB=∠ABC=72°，
∴△BDC∽△ABC，
∴BC：AC=CD：BC，
即BC2=CD⋅AC，
∵∠A=∠ABD=36°，∠C=∠BDC=72°，
∴CB=BD=AD，
∴AD2=CD⋅AC，
∴点D是线段AC的黄金分割点，
∴CDAD= 5−12，
∴AD=2CD 5−1=2×2a 5−1=( 5+1)a，
∴AB=AC=AD+CD=(3+ 5)a，
∵BE⊥AC，BD=CD，
∴DE=CE=12CD=a，
∴AE=AD+DE=(2+ 5)a，
∴cosA=AEAB=(2+ 5)a(3+ 5)a= 5+14，
故选：B．
过B作BE⊥AC于E，设CD=2a，证△BDC∽△ABC，得BC：AC=CD：BC，再证CB=BD=AD，然后证点D是线段AC的黄金分割点，求出AD=( 5+1)a，即可解决问题．
本题考查了黄金分割、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明点D为线段AC的黄金分割点是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：A、如图1中，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=∠BAC=60°，AB=CB=4，
∵EF//AB，
∴∠CEF=∠B=60°，∠CFE=∠BAC=60°，
∴△EFC是等边三角形，
∴CE=CF，
∵CF=2BE，
∴CE=2BF，
∴BE=13BC=43，故选项A正确，不符合题意．
B、如图2中，
∵EF⊥AC，
∴∠EFC=90°，
∵∠C=60°，
∴∠CEF=30°，
∴EC=2CF，
∵CF=2BE，
∴EC=4CF，故选项B正确，不符合题意；
C、如图3中，过点F作FJ⊥BC于点J．
在Rt△CFJ中，∠CFJ=30°，
∴CF=2CJ，
∵CF=2BE，
∴BE=CJ，
∵BD=CD，AB=AC，
∴AD⊥CB，
∴DE=DJ，
∵DG//FJ，
∴EG=FG，故选项C错误，本选项符合题意．
D、正确，若点G是AD的中点，
∵EG=FG，
∴四边形AEDF是平行四边形，显然不可能，故选项D正确，不符合题意．
故选：C．
A、正确，证明△ECF是等边三角形，可得结论；
B、正确．证明EC=2CF，可得结论；
C、错误，如图3中，过点F作FJ⊥BC于点J.证明DE=DJ，可以推出EG=FG；
D、正确．利用反证法证明即可．
本题考查等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握特殊三角形的性质，属于中考常考题型．
11.【答案】C
【解析】解：∵|−1.5|=1.5，|−3|=3，|−1|=1，|−5|=5，
且5>3>1.5>1，即|−5|>|−3|>|−1.5|>|−1|，
∴−5<−3<−1.5<−1，
即最大的数是−1．
故选：C．
根据负数比较大小的法则比较即可．
本题考查有理数大小比较中的几个负数比较，解题的关键是掌握负数比较大小的方法，本题还可将所给的几个负数在数轴上表示出来，再确定答案．
12.【答案】A
【解析】解：如图所示的几何体的主视图是：
．
故选：A．
从正面看：共有3列，从左往右分别有2，1，1个小正方形；据此可画出图形．
此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
13.【答案】B
【解析】解：82000=8.2×104．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14.【答案】C
【解析】解：a6÷a3=a3，故选项A错误，不符合题意；
(4ab3)2=16a2b6，故选项B错误，不符合题意；
(a+b)(a−b)=a2−b2，故选项C正确，符合题意；
(a−1)2=a2−2a+1，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
15.【答案】B
【解析】解：A、由∠DOE=∠EOF，∠ODE=∠OFE，OE=OE，能判定△DOE≌△FOE，故A不符合题意；
B、由ED⊥OA，EF⊥OC得到△DOE和△FOE是直角三角形，又OD=OF，OE=OE，由“HL”判定△DOE≌△FOE，故B符合题意；
C、由DE=EF，∠ODE=∠OF，OE=OE，不能判定△DOE≌△FOE，故C不符合题意；
D、OD=OF，∠ODE=∠OFE，OE=OE，不能判定△DOE≌△FOE，故D不符合题意；
故选：B．
由全等三角形的判定方法，即可判断．
本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
16.【答案】A
【解析】解：关于x的分式方程x−1x+1=ax+1−2，
去分母可化为x−1=a−2(x+1)，
又因为关于x的分式方程x−1x+1=ax+1−2，即有增根x=−1，
所以x=−1是方程x−1=a−2(x+1)的根，
所以a=−2，
故选：A．
根据增根的定义，代入分式方程去分母后所得到的整式方程即可．
本题考查分式方程的增根，理解增根的定义和产生过程是正确解答的关键．
17.【答案】A
【解析】解：如图，连接OB、OC，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠AOB=∠BOC=360°5=72°，
∴∠AOC=144°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=180°−144°2=18°，
故选：A．
根据正多边形和圆的性质求出中心角的度数，再根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算即可．
本题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握正多边形中心角的计算方法，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提．
18.【答案】D
【解析】解：A选项，由题意可知，二次函数与x轴有2个交点，所以Δ=b2−4ac>0，故A选项不符合题意．
B选项，x>0是，y的值随x值增大而增大，故B选项不符合题意．
C选项，根据对称轴方程x=x1+x22得到，x=−2，所以C选项不符合题意．
D选项，当x=−3时，y<0，即9a−3b+c<0，则D选项符合题意．
故选：D．
二次函数图象与系数的关系，Δ=b2−4ac决定与x轴交点情况，对称轴x=x1+x22，取特殊值x=−3，进一步确定y的范围．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，涉及到二次函数的对称轴方程，二次函数的增减性，二次函数与一元二次方程解的情况．
19.【答案】−2
【解析】
【分析】
本题考查了立方根与算术平方根的定义，是易错题，熟记概念是解题的关键．
先根据算术平方根的定义求出 64，再利用立方根的定义解答．
【解答】
解：∵82=64，
∴ 64=8，
∴− 64=−8，
∵(−2)3=−8，
∴− 64的立方根是−2．
故答案为：−2．
20.【答案】3a(a+3b)(a−3b)
【解析】解：3a3−27ab2
=3a(a2−9b2)--(提取公因式)
=3a(a+3b)(a−3b)．
故答案为：3a(a+3b)(a−3b)．
先提取公因式3a，再根据平方差公式进行二次分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
21.【答案】=−9
【解析】解：如图所示，延长PA交y轴于点D，延长PB交x轴于E，
点P是双曲线y=mx(m是常数)上一点，设P(a,b)，
∵图象在第四象限，
∴a>0，b<0．
点A，B是双曲线y=nx(n是常数)上一点，AP//x轴，BP//y轴，
∴E(a,0)，D(0,b)，则OE=DP=a，OD=EP=−b，ab=m，
∴点A的纵坐标为b，则A(nb,b)，点B的横坐标为a，则B(a,na)，
∵四边形APBO的面积为9，
∴9=−ab+12n+12n，
∴9=−m+n，
∴m−n=−9．
故答案为：−9．
根据题意，延长PA交y轴于点D，延长PB交x轴于E点，设P(a,b)，点A的纵坐标为b，则A(nb,b)，点P的横坐标为a，则B(a,na)，根据面积计算公式即可求解．
本题主要考查反比例函数与几何图形的面积，掌握反比例函数图象的性质，几何图形面积的计算公式，不规则图形面积的计算方法是解题的关键．
22.【答案】45°−α 109
【解析】解：(1)∵AC⋅DE=AE⋅DF，
∴ACDF=AEDE，
∵∠C=∠F=90°，
∴Rt△ACE∽Rt△DFE，
∴∠EDF=∠EAC=α，
∵AC=BC，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∴∠BAE=∠BAC−∠EAC=45°−α，
故答案为：45°−α；
(2)∵∠C=∠F=90°，
在Rt△ACE和Rt△EFA中，
AC=EFAE=EA，
∴Rt△ACE≌Rt△EFA(HL)，
∴EC=AF，∠EAC=∠AEF，
∴△GAE是等腰三角形，
∴GE=GA，
∵BEEC=12，即EC=2BE，
∴BC=3BE=4，
∴BE=43，AF=EC=4−43=83，
设GF=x，AG=EG=4−x，
在Rt△AGF中，利用勾股定理得AF2+FG2=AG2，
即(83)2+x2=(4−x)2，
解得x=109，
∴GF=109．
故答案为：109．
(1)由AC⋅DE=AE⋅DF，证明Rt△ACE∽Rt△DFE，得到∠EDF=∠EAC=α，再根据△ACB是等腰直角三角形可得∠BAC=45°，即可得出结果；
(2)证明Rt△ACE≌Rt△EFA，可得EC=AF，∠EAC=∠AEF，从而证明△GAE是等腰三角形，得出GE=GA，利用BEEC=12，BC=4，求出BE=43，AF=EC=83，设GF=x，AG=EG=4−x，在Rt△AGF中利用勾股定理即可求解．
本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质证明三角形相似或全等是解题的关键．
23.【答案】4
【解析】解：设这个箱子中红球的个数为x个．
根据题意，得x6=23，
解得x=4．
答：这个箱子中红球的个数为4个．
故答案为：4．
设这个箱子中红球的个数为x个，再根据概率公式求出x的值即可．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24.【答案】x>1
【解析】解：解不等式−2x<4，得：x>−2，
解不等式x−1>0，得：x>1，
则不等式组的解集为x>1，
故答案为：x>1．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组的能力，熟练掌握不等式的基本性质以准确求出每个不等式的解集是解答此题的关键．
25.【答案】28
【解析】解：∵OAA′A=25，
∴OA：OA′=2：7，
∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形，
∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB//A′B′，
∴△OAB∽△OA′B′，
∴ABA′B′=OAOA′=27，
∴四边形ABCD的周长：四边形A′B′C′D′的周长=2：7，
∵四边形ABCD的周长是8，
∴四边形A′B′C′D′的周长为28，
故答案为：28．
根据位似图形的概念得到四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB//A′B′，得到△OAB∽△OA′B′，根据相似三角形的性质得到ABA′B′=OAOA′=27，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．
此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．
26.【答案】x1=2，x2=−1
【解析】解：x2+x=2(x+1)，
x2−x−2=0，
(x−2)(x+1)=0，
x−2=0或x+1=0，
所以x1=2，x2=−1．
故答案为：x1=2，x2=−1．
先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为x−2=0或x+1=0，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
27.【答案】20
【解析】解：由作法得BM垂直平分AE，
∴∠AFB=90°，
∴∠FBC=90°−∠ACB=90°−35°=55°，
设AC与BD相交于点O，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=35°，
∴∠FBD=∠FBC−∠OBC=55°−35°=20°．
故答案为：20．
利用基本作图得到由BM垂直平分AE，所以∠AFB=90°，则利用互余可计算出∠FBC=55°，设AC与BD相交于点O，如图，根据矩形的性质得到OB=OC，所以∠OBC=∠OCB=35°，然后计算∠FBC−∠OBC即可．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了矩形的性质．
28.【答案】7
【解析】解：x+y=1两边平方得：x2+2xy+y2=1，
