2023年吉林省长春市德惠市中考数学二模试卷（含解析）

2023年吉林省长春市德惠市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列汽车车标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  截至年月日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约亿吨，将用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若一个正多边形的一个内角是，则这个正多边形的边数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，直线，连接，点是上一点，，，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，某飞机于空中处探测到正下方的地面目标，此时飞机高度为米，从飞机上看地面控制点的俯角为，则、之间的距离为(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

7.  如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，以下结论错误的是(    )

A. 是的平分线 B.
C. 点在线段的垂直平分线上 D. ：：

8.  在平面直角坐标系中，点，，的图象如图所示，则的值可以为(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  因式分解：______．

10.  不等式组的解集是______．

11.  如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”的周长为，则正方形的边长为______ ．

12.  将一块含角的三角板如图放置，三角板的一个顶点落在以为直径的半圆上，斜边恰好经过点，一条直角边与半圆交于点，若，则的长为______结果保留．
 

13.  据墨经记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图所示．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是          ．

 

14.  如图，平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点、为线段的三等分点，且、在反比例函数的图象上，若的面积为，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

16.  本小题分
一只不透明的袋子中装有个白球、个红球，这些球除颜色外都相同．
搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率等于______；
搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球．用列表或画树状图的方法，求次都摸到红球的概率．

17.  本小题分
某市政工程队承担着米长的道路维修任务．为了减少对交通的影响，在维修了米后通过增加人数和设备提高了工程进度，工作效率是原来的倍，结果共用了小时就完成了任务．求原来每小时维修多少米？

18.  本小题分
图，图，图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图，图，图给定的网格中按要求画图保留作图痕迹
在图中，在线段上画出点，使．
在图中，画出一个格