将xy=−3代入得：x2+y2=1+6=7．
故答案为：7．
把x+y=5两边平方，利用完全平方公式展开后将xy的值代入即可求出所求式子的值．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
29.【答案】0≤m<43
【解析】解：根据题意知，Δ=(− m)2−4×(m−1)>0且m≥0．
解得0≤m<43，
故答案为：0≤m<43．
由Δ>0列出不等式并求得m的值即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)根的判别式Δ=b2−4ac.当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．同时考查了二次根式有意义的条件．
30.【答案】19
【解析】解：∵∠FEH=90°，
∴∠AEF+∠DEH=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠DEH，
∵∠A=∠D，EF=HE，
∴△AEF≌△DHE(AAS)，
∴AE=DH，
∴DE=CH，
同理，AF=BG=CH=DE，
∵AE=2ED，
∴A′E=2D′E，
∴A′D′=13AD，
同理，A′B′=B′C′=C′D′=13AD，
∴在正方形ABCD区域随机取点，点落在正方形A′B′C′D′区域的概率为A′B′2AD2=19AD2AD2=19．
故答案为：19．
先证明△AEF≌△DHE(AAS)，可得AF=BG=CH=DE，根据折叠的性质得A′E=2D′E，所以A′D′=13AD，同理，A′B′=B′C′=C′D′=13AD，根据概率公式即可求出答案．
本题考查了几何概率，全等三角形的判定与性质，正方形的性质以及折叠的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质和折叠的性质是解题的关键．
31.【答案】12 13
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=2m，
当y1=y2时，点P，Q关于对称轴对称，
∴m+m+12=2m，
解得m=12，
将x=0代入y=x2−4mx+1得y=1，
∴抛物线经过(0,1)，
由抛物线的对称性可得抛物线经过(4m,1)，
当4m>0时，m+m+12>2m且m+1<4m，
解得13
解得m<−1，
∴13
32.【答案】2 3− 62
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AD//CB，
∴∠DAB=180°−∠ABC=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAQ=∠ADP=60°，
∵AQ=DP，
∴△ABQ≌△DAP(SAS)，
∴∠ABQ=∠DAP，
∴∠AEQ=∠EAB+∠ABE=∠EAB+∠DAP=60°，
∴∠AEB=180°−60°=120°，
作△AEB的外接圆，圆心为O，连接OC，OD，OA，OB，OD交CE于点F．
当CE与⊙O相切时，∠OCE的值最大，此时∠DCE的值最小．
设OA=a，则菱形边长为 3a，OD=2a，OC= 7a，
∵∠CDF=∠OEF，∠CFD=∠OFE，
∴△CDF∽△OEF，
∴OECD=EFDF=OFCF，
即a 3a=EFDF=2a−DFEF，
解法EF=2 3− 62a，
∴tan∠DCE=tan∠EOF=EFOE=2 3− 62．
故答案为：2 3− 62．
证明∠AEB=180°−60°=120°，作△AEB的外接圆，圆心为O，连接OC，OD，OA，OB，OD交CE于点F.当CE与⊙O相切时，∠OCE的值最大，此时∠DCE的值最小．设OA=a，则菱形边长为 3a，OD=2a，OC= 7a，想办法求出EF，可得结论．
本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，切线的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型．
33.【答案】解：(1)设2019到2021年中国数字阅读市场规模的年平均增长率为x．
根据题意可得293(1+x)2=421.92．
解得x1=0.2，x2=−2.2(舍)．
所以0.2=20%．
答：2019到2021年中国数字阅读市场规模的年平均增长率为20%．
(2)由题意得：421.92×(1+20%)=506.304亿元．
∵506.304<510，
∴2022年中国数字阅读市场规模不可以达到510亿元．
答：2022年中国数字阅读市场规模不可以达到510亿元．
【解析】(1)设2019到2021年中国数字阅读市场规模的年平均增长率为x.根据题意列出一元二次方程并求解即可．
(2)根据题意求出2022年中国数字阅读市场规模，再进行判断即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
34.【答案】解：4sin45°− 8+|1− 3|−(−12)−1−(3−π)0
=4× 22−2 2+ 3−1−(−2)−1
=2 2−2 2+ 3−1+2−1
= 3．
【解析】直接利用二次根式的性质、零指数幂、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算、零指数幂、绝对值的性质、负指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
35.【答案】解：设甲种商品有x个，则乙种商品有(3x−30)个，
根据题意得：20x+30(3x−30)=4600，
解得x=50，
则3x−30=3×50−30=120，
答：这批商品中甲种商品有50个，乙种商品有120个．
【解析】设甲种商品有x个，则乙种商品有(3x−30)个，根据“总价值为4600元”列出方程，解方程即可求解．
本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
36.【答案】3119×(2−311)=3−211 6n+14n−1(2−32n+1)=3−22n+1
【解析】解：(1)第5个等式为：3119×(2−311)=3−211，
故答案为：3119×(2−311)=3−211；
(2)∵第1个等式：73×(2−33)=3−23；
第2个等式：137×(2−35)=3−25；
第3个等式：1911×(2−37)=3−27；
第4个等式：2515×(2−39)=3−29；
…
∴第n个等式为：6n+14n−1(2−32n+1)=3−22n+1，
证明：左边=6n+14n−1⋅4n−12n+1=6n+12n+1=6n+3−22n+1=3(2n+1)−22n+1=3−22n+1=右边，
故猜想成立．
故答案为：6n+14n−1(2−32n+1)=3−22n+1．
(1)根据所给的等式进行求解即可；
(2)分析所给的等式不难得出：6n+14n−1(2−32n+1)=3−22n+1，再把等式左边进行整理即可求证．
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
37.【答案】 5π2
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
由勾股定理得，OB= 22+12= 5，
∴旋转过程中，点B经过的路径长为90π× 5180= 5π2．
故答案为： 5π2．
(1)根据位似的性质作图即可．
(2)根据旋转的性质作图即可；由勾股定理求出OB的长，再利用弧长公式计算即可．
本题考查作图−位似变换、旋转变换、勾股定理、弧长公式，熟练掌握位似和旋转的性质、勾股定理、弧长公式是解答本题的关键．
38.【答案】解：(1)连接OA，如图，
∵CD为直径，
∴∠DAC=90°．
∴∠D+∠C=90°，
∵AB为⊙O的切线，
∴OA⊥AB，
∴∠AOB+∠B=90°，
∵∠B=25°，
∴∠AOB=65°．
∵OE⊥AC，
∴∠OAC+∠AOB=90°，
∴∠OAC=25°．
∵OA=OC，
∴∠C=∠OAC=25°．
∴∠D=90°−∠C=65°；
(2)∵OEEF=12，
∴设OE=a，则EF=2a，
∴OF=OE+EF=3a．
∵OE⊥OC，
∴AE=EC．
∵OD=OC，
∴OE为△CDA的中位线，
∴AD=2OE=2a，
∵AD=2，
∴a=1．
∴OE=1，OA=OF=3．
∵OA⊥AB，AE⊥OB，
∴△OAE∽△OBA，
∴OAOE=OBOA，
∴31=OB3，
∴OB=9．
∴BF=OB−OF=9−3=6．
【解析】(1)连接OA，利用圆周角定理得到∠D+∠C=90°，利用圆的切线的性质定理得到∠AOB+∠B=90°，再利用直角三角形的性质和等腰三角形的性质得到∠C=∠OAC=25°，则∠D=90°−∠C=65°；
(2)设OE=a，则EF=2a，OF=OE+EF=3a，利用垂径定理和三角形的中位线定理得到AD=2OE=2a，求得a值；再利用相似三角形的判定与性质求得OB，则BF=OB−OF．
本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
39.【答案】10 108
【解析】解：(1)由题意可得，a=5÷10%×20%=10，
扇形统计图中C组所在的扇形的圆心角为(1−10%−20%−24%−16%)×360°=108°，
故答案为：10，108；
(2)由题意可知，被抽取的n名学生这一天的体育活动时间数据的中位数在C组；
(3)720×(24%+16%)=288(名)，
答：估计该校九年级学生平均每天体育活动时间不低于120分钟的有288名学生．
(1)根据A组的频数和百分比求出抽取总数，用总数乘以B组所占比例可得求出a的值，求出C组所占百分比，乘以360°即可求解；
(2)根据中位数的定义即可求解；
(3)用样本估计总体即可．
本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是求出样本容量，利用数形结合的思想解答．
40.【答案】解：(1)根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为(1,2.25)，A(0,1.25)，
设第一象限内的抛物线解析式为y=a(x−1)2+2.25，
将点A(0,1.25)代入物线解析式，
1.25=a(0−1)2+2.25，
解得α=−1，
∴第一象限内的抛物线解析式为y=−(x−1)2+2.25；
(2)根据题意，令y=1.76，
即−(x−1)2+2.25=1.76，
解得x1=0.3，x2=1.7，
∵−1<0，抛物线开口向下，
∴当0.31.76，
∴d的取值范围为0.3
∵l//PB，
设直线l的解析式为y=−x+m，
联立直线与抛物线解析式，
y=−x+my=−(x−1)2+2.25，
整理得x2−3x+m−1.25=0，
∵直线l与抛物线相切，
∴方程只有一个根，
∴Δ=32−4×1×(m−1.25)=0，
解得m=3.5，
∴直线l的解析式为y=−x+3.5，
令y=0，则x=3.5，
∴E(3.5,0)，
∴BE=4−3.5=0.5，
即EB=12，
∵射灯射出的光线与地面成45°角，
∴∠EBG45°，
∵∠EGB=90°，
sin∠EBG=EGEB= 22，
∴EG= 22×12= 24，
∴光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为 24米．
【解析】(1)根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点A坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式；
(2)直接令y=1.76，解方程求出x的值，再根据函数的图象和性质，求出y>1.76时x的取值范围即可；
(3)先作辅助线，作出直线BP的平行线l，使它与抛物线相切于点D，然后设出直线l的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线l的解析式，从而得到直线与x轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线l与直线BP之间的距离．
本题考查二次函数的应用，直线的平移，直线和抛物线相切等知识，关键是求抛物线解析式．
41.【答案】(1)证明：如图1中，∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∠D+∠ABC+∠∠BAD=180°，
又∵∠BAC=∠D，
∴∠B=∠BAD，
∴AD=DB；
(2)解：①∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD=∠ADB，
设AB=AC=CD=a，BC=b，
∵∠B=∠B，
∴△BAC∽△BDA，
∴ABBD=BCAB，
∴AB2=BC⋅BD，
∴a2=b(a+b)，
∴a2−ab−b2=0，
∴(ab)2−ab−1=0，
∴ab=1+ 52(负值已经舍去)，
∴ba+b=23+ 5=3− 52，
∵CE⊥AB，DF⊥BC，
∴CE//DF，
∴CEDF=BCDB=ba+b=3− 52；
②连接EG，BG，设BG交CE于点J．
∵CE⊥AB.DF⊥AB，
∴CE//DF，
∴∠HEC=∠HDG，
∵EH=DH，∠EHC=∠DHG，
∴△EHC≌△DHG(AAS)，
∴EC=DG，
∵EC//DG，
∴四边形ECDG是平行四边形，
∴EG//CD，
∴∠AEG=∠ABC，∠AGE=∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠AEG=∠AGE，
∴AE=AG，
∴BE=CG，
∵BC=CB，
∴△EBC≌△GCB(SAS)，
∴∠BEC=∠CGB=90°，
∵DA=DB，DF⊥AB，
∴AF=BF，
∴GA=GB，
∴∠GAB=∠GBA=45°，
∵DA=DB，
∴∠DAB=∠DBA，
∴∠DAG=∠DBG，
∵△EBC≌△GCB，
∴∠GBC=∠ECB，
∵EC//DF，
∴∠ECB=∠BDF，
∵∠BDF=∠ADF，
∴∠GBD=∠GDB=∠GAB=∠GDA，
∴GA=GB=GD，
设CG=x，
∵∠ACE=∠CAE=45°，∠CGJ=90°，
∴∠CJG=∠GCJ=45°，
∴GJ=CG=x，CJ= 2x，
∵∠JCB=∠JBC，
∴JB=CJ= 2x
∴GA=GB=x+ 2x，
∵∠DCG=∠ACD，∠CDG=∠CAD，
∴△DCG∽△ACD，
∴CDAC=CGCD，
∴CD2=CG⋅CA，
∴22=x(2x+ 2x)，
解得x2=4−2 2，
∵BC= CG2+BG2= x2+( 2x+x)2= 4+2 2x= (4+2 2)(4−2 2)=2 2，
∴AD=DB=CD+BC=2+2 2．
【解析】(1)欲证明AD=DB，只要证明∠DAB=∠B即可；
(2)①设AB=AC=CD=a，BC=b，证明△BAC∽△BDA，推出AB2=BC⋅BD，可知a2−ab−b2=0，即(ab)2−ab−1=0，可得ab=1+ 52(负值已经舍去)，即可解决问题；
②连接EG，BG，设BG交CE于点J.证明△AGB是等腰直角三角形，再证明GA=GB=GD，设CG=x，则JG=CG=x，CJ=BJ= 2x，利用相似三角形的性质求出x，可得结论．
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
42.【答案】解：(1) 12−(12)−2+cos30°+( 3+1)0
=2 3−4+ 32+1
=5 32−3；
(2)(2x−1−1x)÷(1+x+1x2+x)
=2x−x+1x(x−1)÷x2+x+x+1x(x+1)
=x+1x(x−1)⋅x(x+1)(x+1)2
=1x−1，
当x= 2+1时，原式=1 2+1−1= 22．
【解析】(1)先化简，然后计算加减法即可；
(2)先将括号内的式子通分，然后计算括号外的除法，再将x的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值、实数的运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键．
43.【答案】解：过点A作AM⊥EC于点M，
∵∠ACM=30°，AC=1.2m，
∴AM=12AC=0.6m，
CM=AC⋅sin60°=1.2× 32≈1.038(m)，
∵tan∠ADM=AMDM，
∴tan17°=0.6DM≈0.30，
解得：DM=2，
故DC=DM−CM=2−1.038≈0.96(m)，
答：改造后的坡道在水平方向上延伸的距离CD为0.96米．
【解析】直接利用锐角三角函数关系得出AM，CM的长，进而得出DM的长，即可得出答案．
此题主要考查了锐角三角函数关系的应用，正确得出DM的长是解题关键．
44.【答案】20人 9分
【解析】解：(1)本次抽样调查的学生人数为：5÷25%=20(人)；
本次抽样调查中，6分的学生人数为：20×10%=2(人)，9分的学生人数为：20×35%=7(人)，
即9分的学生人数最多，
∴本次抽样调查的测试成绩众数是9分，
故答案为：20人，9分；
(2)460×5+7+420=368(人)，
答：估计本校九年级学生测试成绩为“优秀”的人数为368人；
(3)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选中的2人恰好是1名男生和1名女生的结果有8种，
∴选中的2人恰好是1名男生和1名女生的概率为812=23．
(1)由5分的学生人数除以所占百分比得出本次抽样调查的学生人数，即可解决问题；
(2)由九年级学生人数乘以测试成绩为“优秀”的人数所占的比例即可；
(3)画树状图，共有12种等可能的结果，其中选中的2人恰好是1名男生和1名女生的结果有8种，再由概率公式即可得出结论．
此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
45.【答案】解：(1)连接OC，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵AB=8，
∴OC=OA=4，
在Rt△OCD中，OD= CD2+OC2= 32+42=5，
∴AD=OD−OA=5−4=1，
∵CF⊥AB，
∴CH=FH，
∵12CH⋅OD=12OC⋅CD，
∴CH=3×45=125，
∴FH=CH=125，
即AD的长为1，FH的长为125；
(2)连接BF、EF，如图，
∵CF⊥AB，
∴BC=BF，
∴∠BFC=∠BEF，
∵∠GEC=∠BFC，
∴∠GEC=∠BEF，
∵∠GCE=∠EBF，
∴△GCE∽△FBE，
∴GCBF=CEBE=35，
在Rt△OCH中，∵OH= OC2−CH2= 42−(125)2=165，
∴BH=OH+OB=165+4=365，
在Rt△BFH中，BF= HF2+BH2= (125)2+(365)2=12 105，
∴GC=35BF=35×12 105=36 1025．
【解析】(1)连接OC，如图，先根据切线的性质得到∠OCD=90°，再利用勾股定理计算出OD，则计算OD−OA得到AD的长，由于CF⊥AB，根据垂径定理得到CH=FH，然后利用面积法求出CH，从而得到FH的长；
(2)连接BF、EF，如图，先根据垂径定理得到BC=BF，则利用圆周角定理得到∠BFC=∠BEF，再利用圆内接四边形的性质得到∠GEC=∠BEF，∠GCE=∠EBF，于是可判断
△GCE∽△FBE，利用相似三角形的性质得到GCBF=35，接着利用勾股定理计算出OH，从而得到BH的长，然后计算出BF的长，从而可求出CG的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
46.【答案】解：(1)将点A的坐标代入一次函数表达式得：4=−2a+6，则a=1，即点A(1,4)，
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k=1×4=4，
则反比例函数的表达式为：y=4x①，
联立y=4xy=−2x+6，
解得：x=2y=2，
即点B(2,2)；
(2)根据点的对称性，点C和点B关于原点对称，则点C(−2,−2)，
由题意得，直线BC的表达式为：y=x，
过点A作AT//y轴于点T，则点T(1,⋅1)，则AT=4−1=3，
则△ACB的面积=S△ATC+S△ATB=12×AT⋅(xB−xC)=12×3×(2+2)=6；
(3)设AC和BD交于点H，
根据“等直四边形”的定义，AC⊥BD，则∠AHB=90°，且AC=BD，
根据图象的对称性，△ABH为等腰直角三角形，且AH=BH，
如图，将左侧图部分放大，设点H(m,n)，
过点H作GN//y轴，交过点A和x轴的平行线于点G，交过点B与x轴的平行线于点N，
∵∠GHA+∠GAH=90°，∠GHA+∠BHN=90°，
∴∠GAH=∠BHN，
∵∠HGA=∠BNH=90°，AH=BH，
∴△HGA≌△BNH(AAS)，
则GA=HN，GH=BN，
即n−2=1−m且4−n=2−m，
解得：m=12n=52，
则点H(12,52)，
由点A、H的坐标得，直线AH的表达式为：y=3x+1②，
联立①②得：4x=3x+1，
解得：x=1(舍去)或−43，
即点C(−43,−3)．
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)由△ACB的面积=S△ATC+S△ATB=12×AT⋅(xB−xC)，即可求解；
(3)证明△HGA≌△BNH(AAS)，得到GA=HN，GH=BN，进而求解．
本题为反比例函数综合运用题，涉及到新定义、面积的计算、一次函数的性质等，正确理解新定义是本题解题的关键．
47.【答案】解：(1)设乙队每天建造xm2，
根据题意，得900x+2=720x，
解得x=8，
经检验，x=8是原分式方程的根，且符合题意，
8+2=10(m2)，
答：甲队每天建造10m2，乙队每天建造8m2；
(2)设乙队施工m天，该场馆的建设费用为w元，
根据题意，得5100−8m≥2⋅8m，
解得m≤212.5，
w=1000⋅5100−8m10+600m=−200m+510000，
∵−200<0，
∴w随着m的增大而减小，
当m取得212时，w取得最小值，最小值为467600元，
答：该场馆的建设费用最少需要467600元．
【解析】(1)设乙队每天建造xm2，根据甲队建造900(m2)与乙队建造720(m2)所需天数相同，列分式方程，求解即可；
(2)设乙队施工m天，该场馆的建设费为w元，根据甲队建造的面积不少于乙队建造面积的2倍，列一元一次不等式，求出m的取值范围，再表示出w与m的一次函数，根据一次函数的性质即可确定该场馆的建设费用最小值．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立相应的关系式是解题的关键．
48.【答案】解：(1)如图：
∵A(−1,0)，B(4,0)，
∴OA=1，OB=4，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACO=90°−∠BCO=∠CBO，
∵∠AOC=90°=∠BOC，
∴△AOC∽△COB，
∴OAOC=OCOB，即1OC=OC4，
∴OC=2，
∴C(0,2)，
把A(−1,0)，B(4,0)，C(0,2)代入y=ax2+bx+c得：
a−b+c=016a+4b+c=0c=2，
解得a=−12b=32c=2，
∴抛物线的解析式为y=−12x2+32x+2；
(2)过Q作QH⊥AB于H，如图：
由B(4,0)，C(0,2)得直线BC解析式为y=−12x+2，CB=2 5，
设运动时间为t s，则AP=2t，CQ= 5t，
∴BP=5−2t，BQ=2 5−t，
∵∠QHB=90°=∠COB，∠QBH=∠CBO，
∴△QBH∽△CBO，
∴QHOC=BQBC，即QH2=2 5− 5t2 5，
∴QH=2−t，
设△CPQ的面积为S，
∴S=12BP⋅OC−12BP⋅QH=12BP⋅(OC−QH)=12(5−2t)⋅t=−t2+52t=−(t−54)2+2516，
∵−1<0，
∴当t=54时，S取最大值，最大值为2516，
此时BP=5−2t=52，
∴OP=OB−BP=4−52=32，
∴P(32,0)；
∴△CPQ的最大面积是2516，P的坐标为(32,0)；
(3)m+n为定值，理由如下：
设直线EF解析式为y=kx，
由y=kxy=−12x2+32x+2得：x2−(3−2k)x−4=0，
设E(p,kp)，F(q,kq)，则p，q是x2−(3−2k)x−4=0的两个实数解，
∴p+q=3−2k，pq=−4，
∵E(p,kp)在直线y=mx+4上，F(q,kq)在直线y=nx+4上，
∴kp=mp+4，kq=nq+4，
∴p=4k−m，q=4k−n，
∴4k−m+4k−n=3−2k①，
4k−m⋅4k−n=−4②，
由②得(k−m)(k−n)=−4，
由①得：4(k−n)+4(k−m)=(3−2k)(k−m)(k−n)，
∴4(k−n)+4(k−m)=(3−2k)×(−4)，
化简整理得m+n=3，
∴m+n的值是定值3．
【解析】(1)证明△AOC∽△COB，可得OC=2，C(0,2)，再用待定系数法可得抛物线的解析式为y=−12x2+32x+2；
(2)过Q作QH⊥AB于H，由B(4,0)，C(0,2)得直线BC解析式为y=−12x+2，CB=2 5，设运动时间为t s，证明△QBH∽△CBO，可得QH=2−t，设△CPQ的面积为S，则S=12BP⋅OC−12BP⋅QH=12BP⋅(OC−QH=−t2+52t=−52(t−54)2+2516，根据二次函数性质即可得△CPQ的最大面积是2516，P的坐标为(32,0)；
(3)设直线EF解析式为y=kx，由y=kxy=−12x2+32x+2得：x2−(3−2k)x−4=0，设E(p,kp)，F(q,kq)，则p，q是x2−(3−2k)x−4=0的两个实数解，有p+q=3−2k，pq=−4，又kp=mp+4，kq=nq+4，可得p=4k−m，q=4k−n，故4k−m+4k−n=3−2k①，4k−m⋅4k−n=−4②，化简整理得m+n=3，即可得到答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
49.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴△ABC∽△DBE，
∴DEAC=BEBC=BDAB，
设CD=x，则DE=x，
∵∠ACB=90°，AB=5，AC=3，
∴BC= AB2−AC2=4，
∴BD=4−x，
∴x3=BE4=4−x5，
解得x=32，
∴BE=2；
(2)①延长BD交CF于点H，
∵∠FCE=∠ABC，∠DBE=∠ABC，
∴∠FCE=∠DBE，
∴∠BHC=∠CEB=90°，
∵∠HBC=∠EBG，
∴△HBC∽△EBG，
∴BEBH=BGBC，
在Rt△BEC中，BC=4，BE=2，
∴CE= BC2−BE2=2 3，
∴CD=CE−DE=2 3−32，
在Rt△BDE中，sin∠DBE=DEBD=35，
在Rt△CDH中，sin∠DCH=DHCD=35，
∴DH=35CD=65 3−910，
∴BH=BD+DH=6 3+811，
∴26 3+811=BG4，
∴BG=60 3−8011；
②过点E作CE的垂线，与CM的延长线交于点N，连接ND，NB，
∵∠FCE=∠DBE，∠CEN=∠BED=90°，
∴△CEN∽△BED，
∴NEDE=CEBE，
∵∠DEN=∠CEB，
∴△DEN∽△BEC，
∴∠DNE=∠BCE，NDBC=DEBE，
∵NE⊥CE，
∴ND⊥BC，
∵AC⊥BC，
∴ND//AC，
又∵DEBE=ACBC，
∴NDBC=ACBC，即ND=AC，
∵ND//AC，ND=AC，
∴四边形ACDN是平行四边形，
∴MC=MN，
在Rt△CEN中，EM是斜边CN的中线，
∴ME=MC=MN，
若点M在BE的垂直平分线上，则MB=ME，
∴MB=MC=MN，
∴△CBN为直角三角形，即NB⊥BC，
又ND⊥BC，
∴若点M在BE的垂直平分线上时，N，D，B三点共线，
当点B在ND延长线上时，AD= 42+(3−2.5)2= 652，
∴AM=12AD= 654，
当点B在ND上时，AD= 42+(3+2.5)2= 1852，
∴AM= 1854
综上所述，当点M在BE的垂直平分线上时，AM的长为 654或 1854．
【解析】(1)证明△ABC∽△DBE，由相似三角形的性质得出DEAC=BEBC=BDAB，设CD=x，则DE=x，BD=4−x，得出x3=BE4=4−x5，解得x=32，则可得出答案；
(2)①延长BD交CF于点H，证明△HBC∽△EBG，由相似三角形的性质得出BEBH=BGBC，求出BH和BE的长，则可得出答案；
②过点E作CE的垂线，与CM的延长线交于点N，连接ND，NB，证明△CEN∽△BED，得出NEDE=CEBE，当点B在ND延长线上时，当点B在ND上时，由勾股定理求出AD的长，则可得出答案．
本题是几何变换综合题，考查了旋转变换、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用熟悉的模型，添加辅助线解决问题
2023年四川省成都市金牛区中考数学二诊试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共18小题，共72.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数中，比−2小的数是( )
A. − 2 B. |−3| C. 0 D. −4
2. 2022年世界杯在卡塔尔举办，为了办好这届世界杯，人口仅有280万的卡塔尔投资2200亿美元修建各项设施.数据2200亿用科学记数法表示为( )
A. 22×1010 B. 2.2×1010 C. 2.2×1011 D. 0.22×1012
3. 下列正面摆放的几何体中，左视图是三角形的是( )
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是( )
A. a3+a2=a5 B. a3⋅a2=a5 C. (a2)3=a5 D. a10÷a2=a5
5. 已知，如图，点C是以AB为直径的半圆O上一点，过点C作⊙O的切线CD，BD⊥CD于点D，若∠DCB=50°，则∠ABC的度数是( )
A. 25°
B. 40°
C. 45°
D. 50°
6. 合肥市某校九年级(1)、(2)班共有2名女生和3名男生分别被评为“智慧之星”，要从这5位学生中随机抽取一男一女两位学生做获奖感言，女同学杨玲和男同学张军恰好来自同一班级，则他俩同时被抽中的概率为( )
A. 13 B. 14 C. 110 D. 16
7. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D和点E分别是BC和AB上的点，已知DE⊥AB，sinB=45，AC=8，CD=2，则DE的长为( )
A. 3.2
B. 4
C. 4.5
D. 4.8
8. 已知a2−ca−1=0，b2−cb−1=0，若a≠b，则下列等式成立的是( )
A. a+b=−1 B. a+b=1 C. a−b=1 D. a−b=−1
9. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，交AC于点D，则cosA=( )
A. 5−14
B. 5+14
C. 5−12
D. 3− 52
10. 在等边△ABC中，AB=4、AD是中线，点E是BD上点(不与B、D重合)，点F是AC上一点，连接EF交AD于点G，CF=2BE，以下结论错误的是( )
A. 当EF//AB时，BE=43 B. 当EF⊥AC时，CE=4BE
C. EG≠FG D. 点G不可能是AD的中点
11. 在−1.5，−3，−1，−5四个数中，最大的数是( )
A. −1.5 B. −3 C. −1 D. −5
12. 如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成，其主视图大致是( )
A.
B.
C.
D.
13. 2022年，成都新改扩建幼儿园、中小学80所，新增学位82000个，新建人才公寓10000套、保障性租赁住房61000套，一批医疗卫生、公共服务等重大项目超额完成目标任务.将数据82000用科学记数法表示为( )
A. 8.2×103 B. 8.2×104 C. 8.2×105 D. 0.82×105
14. 下列计算正确的是( )
A. a6÷a3=a2 B. (4ab3)2=4a2b6
C. (a+b)(a−b)=a2−b2 D. (a−1)2=a2−1
15. 如图，OB是∠AOC内的一条射线，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F都不与O点重合，连接ED、EF，添加下列条件，能判定△DOE≌△FOE的是( )
A. ∠DOE=∠EOF，∠ODE=∠OEF
B. OD=OF，ED⊥OA，EF⊥OC
C. DE=EF，∠ODE=∠OFE
D. OD=OF，∠ODE=∠OFE
16. 若关于x的分式方程x−1x+1=ax+1−2有增根，则a的值是( )
A. −2 B. −1 C. 0 D. 1
17. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连结OA、AC，则∠OAC的大小是( )
A. 18°
B. 24°
C. 30°
D. 36°
18. 二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，与x轴的交点坐标为(1,0)和(−5,0)，下列说法正确的是( )
A. b2−4ac<0 B. x>0时，y的值随x值增大而减小
C. 对称轴是直线x=−3 D. 9a−3b+c<0
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共14小题，共60.0分）
19. − 64的立方根是______．
20. 因式分解：3a3−27ab2=______．
21. 如图，点P是双曲线y=mx(m是常数)上一点，点A，B是双曲线y=nx(n是常数)上一点，AP//x轴，BP//y轴，若四边形APBO的面积为9，则m−n ______ ．
22. Rt△ABC和Rt△DEF的位置如图，∠ACB=∠DFE=90°，AC=BC=EF=4，连接AE，且AC⋅DE=AE⋅DF，则：
(1)若∠EDF=α，则∠BAE= ______ (用含α的代数式来表示)；
(2)若BEEC=12，则GF的长为______ ．
23. 在一个不透明的箱子中有黄球和红球共6个，它们除颜色外都相同，若任意摸出一个球，摸到红球的概率为23，则这个箱子中红球的个数为______ 个.
24. 不等式组−2x<4x−1>0的解集是______
25. 如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，已知OAA′A=25，若四边形ABCD的周长为8，则四边形A′B′C′D′的周长为______ ．
26. 方程x2+x=2(x+1)的解是______ ．
27. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交AC于点E，再分别以点A、E为圆心，大于12AE长为半径作弧，两弧交点为M，作射线BM与AC交点为F，若∠ACB=35°，则∠FBD= ______ °.
28. 已知x+y=1，xy=−3，则x2+y2= ______ ．
29. 关于x的方程x2− mx+m−1=0有两个不同的实数根，则m的取值范围是______ ．
30. 正方形EFGH的顶点分别在正方形ABCD各边上，且AE=2ED，沿正方形EFGH各边将其周围的直角三角形向内翻折，得到四边形A′B′C′D′，现可在正方形ABCD区域随机取点，则点落在正方形A′B′C′D′区域的概率为______ ．
31. 在平面直角坐标系中，点P(m,y1)和点Q(m+1,y2)在抛物线y=x2−4mx+1上，若y1=y2，则m= ______ ；若y1
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
33. 随着我国数字化阅读方式的接触率和人群持续增多，数字阅读凭借独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径，目前，数字阅读已经成为当下更环保、更年轻的阅读方式，2019年中国数字阅读市场规模为293亿元，2021年为421.92亿元．
(1)求2019到2021年中国数字阅读市场规模的年平均增长率；
(2)预计2022年中国数字阅读市场规模是否可以达到510亿元？
四、解答题（本大题共16小题，共158.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
34. (本小题8.0分)
4sin45°− 8+|1− 3|−(−12)−1−(3−π)0．
35. (本小题8.0分)
某人利用网络直播销售甲、乙两种商品，预计用#替#换#一#换#替#元购进一批商品，其中乙种商品的个数是甲种商品的3倍少30个，甲、乙两种商品的单价分别为20元/个、30元/个.求这一批商品中甲、乙两种商品各有多少个？#
36. (本小题8.0分)
观察以下等式：
第1个等式：73×(2−33)=3−23；
第2个等式：137×(2−35)=3−25；
第3个等式：1911×(2−37)=3−27；
第4个等式：2515×(2−39)=3−29；
…
按照以上规律，解答下列问题：
(1)写出第5个等式：______；
(2)写出你猜想的第n个等式：______(用含n的等式表示)，并证明．
37. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，A(−1,0)，B(−2,−1)，C(0,−3)．
(1)以原点O为位似中心，相似比为2，作△ABC的位似图形，得到△A1B1C1，请在图中作出△A1B1C1(点A1，B1，C1分别为点A，B，C的对应点)；
(2)若将△ABC绕原点O逆时针旋转90°，得到△A2B2C2，请在图中作出△A2B2C2(点A2，B2，C2分别为点A，B，C的对应点)；旋转过程中，点B经过的路径长为______ ．
38. (本小题10.0分)
如图，△ACD内接于⊙O，CD为直径，射线OE⊥AC于点E，交⊙O于点F，过点A作⊙O的切线交射线OE于点B．
(1)当∠B=25°时，求∠D的度数；
(2)当AD=2，OEEF=12时，求BF的长．
39. (本小题12.0分)
教育部办公厅在《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中明确要求保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间，某校为了解本校九年级学生每天参加体育活动的情况，随机抽取了n名学生，对某一天的体育活动时间进行了调查，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．
调查结果的频数分布表
组别
时间1(分钟)
频数
A
30≤t<60
5
B
60≤t<90
a
C
90≤t<120
b
D
120≤t<150
12
E
t≥150
8
根据上述信息，解答下列问题：
(1)频数分布表中的a= ______ ，扇形统计图中C组所在的扇形的圆心角为______ 度；
(2)被抽取的n名学生这一天的体育活动时间数据的中位数在哪一组(直接写出组别即可)；
(3)若该校九年级共有720名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育活动时间不低于120分钟的学生人数．
40. (本小题12.0分)
某公园要在小广场建造一个喷泉景观.在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子OA，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距OA的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
(1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到OA水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
(2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子OA的距离为d米，求d的取值范围；
(3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子OA的正上方，其中光线BP所在的直线解析式为y=−x+4，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
41. (本小题14.0分)
如图1，在△ABC中，AB=AC，点D为BC延长线上一点，∠BAC=∠ADB．
(1)求证：AD=BD；
(2)作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为点E，F，DF交AC于点G．
①如图2，当AC平分∠BAD时，求CEDF的值；
②如图3，连接DE交AC于点H，当EH=HD，CD=2时，求AD的长．
42. (本小题12.0分)
(1)计算： 12−(12)−2+cos30°+( 3+1)0；
(2)先化简，再求值：(2x−1−1x)÷(1+x+1x2+x)，其中x= 2+1．
43. (本小题8.0分)
成都市近年大力推进老旧院落改造，将过去那些陈旧的、不便的设备设施进行更换和整改，为广大市民打造了宜居的环境.如图，某小区原有一段1.2米长的坡道AC，已知坡道AC与水平地面的夹角(∠ACE)等于30°，为满足无障碍通道的设计要求，改造后的坡道AD与同一水平地面的夹角(∠ADE)等于17°，求改造后的坡道在水平方向上延伸的距离CD.(结果精确到0.01)(参考数据： 3≈1.73，sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.30)
44. (本小题8.0分)
为了落实国家教育数字化战略行动有关要求，提升师生数字素养，我区决定组织开展2022−2023年度学生信息素养提升实践活动.某校九年级460名学生在“信息素养提升”培训后参加了一次水平测试，按评比标准将测试成绩全部折算成“6分”、“7分”、“8分”、“9分”和“10分”5个成绩.为了解培训效果，学校用抽样调查的方式从中选取了部分学生的测试成绩，绘制成下面两幅不完整的统计图：
(1)本次抽样调查的学生人数是______ ；本次抽样调查的测试成绩众数是______ ；
(2)若测试成绩为8分、9分和10分是“优秀”，试估计本校九年级学生测试成绩为“优秀”的人数；
(3)在本次抽样调查中，有2名男生和2名女生的测试成绩都为10分，现从他们中随机选取2人代表学校参加比赛，求选中的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．
45. (本小题10.0分)
AB为⊙O直径，AB=8，点C为AB的一点，过点C作⊙O的切线与BA的延长线交于点D，CD=3，点E是BC上一点，连结BE、CE，过点C作AB的垂线，交⊙O于点F，垂足为点H．
(1)求AD和FH的长；
(2)延长FC、BE交于点G，若CEBE=35，求CG的长．
46. (本小题10.0分)
一次函数y=−2x+6与反比例函数y=kx(k>0,k为常数)的图象交点为A(a,4)和点B，点C是反比例函数y=kx(k>0,k为常数)在第三象限内的图象上一点．
(1)求反比例函数的解析式和点B的坐标；
(2)若点C为直线OB与反比例函数的另一个交点，求△ACB的面积；
(3)我们将对角线相等且互相垂直的四边形称为“等直四边形”.如图2，在平面内一点D，AB//CD，且四边形ABCD为“等直四边形”，求点C的坐标．
47. (本小题8.0分)
《成都市“十四五”世界赛事名城建设规划》提出到2025年将每年举办国际和全国赛事达到50项以上，让体育运动深度融入人们日常生活.现需建造一处5100(m2)的多功能场馆，由甲、乙两个工程队合作完成.已知甲队比乙队每天多建造2(m2)，甲队建造900(m2)与乙队建造720(m2)所需天数相同，甲队施工每天费用为1000元，乙队施工每天费用为600元．
(1)求甲、乙两队每天建造的面积；
(2)该场馆先由乙队施工，然后由甲队完成剩余的施工，若甲队建造的面积不少于乙队建造面积的2倍，那么该场馆的建设费用至少需要多少元？
48. (本小题10.0分)
如图，Rt△ABC的顶点A(−1,0)，B(4,0)，直角顶点C在y轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)动点P从点A出发以2个单位/s的速度沿AB向点B运动，动点Q从点C出发以 5个单位/s的速度沿CB向点B运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，连接CP、PQ，当△CPQ的面积最大时，求点P的坐标及最大面积；
(3)如图2，过原点的直线与抛物线交于点E、F(点E在点F的左侧)，点G(0,4)，设直线GE的解析式为y=mx+4，直线GF的解析式为y=nx+4，试探究：m+n是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
49. (本小题12.0分)
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3．
(1)点D在BC边上，DE⊥AB，垂足为E，如图1，已知CD=DE，求BE的长；
(2)将(1)中的Rt△BDE绕点B顺时针旋转，连结CE，交直线AB于点G，在CE上方作∠FCE=∠ABC，∠FCE的边与AB交点为F．
①如图2，当点D落在CE上时，求BG的长；
②如图3，连结AD，延长CF交AD于点M，在Rt△BDE旋转的过程中，若点M落在BE的垂直平分线上，求此时AM的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：|−3|=3，|−4|=4,|− 2|= 2，|−2|=2，
∵42=16>22=4>( 2)2=2，
∴4>2> 2，
∴−4<−2<− 2<0<|−3|，
∴比−2小的数是−4，
故选：D．
根据实数的大小比较法则：正数大于0，负数小于0，正数总大于负数，负数绝对值大的反而小即可得答案．
本题考查了实数的大小比较法则，熟记比较法则是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：2200亿=220000000000=2.2×1011．
故选：C．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、左视图是等腰梯形，不符合题意；
B、左视图是长方形，不符合题意；
C、左视图是三角形，符合题意；
D、左视图是长方形，不符合题意；
故选：C．
根据几何体的特点及三视图的确定方法依次判断即可．
此题考查了几何体的三视图，正确掌握三视图的确定方法及几何体的特点是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A.a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；
B.a3⋅a2=a5，故本选项符合题意；
C.(a2)3=a6，故本选项不合题意；
D.a10÷a2=a8，故本选项不合题意．
故选：B．
利用合并同类项法则、同底数幂的乘除法以及幂的乘方的性质求解即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．
此题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方的性质．此题比较简单，注意掌握指数的变化是解此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：连接OC，如图，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°．
∵∠DCB=50°，
∴∠OCB=90°−∠DCB=40°，
∵OC=OB，
∴∠ABC=∠OCB=40°．
故选：B．
连接OC，利用圆的半径相等和切线的性质解答即可．
本题主要考查了圆周角定理，圆的有关性质，切线的性质定理，连接过切点的半径是常添加的辅助线．
6.【答案】C
【解析】解：列表图如下：
杨玲
女
男1
男2
张军
杨玲
杨玲、女
杨玲、男1
杨玲、张军
女
女、杨玲
女、男1
女、张军
男1
男1、杨玲
男1、女
男1、男2
男1、张军
男2
男2
男2、女
男2、男1
男2、张军
张军
张军、杨玲
张军、女
张军、男1
张军、男2
由表可知：共有20种等可能的结果，其中女同学杨玲和男同学张军恰好同时被抽中的结果有2种，
故女同学杨玲和男同学张军恰好同时被抽中的概率为：2÷20=110，
故选：C．
首先列出表格，再根据表格的情况，利用概率公式即可求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
7.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，
∴sinB=ACAB=45，即8AB=45，
解得AB=10，
∴BC= AB2−AC2=6，
∵CD=2，
∴BD=BC−CD=4，
∵DE⊥AB，
∴sinB=DEBD=45，即DE4=45，
解得DE=3.2．
故选：A．
先在Rt△ABC中根据正弦的定义和勾股定理可得AB=10、BC=6，进而得到BD=4，最后根据DE⊥AB运用正弦的定义即可解答．
本题主要考查了正弦的定义、勾股定理等知识点，灵活运用正弦的定义成为解答本题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵a2−ca−1=0，b2−cb−1=0，
∴a2−c−a=0，b2−c−b=0，
∴a、b相当于是关于x的一元二次方程x2−x−c=0的两个实数根，
∴a+b=1．
故选：B．
先推出a2−c−a=0，b2−c−b=0，进而得到a、b相当于是关于x的一元二次方程x2−x−c=0的两个实数根，由根与系数的关系即可得到a+b=1．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，若x1，x2是该方程的两个实数根，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca是关键．
9.【答案】B
【解析】解：如图，过B作BE⊥AC于E，
设CD=2a，
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=12(180°−∠A)=12(180°−36°)=72°，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=36°，
∴∠BDC=180°−36°−72°=72°，
∵∠C=∠C，∠CDB=∠ABC=72°，
∴△BDC∽△ABC，
∴BC：AC=CD：BC，
即BC2=CD⋅AC，
∵∠A=∠ABD=36°，∠C=∠BDC=72°，
∴CB=BD=AD，
∴AD2=CD⋅AC，
∴点D是线段AC的黄金分割点，
∴CDAD= 5−12，
∴AD=2CD 5−1=2×2a 5−1=( 5+1)a，
∴AB=AC=AD+CD=(3+ 5)a，
∵BE⊥AC，BD=CD，
∴DE=CE=12CD=a，
∴AE=AD+DE=(2+ 5)a，
∴cosA=AEAB=(2+ 5)a(3+ 5)a= 5+14，
故选：B．
过B作BE⊥AC于E，设CD=2a，证△BDC∽△ABC，得BC：AC=CD：BC，再证CB=BD=AD，然后证点D是线段AC的黄金分割点，求出AD=( 5+1)a，即可解决问题．
本题考查了黄金分割、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明点D为线段AC的黄金分割点是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：A、如图1中，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=∠BAC=60°，AB=CB=4，
∵EF//AB，
∴∠CEF=∠B=60°，∠CFE=∠BAC=60°，
∴△EFC是等边三角形，
∴CE=CF，
∵CF=2BE，
∴CE=2BF，
∴BE=13BC=43，故选项A正确，不符合题意．
B、如图2中，
∵EF⊥AC，
∴∠EFC=90°，
∵∠C=60°，
∴∠CEF=30°，
∴EC=2CF，
∵CF=2BE，
∴EC=4CF，故选项B正确，不符合题意；
C、如图3中，过点F作FJ⊥BC于点J．
在Rt△CFJ中，∠CFJ=30°，
∴CF=2CJ，
∵CF=2BE，
∴BE=CJ，
∵BD=CD，AB=AC，
∴AD⊥CB，
∴DE=DJ，
∵DG//FJ，
∴EG=FG，故选项C错误，本选项符合题意．
D、正确，若点G是AD的中点，
∵EG=FG，
∴四边形AEDF是平行四边形，显然不可能，故选项D正确，不符合题意．
故选：C．
A、正确，证明△ECF是等边三角形，可得结论；
B、正确．证明EC=2CF，可得结论；
C、错误，如图3中，过点F作FJ⊥BC于点J.证明DE=DJ，可以推出EG=FG；
D、正确．利用反证法证明即可．
本题考查等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握特殊三角形的性质，属于中考常考题型．
11.【答案】C
【解析】解：∵|−1.5|=1.5，|−3|=3，|−1|=1，|−5|=5，
且5>3>1.5>1，即|−5|>|−3|>|−1.5|>|−1|，
∴−5<−3<−1.5<−1，
即最大的数是−1．
故选：C．
根据负数比较大小的法则比较即可．
本题考查有理数大小比较中的几个负数比较，解题的关键是掌握负数比较大小的方法，本题还可将所给的几个负数在数轴上表示出来，再确定答案．
12.【答案】A
【解析】解：如图所示的几何体的主视图是：
．
故选：A．
从正面看：共有3列，从左往右分别有2，1，1个小正方形；据此可画出图形．
此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
13.【答案】B
【解析】解：82000=8.2×104．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14.【答案】C
【解析】解：a6÷a3=a3，故选项A错误，不符合题意；
(4ab3)2=16a2b6，故选项B错误，不符合题意；
(a+b)(a−b)=a2−b2，故选项C正确，符合题意；
(a−1)2=a2−2a+1，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
15.【答案】B
【解析】解：A、由∠DOE=∠EOF，∠ODE=∠OFE，OE=OE，能判定△DOE≌△FOE，故A不符合题意；
B、由ED⊥OA，EF⊥OC得到△DOE和△FOE是直角三角形，又OD=OF，OE=OE，由“HL”判定△DOE≌△FOE，故B符合题意；
C、由DE=EF，∠ODE=∠OF，OE=OE，不能判定△DOE≌△FOE，故C不符合题意；
D、OD=OF，∠ODE=∠OFE，OE=OE，不能判定△DOE≌△FOE，故D不符合题意；
故选：B．
由全等三角形的判定方法，即可判断．
本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
16.【答案】A
【解析】解：关于x的分式方程x−1x+1=ax+1−2，
去分母可化为x−1=a−2(x+1)，
又因为关于x的分式方程x−1x+1=ax+1−2，即有增根x=−1，
所以x=−1是方程x−1=a−2(x+1)的根，
所以a=−2，
故选：A．
根据增根的定义，代入分式方程去分母后所得到的整式方程即可．
本题考查分式方程的增根，理解增根的定义和产生过程是正确解答的关键．
17.【答案】A
【解析】解：如图，连接OB、OC，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠AOB=∠BOC=360°5=72°，
∴∠AOC=144°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=180°−144°2=18°，
故选：A．
根据正多边形和圆的性质求出中心角的度数，再根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算即可．
本题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握正多边形中心角的计算方法，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提．
18.【答案】D
【解析】解：A选项，由题意可知，二次函数与x轴有2个交点，所以Δ=b2−4ac>0，故A选项不符合题意．
B选项，x>0是，y的值随x值增大而增大，故B选项不符合题意．
C选项，根据对称轴方程x=x1+x22得到，x=−2，所以C选项不符合题意．
D选项，当x=−3时，y<0，即9a−3b+c<0，则D选项符合题意．
故选：D．
二次函数图象与系数的关系，Δ=b2−4ac决定与x轴交点情况，对称轴x=x1+x22，取特殊值x=−3，进一步确定y的范围．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，涉及到二次函数的对称轴方程，二次函数的增减性，二次函数与一元二次方程解的情况．
19.【答案】−2
【解析】
【分析】
本题考查了立方根与算术平方根的定义，是易错题，熟记概念是解题的关键．
先根据算术平方根的定义求出 64，再利用立方根的定义解答．
【解答】
解：∵82=64，
∴ 64=8，
∴− 64=−8，
∵(−2)3=−8，
∴− 64的立方根是−2．
故答案为：−2．
20.【答案】3a(a+3b)(a−3b)
【解析】解：3a3−27ab2
=3a(a2−9b2)--(提取公因式)
=3a(a+3b)(a−3b)．
故答案为：3a(a+3b)(a−3b)．
先提取公因式3a，再根据平方差公式进行二次分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
21.【答案】=−9
【解析】解：如图所示，延长PA交y轴于点D，延长PB交x轴于E，
点P是双曲线y=mx(m是常数)上一点，设P(a,b)，
∵图象在第四象限，
∴a>0，b<0．
点A，B是双曲线y=nx(n是常数)上一点，AP//x轴，BP//y轴，
∴E(a,0)，D(0,b)，则OE=DP=a，OD=EP=−b，ab=m，
∴点A的纵坐标为b，则A(nb,b)，点B的横坐标为a，则B(a,na)，
∵四边形APBO的面积为9，
∴9=−ab+12n+12n，
∴9=−m+n，
∴m−n=−9．
故答案为：−9．
根据题意，延长PA交y轴于点D，延长PB交x轴于E点，设P(a,b)，点A的纵坐标为b，则A(nb,b)，点P的横坐标为a，则B(a,na)，根据面积计算公式即可求解．
本题主要考查反比例函数与几何图形的面积，掌握反比例函数图象的性质，几何图形面积的计算公式，不规则图形面积的计算方法是解题的关键．
22.【答案】45°−α 109
【解析】解：(1)∵AC⋅DE=AE⋅DF，
∴ACDF=AEDE，
∵∠C=∠F=90°，
∴Rt△ACE∽Rt△DFE，
∴∠EDF=∠EAC=α，
∵AC=BC，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∴∠BAE=∠BAC−∠EAC=45°−α，
故答案为：45°−α；
(2)∵∠C=∠F=90°，
在Rt△ACE和Rt△EFA中，
AC=EFAE=EA，
∴Rt△ACE≌Rt△EFA(HL)，
∴EC=AF，∠EAC=∠AEF，
∴△GAE是等腰三角形，
∴GE=GA，
∵BEEC=12，即EC=2BE，
∴BC=3BE=4，
∴BE=43，AF=EC=4−43=83，
设GF=x，AG=EG=4−x，
在Rt△AGF中，利用勾股定理得AF2+FG2=AG2，
即(83)2+x2=(4−x)2，
解得x=109，
∴GF=109．
故答案为：109．
(1)由AC⋅DE=AE⋅DF，证明Rt△ACE∽Rt△DFE，得到∠EDF=∠EAC=α，再根据△ACB是等腰直角三角形可得∠BAC=45°，即可得出结果；
(2)证明Rt△ACE≌Rt△EFA，可得EC=AF，∠EAC=∠AEF，从而证明△GAE是等腰三角形，得出GE=GA，利用BEEC=12，BC=4，求出BE=43，AF=EC=83，设GF=x，AG=EG=4−x，在Rt△AGF中利用勾股定理即可求解．
本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质证明三角形相似或全等是解题的关键．
23.【答案】4
【解析】解：设这个箱子中红球的个数为x个．
根据题意，得x6=23，
解得x=4．
答：这个箱子中红球的个数为4个．
故答案为：4．
设这个箱子中红球的个数为x个，再根据概率公式求出x的值即可．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24.【答案】x>1
【解析】解：解不等式−2x<4，得：x>−2，
解不等式x−1>0，得：x>1，
则不等式组的解集为x>1，
故答案为：x>1．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组的能力，熟练掌握不等式的基本性质以准确求出每个不等式的解集是解答此题的关键．
25.【答案】28
【解析】解：∵OAA′A=25，
∴OA：OA′=2：7，
∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形，
∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB//A′B′，
∴△OAB∽△OA′B′，
∴ABA′B′=OAOA′=27，
∴四边形ABCD的周长：四边形A′B′C′D′的周长=2：7，
∵四边形ABCD的周长是8，
∴四边形A′B′C′D′的周长为28，
故答案为：28．
根据位似图形的概念得到四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB//A′B′，得到△OAB∽△OA′B′，根据相似三角形的性质得到ABA′B′=OAOA′=27，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．
此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．
26.【答案】x1=2，x2=−1
【解析】解：x2+x=2(x+1)，
x2−x−2=0，
(x−2)(x+1)=0，
x−2=0或x+1=0，
所以x1=2，x2=−1．
故答案为：x1=2，x2=−1．
先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为x−2=0或x+1=0，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
27.【答案】20
【解析】解：由作法得BM垂直平分AE，
∴∠AFB=90°，
∴∠FBC=90°−∠ACB=90°−35°=55°，
设AC与BD相交于点O，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=35°，
∴∠FBD=∠FBC−∠OBC=55°−35°=20°．
故答案为：20．
利用基本作图得到由BM垂直平分AE，所以∠AFB=90°，则利用互余可计算出∠FBC=55°，设AC与BD相交于点O，如图，根据矩形的性质得到OB=OC，所以∠OBC=∠OCB=35°，然后计算∠FBC−∠OBC即可．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了矩形的性质．
28.【答案】7
【解析】解：x+y=1两边平方得：x2+2xy+y2=1，
将xy=−3代入得：x2+y2=1+6=7．
故答案为：7．
把x+y=5两边平方，利用完全平方公式展开后将xy的值代入即可求出所求式子的值．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
29.【答案】0≤m<43
【解析】解：根据题意知，Δ=(− m)2−4×(m−1)>0且m≥0．
解得0≤m<43，
故答案为：0≤m<43．
由Δ>0列出不等式并求得m的值即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)根的判别式Δ=b2−4ac.当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．同时考查了二次根式有意义的条件．
30.【答案】19
【解析】解：∵∠FEH=90°，
∴∠AEF+∠DEH=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠DEH，
∵∠A=∠D，EF=HE，
∴△AEF≌△DHE(AAS)，
∴AE=DH，
∴DE=CH，
同理，AF=BG=CH=DE，
∵AE=2ED，
∴A′E=2D′E，
∴A′D′=13AD，
同理，A′B′=B′C′=C′D′=13AD，
∴在正方形ABCD区域随机取点，点落在正方形A′B′C′D′区域的概率为A′B′2AD2=19AD2AD2=19．
故答案为：19．
先证明△AEF≌△DHE(AAS)，可得AF=BG=CH=DE，根据折叠的性质得A′E=2D′E，所以A′D′=13AD，同理，A′B′=B′C′=C′D′=13AD，根据概率公式即可求出答案．
本题考查了几何概率，全等三角形的判定与性质，正方形的性质以及折叠的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质和折叠的性质是解题的关键．
31.【答案】12 13
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=2m，
当y1=y2时，点P，Q关于对称轴对称，
∴m+m+12=2m，
解得m=12，
将x=0代入y=x2−4mx+1得y=1，
∴抛物线经过(0,1)，
由抛物线的对称性可得抛物线经过(4m,1)，
当4m>0时，m+m+12>2m且m+1<4m，
解得13
解得m<−1，
∴13
32.【答案】2 3− 62
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AD//CB，
∴∠DAB=180°−∠ABC=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAQ=∠ADP=60°，
∵AQ=DP，
∴△ABQ≌△DAP(SAS)，
∴∠ABQ=∠DAP，
∴∠AEQ=∠EAB+∠ABE=∠EAB+∠DAP=60°，
∴∠AEB=180°−60°=120°，
作△AEB的外接圆，圆心为O，连接OC，OD，OA，OB，OD交CE于点F．
当CE与⊙O相切时，∠OCE的值最大，此时∠DCE的值最小．
设OA=a，则菱形边长为 3a，OD=2a，OC= 7a，
∵∠CDF=∠OEF，∠CFD=∠OFE，
∴△CDF∽△OEF，
∴OECD=EFDF=OFCF，
即a 3a=EFDF=2a−DFEF，
解法EF=2 3− 62a，
∴tan∠DCE=tan∠EOF=EFOE=2 3− 62．
故答案为：2 3− 62．
证明∠AEB=180°−60°=120°，作△AEB的外接圆，圆心为O，连接OC，OD，OA，OB，OD交CE于点F.当CE与⊙O相切时，∠OCE的值最大，此时∠DCE的值最小．设OA=a，则菱形边长为 3a，OD=2a，OC= 7a，想办法求出EF，可得结论．
本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，切线的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型．
33.【答案】解：(1)设2019到2021年中国数字阅读市场规模的年平均增长率为x．
根据题意可得293(1+x)2=421.92．
解得x1=0.2，x2=−2.2(舍)．
所以0.2=20%．
答：2019到2021年中国数字阅读市场规模的年平均增长率为20%．
(2)由题意得：421.92×(1+20%)=506.304亿元．
∵506.304<510，
∴2022年中国数字阅读市场规模不可以达到510亿元．
答：2022年中国数字阅读市场规模不可以达到510亿元．
【解析】(1)设2019到2021年中国数字阅读市场规模的年平均增长率为x.根据题意列出一元二次方程并求解即可．
(2)根据题意求出2022年中国数字阅读市场规模，再进行判断即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
34.【答案】解：4sin45°− 8+|1− 3|−(−12)−1−(3−π)0
=4× 22−2 2+ 3−1−(−2)−1
=2 2−2 2+ 3−1+2−1
= 3．
【解析】直接利用二次根式的性质、零指数幂、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算、零指数幂、绝对值的性质、负指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
35.【答案】解：设甲种商品有x个，则乙种商品有(3x−30)个，
根据题意得：20x+30(3x−30)=4600，
解得x=50，
则3x−30=3×50−30=120，
答：这批商品中甲种商品有50个，乙种商品有120个．
【解析】设甲种商品有x个，则乙种商品有(3x−30)个，根据“总价值为4600元”列出方程，解方程即可求解．
本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
36.【答案】3119×(2−311)=3−211 6n+14n−1(2−32n+1)=3−22n+1
【解析】解：(1)第5个等式为：3119×(2−311)=3−211，
故答案为：3119×(2−311)=3−211；
(2)∵第1个等式：73×(2−33)=3−23；
第2个等式：137×(2−35)=3−25；
第3个等式：1911×(2−37)=3−27；
第4个等式：2515×(2−39)=3−29；
…
∴第n个等式为：6n+14n−1(2−32n+1)=3−22n+1，
证明：左边=6n+14n−1⋅4n−12n+1=6n+12n+1=6n+3−22n+1=3(2n+1)−22n+1=3−22n+1=右边，
故猜想成立．
故答案为：6n+14n−1(2−32n+1)=3−22n+1．
(1)根据所给的等式进行求解即可；
(2)分析所给的等式不难得出：6n+14n−1(2−32n+1)=3−22n+1，再把等式左边进行整理即可求证．
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
37.【答案】 5π2
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
由勾股定理得，OB= 22+12= 5，
∴旋转过程中，点B经过的路径长为90π× 5180= 5π2．
故答案为： 5π2．
(1)根据位似的性质作图即可．
(2)根据旋转的性质作图即可；由勾股定理求出OB的长，再利用弧长公式计算即可．
本题考查作图−位似变换、旋转变换、勾股定理、弧长公式，熟练掌握位似和旋转的性质、勾股定理、弧长公式是解答本题的关键．
38.【答案】解：(1)连接OA，如图，
∵CD为直径，
∴∠DAC=90°．
∴∠D+∠C=90°，
∵AB为⊙O的切线，
∴OA⊥AB，
∴∠AOB+∠B=90°，
∵∠B=25°，
∴∠AOB=65°．
∵OE⊥AC，
∴∠OAC+∠AOB=90°，
∴∠OAC=25°．
∵OA=OC，
∴∠C=∠OAC=25°．
∴∠D=90°−∠C=65°；
(2)∵OEEF=12，
∴设OE=a，则EF=2a，
∴OF=OE+EF=3a．
∵OE⊥OC，
∴AE=EC．
∵OD=OC，
∴OE为△CDA的中位线，
∴AD=2OE=2a，
∵AD=2，
∴a=1．
∴OE=1，OA=OF=3．
∵OA⊥AB，AE⊥OB，
∴△OAE∽△OBA，
∴OAOE=OBOA，
∴31=OB3，
∴OB=9．
∴BF=OB−OF=9−3=6．
【解析】(1)连接OA，利用圆周角定理得到∠D+∠C=90°，利用圆的切线的性质定理得到∠AOB+∠B=90°，再利用直角三角形的性质和等腰三角形的性质得到∠C=∠OAC=25°，则∠D=90°−∠C=65°；
(2)设OE=a，则EF=2a，OF=OE+EF=3a，利用垂径定理和三角形的中位线定理得到AD=2OE=2a，求得a值；再利用相似三角形的判定与性质求得OB，则BF=OB−OF．
本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
39.【答案】10 108
【解析】解：(1)由题意可得，a=5÷10%×20%=10，
扇形统计图中C组所在的扇形的圆心角为(1−10%−20%−24%−16%)×360°=108°，
故答案为：10，108；
(2)由题意可知，被抽取的n名学生这一天的体育活动时间数据的中位数在C组；
(3)720×(24%+16%)=288(名)，
答：估计该校九年级学生平均每天体育活动时间不低于120分钟的有288名学生．
(1)根据A组的频数和百分比求出抽取总数，用总数乘以B组所占比例可得求出a的值，求出C组所占百分比，乘以360°即可求解；
(2)根据中位数的定义即可求解；
(3)用样本估计总体即可．
本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是求出样本容量，利用数形结合的思想解答．
40.【答案】解：(1)根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为(1,2.25)，A(0,1.25)，
设第一象限内的抛物线解析式为y=a(x−1)2+2.25，
将点A(0,1.25)代入物线解析式，
1.25=a(0−1)2+2.25，
解得α=−1，
∴第一象限内的抛物线解析式为y=−(x−1)2+2.25；
(2)根据题意，令y=1.76，
即−(x−1)2+2.25=1.76，
解得x1=0.3，x2=1.7，
∵−1<0，抛物线开口向下，
∴当0.3
∴d的取值范围为0.3
∵l//PB，
设直线l的解析式为y=−x+m，
联立直线与抛物线解析式，
y=−x+my=−(x−1)2+2.25，
整理得x2−3x+m−1.25=0，
∵直线l与抛物线相切，
∴方程只有一个根，
∴Δ=32−4×1×(m−1.25)=0，
解得m=3.5，
∴直线l的解析式为y=−x+3.5，
令y=0，则x=3.5，
∴E(3.5,0)，
∴BE=4−3.5=0.5，
即EB=12，
∵射灯射出的光线与地面成45°角，
∴∠EBG45°，
∵∠EGB=90°，
sin∠EBG=EGEB= 22，
∴EG= 22×12= 24，
∴光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为 24米．
【解析】(1)根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点A坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式；
(2)直接令y=1.76，解方程求出x的值，再根据函数的图象和性质，求出y>1.76时x的取值范围即可；
(3)先作辅助线，作出直线BP的平行线l，使它与抛物线相切于点D，然后设出直线l的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线l的解析式，从而得到直线与x轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线l与直线BP之间的距离．
本题考查二次函数的应用，直线的平移，直线和抛物线相切等知识，关键是求抛物线解析式．
41.【答案】(1)证明：如图1中，∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∠D+∠ABC+∠∠BAD=180°，
又∵∠BAC=∠D，
∴∠B=∠BAD，
∴AD=DB；
(2)解：①∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD=∠ADB，
设AB=AC=CD=a，BC=b，
∵∠B=∠B，
∴△BAC∽△BDA，
∴ABBD=BCAB，
∴AB2=BC⋅BD，
∴a2=b(a+b)，
∴a2−ab−b2=0，
∴(ab)2−ab−1=0，
∴ab=1+ 52(负值已经舍去)，
∴ba+b=23+ 5=3− 52，
∵CE⊥AB，DF⊥BC，
∴CE//DF，
∴CEDF=BCDB=ba+b=3− 52；
②连接EG，BG，设BG交CE于点J．
∵CE⊥AB.DF⊥AB，
∴CE//DF，
∴∠HEC=∠HDG，
∵EH=DH，∠EHC=∠DHG，
∴△EHC≌△DHG(AAS)，
∴EC=DG，
∵EC//DG，
∴四边形ECDG是平行四边形，
∴EG//CD，
∴∠AEG=∠ABC，∠AGE=∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠AEG=∠AGE，
∴AE=AG，
∴BE=CG，
∵BC=CB，
∴△EBC≌△GCB(SAS)，
∴∠BEC=∠CGB=90°，
∵DA=DB，DF⊥AB，
∴AF=BF，
∴GA=GB，
∴∠GAB=∠GBA=45°，
∵DA=DB，
∴∠DAB=∠DBA，
∴∠DAG=∠DBG，
∵△EBC≌△GCB，
∴∠GBC=∠ECB，
∵EC//DF，
∴∠ECB=∠BDF，
∵∠BDF=∠ADF，
∴∠GBD=∠GDB=∠GAB=∠GDA，
∴GA=GB=GD，
设CG=x，
∵∠ACE=∠CAE=45°，∠CGJ=90°，
∴∠CJG=∠GCJ=45°，
∴GJ=CG=x，CJ= 2x，
∵∠JCB=∠JBC，
∴JB=CJ= 2x
∴GA=GB=x+ 2x，
∵∠DCG=∠ACD，∠CDG=∠CAD，
∴△DCG∽△ACD，
∴CDAC=CGCD，
∴CD2=CG⋅CA，
∴22=x(2x+ 2x)，
解得x2=4−2 2，
∵BC= CG2+BG2= x2+( 2x+x)2= 4+2 2x= (4+2 2)(4−2 2)=2 2，
∴AD=DB=CD+BC=2+2 2．
【解析】(1)欲证明AD=DB，只要证明∠DAB=∠B即可；
(2)①设AB=AC=CD=a，BC=b，证明△BAC∽△BDA，推出AB2=BC⋅BD，可知a2−ab−b2=0，即(ab)2−ab−1=0，可得ab=1+ 52(负值已经舍去)，即可解决问题；
②连接EG，BG，设BG交CE于点J.证明△AGB是等腰直角三角形，再证明GA=GB=GD，设CG=x，则JG=CG=x，CJ=BJ= 2x，利用相似三角形的性质求出x，可得结论．
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
42.【答案】解：(1) 12−(12)−2+cos30°+( 3+1)0
=2 3−4+ 32+1
=5 32−3；
(2)(2x−1−1x)÷(1+x+1x2+x)
=2x−x+1x(x−1)÷x2+x+x+1x(x+1)
=x+1x(x−1)⋅x(x+1)(x+1)2
=1x−1，
当x= 2+1时，原式=1 2+1−1= 22．
【解析】(1)先化简，然后计算加减法即可；
(2)先将括号内的式子通分，然后计算括号外的除法，再将x的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值、实数的运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键．
43.【答案】解：过点A作AM⊥EC于点M，
∵∠ACM=30°，AC=1.2m，
∴AM=12AC=0.6m，
CM=AC⋅sin60°=1.2× 32≈1.038(m)，
∵tan∠ADM=AMDM，
∴tan17°=0.6DM≈0.30，
解得：DM=2，
故DC=DM−CM=2−1.038≈0.96(m)，
答：改造后的坡道在水平方向上延伸的距离CD为0.96米．
【解析】直接利用锐角三角函数关系得出AM，CM的长，进而得出DM的长，即可得出答案．
此题主要考查了锐角三角函数关系的应用，正确得出DM的长是解题关键．
44.【答案】20人 9分
【解析】解：(1)本次抽样调查的学生人数为：5÷25%=20(人)；
本次抽样调查中，6分的学生人数为：20×10%=2(人)，9分的学生人数为：20×35%=7(人)，
即9分的学生人数最多，
∴本次抽样调查的测试成绩众数是9分，
故答案为：20人，9分；
(2)460×5+7+420=368(人)，
答：估计本校九年级学生测试成绩为“优秀”的人数为368人；
(3)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选中的2人恰好是1名男生和1名女生的结果有8种，
∴选中的2人恰好是1名男生和1名女生的概率为812=23．
(1)由5分的学生人数除以所占百分比得出本次抽样调查的学生人数，即可解决问题；
(2)由九年级学生人数乘以测试成绩为“优秀”的人数所占的比例即可；
(3)画树状图，共有12种等可能的结果，其中选中的2人恰好是1名男生和1名女生的结果有8种，再由概率公式即可得出结论．
此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
45.【答案】解：(1)连接OC，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵AB=8，
∴OC=OA=4，
在Rt△OCD中，OD= CD2+OC2= 32+42=5，
∴AD=OD−OA=5−4=1，
∵CF⊥AB，
∴CH=FH，
∵12CH⋅OD=12OC⋅CD，
∴CH=3×45=125，
∴FH=CH=125，
即AD的长为1，FH的长为125；
(2)连接BF、EF，如图，
∵CF⊥AB，
∴BC=BF，
∴∠BFC=∠BEF，
∵∠GEC=∠BFC，
∴∠GEC=∠BEF，
∵∠GCE=∠EBF，
∴△GCE∽△FBE，
∴GCBF=CEBE=35，
在Rt△OCH中，∵OH= OC2−CH2= 42−(125)2=165，
∴BH=OH+OB=165+4=365，
在Rt△BFH中，BF= HF2+BH2= (125)2+(365)2=12 105，
∴GC=35BF=35×12 105=36 1025．
【解析】(1)连接OC，如图，先根据切线的性质得到∠OCD=90°，再利用勾股定理计算出OD，则计算OD−OA得到AD的长，由于CF⊥AB，根据垂径定理得到CH=FH，然后利用面积法求出CH，从而得到FH的长；
(2)连接BF、EF，如图，先根据垂径定理得到BC=BF，则利用圆周角定理得到∠BFC=∠BEF，再利用圆内接四边形的性质得到∠GEC=∠BEF，∠GCE=∠EBF，于是可判断
△GCE∽△FBE，利用相似三角形的性质得到GCBF=35，接着利用勾股定理计算出OH，从而得到BH的长，然后计算出BF的长，从而可求出CG的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
46.【答案】解：(1)将点A的坐标代入一次函数表达式得：4=−2a+6，则a=1，即点A(1,4)，
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k=1×4=4，
则反比例函数的表达式为：y=4x①，
联立y=4xy=−2x+6，
解得：x=2y=2，
即点B(2,2)；
(2)根据点的对称性，点C和点B关于原点对称，则点C(−2,−2)，
由题意得，直线BC的表达式为：y=x，
过点A作AT//y轴于点T，则点T(1,⋅1)，则AT=4−1=3，
则△ACB的面积=S△ATC+S△ATB=12×AT⋅(xB−xC)=12×3×(2+2)=6；
(3)设AC和BD交于点H，
根据“等直四边形”的定义，AC⊥BD，则∠AHB=90°，且AC=BD，
根据图象的对称性，△ABH为等腰直角三角形，且AH=BH，
如图，将左侧图部分放大，设点H(m,n)，
过点H作GN//y轴，交过点A和x轴的平行线于点G，交过点B与x轴的平行线于点N，
∵∠GHA+∠GAH=90°，∠GHA+∠BHN=90°，
∴∠GAH=∠BHN，
∵∠HGA=∠BNH=90°，AH=BH，
∴△HGA≌△BNH(AAS)，
则GA=HN，GH=BN，
即n−2=1−m且4−n=2−m，
解得：m=12n=52，
则点H(12,52)，
由点A、H的坐标得，直线AH的表达式为：y=3x+1②，
联立①②得：4x=3x+1，
解得：x=1(舍去)或−43，
即点C(−43,−3)．
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)由△ACB的面积=S△ATC+S△ATB=12×AT⋅(xB−xC)，即可求解；
(3)证明△HGA≌△BNH(AAS)，得到GA=HN，GH=BN，进而求解．
本题为反比例函数综合运用题，涉及到新定义、面积的计算、一次函数的性质等，正确理解新定义是本题解题的关键．
47.【答案】解：(1)设乙队每天建造xm2，
根据题意，得900x+2=720x，
解得x=8，
经检验，x=8是原分式方程的根，且符合题意，
8+2=10(m2)，
答：甲队每天建造10m2，乙队每天建造8m2；
(2)设乙队施工m天，该场馆的建设费用为w元，
根据题意，得5100−8m≥2⋅8m，
解得m≤212.5，
w=1000⋅5100−8m10+600m=−200m+510000，
∵−200<0，
∴w随着m的增大而减小，
当m取得212时，w取得最小值，最小值为467600元，
答：该场馆的建设费用最少需要467600元．
【解析】(1)设乙队每天建造xm2，根据甲队建造900(m2)与乙队建造720(m2)所需天数相同，列分式方程，求解即可；
(2)设乙队施工m天，该场馆的建设费为w元，根据甲队建造的面积不少于乙队建造面积的2倍，列一元一次不等式，求出m的取值范围，再表示出w与m的一次函数，根据一次函数的性质即可确定该场馆的建设费用最小值．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立相应的关系式是解题的关键．
48.【答案】解：(1)如图：
∵A(−1,0)，B(4,0)，
∴OA=1，OB=4，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACO=90°−∠BCO=∠CBO，
∵∠AOC=90°=∠BOC，
∴△AOC∽△COB，
∴OAOC=OCOB，即1OC=OC4，
∴OC=2，
∴C(0,2)，
把A(−1,0)，B(4,0)，C(0,2)代入y=ax2+bx+c得：
a−b+c=016a+4b+c=0c=2，
解得a=−12b=32c=2，
∴抛物线的解析式为y=−12x2+32x+2；
(2)过Q作QH⊥AB于H，如图：
由B(4,0)，C(0,2)得直线BC解析式为y=−12x+2，CB=2 5，
设运动时间为t s，则AP=2t，CQ= 5t，
∴BP=5−2t，BQ=2 5−t，
∵∠QHB=90°=∠COB，∠QBH=∠CBO，
∴△QBH∽△CBO，
∴QHOC=BQBC，即QH2=2 5− 5t2 5，
∴QH=2−t，
设△CPQ的面积为S，
∴S=12BP⋅OC−12BP⋅QH=12BP⋅(OC−QH)=12(5−2t)⋅t=−t2+52t=−(t−54)2+2516，
∵−1<0，
∴当t=54时，S取最大值，最大值为2516，
此时BP=5−2t=52，
∴OP=OB−BP=4−52=32，
∴P(32,0)；
∴△CPQ的最大面积是2516，P的坐标为(32,0)；
(3)m+n为定值，理由如下：
设直线EF解析式为y=kx，
由y=kxy=−12x2+32x+2得：x2−(3−2k)x−4=0，
设E(p,kp)，F(q,kq)，则p，q是x2−(3−2k)x−4=0的两个实数解，
∴p+q=3−2k，pq=−4，
∵E(p,kp)在直线y=mx+4上，F(q,kq)在直线y=nx+4上，
∴kp=mp+4，kq=nq+4，
∴p=4k−m，q=4k−n，
∴4k−m+4k−n=3−2k①，
4k−m⋅4k−n=−4②，
由②得(k−m)(k−n)=−4，
由①得：4(k−n)+4(k−m)=(3−2k)(k−m)(k−n)，
∴4(k−n)+4(k−m)=(3−2k)×(−4)，
化简整理得m+n=3，
∴m+n的值是定值3．
【解析】(1)证明△AOC∽△COB，可得OC=2，C(0,2)，再用待定系数法可得抛物线的解析式为y=−12x2+32x+2；
(2)过Q作QH⊥AB于H，由B(4,0)，C(0,2)得直线BC解析式为y=−12x+2，CB=2 5，设运动时间为t s，证明△QBH∽△CBO，可得QH=2−t，设△CPQ的面积为S，则S=12BP⋅OC−12BP⋅QH=12BP⋅(OC−QH=−t2+52t=−52(t−54)2+2516，根据二次函数性质即可得△CPQ的最大面积是2516，P的坐标为(32,0)；
(3)设直线EF解析式为y=kx，由y=kxy=−12x2+32x+2得：x2−(3−2k)x−4=0，设E(p,kp)，F(q,kq)，则p，q是x2−(3−2k)x−4=0的两个实数解，有p+q=3−2k，pq=−4，又kp=mp+4，kq=nq+4，可得p=4k−m，q=4k−n，故4k−m+4k−n=3−2k①，4k−m⋅4k−n=−4②，化简整理得m+n=3，即可得到答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
49.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴△ABC∽△DBE，
∴DEAC=BEBC=BDAB，
设CD=x，则DE=x，
∵∠ACB=90°，AB=5，AC=3，
∴BC= AB2−AC2=4，
∴BD=4−x，
∴x3=BE4=4−x5，
解得x=32，
∴BE=2；
(2)①延长BD交CF于点H，
∵∠FCE=∠ABC，∠DBE=∠ABC，
∴∠FCE=∠DBE，
∴∠BHC=∠CEB=90°，
∵∠HBC=∠EBG，
∴△HBC∽△EBG，
∴BEBH=BGBC，
在Rt△BEC中，BC=4，BE=2，
∴CE= BC2−BE2=2 3，
∴CD=CE−DE=2 3−32，
在Rt△BDE中，sin∠DBE=DEBD=35，
在Rt△CDH中，sin∠DCH=DHCD=35，
∴DH=35CD=65 3−910，
∴BH=BD+DH=6 3+811，
∴26 3+811=BG4，
∴BG=60 3−8011；
②过点E作CE的垂线，与CM的延长线交于点N，连接ND，NB，
∵∠FCE=∠DBE，∠CEN=∠BED=90°，
∴△CEN∽△BED，
∴NEDE=CEBE，
∵∠DEN=∠CEB，
∴△DEN∽△BEC，
∴∠DNE=∠BCE，NDBC=DEBE，
∵NE⊥CE，
∴ND⊥BC，
∵AC⊥BC，
∴ND//AC，
又∵DEBE=ACBC，
∴NDBC=ACBC，即ND=AC，
∵ND//AC，ND=AC，
∴四边形ACDN是平行四边形，
∴MC=MN，
在Rt△CEN中，EM是斜边CN的中线，
∴ME=MC=MN，
若点M在BE的垂直平分线上，则MB=ME，
∴MB=MC=MN，
∴△CBN为直角三角形，即NB⊥BC，
又ND⊥BC，
∴若点M在BE的垂直平分线上时，N，D，B三点共线，
当点B在ND延长线上时，AD= 42+(3−2.5)2= 652，
∴AM=12AD= 654，
当点B在ND上时，AD= 42+(3+2.5)2= 1852，
∴AM= 1854
综上所述，当点M在BE的垂直平分线上时，AM的长为 654或 1854．
【解析】(1)证明△ABC∽△DBE，由相似三角形的性质得出DEAC=BEBC=BDAB，设CD=x，则DE=x，BD=4−x，得出x3=BE4=4−x5，解得x=32，则可得出答案；
(2)①延长BD交CF于点H，证明△HBC∽△EBG，由相似三角形的性质得出BEBH=BGBC，求出BH和BE的长，则可得出答案；
②过点E作CE的垂线，与CM的延长线交于点N，连接ND，NB，证明△CEN∽△BED，得出NEDE=CEBE，当点B在ND延长线上时，当点B在ND上时，由勾股定理求出AD的长，则可得出答案．
本题是几何变换综合题，考查了旋转变换、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用熟悉的模型，添加辅助线解决问题
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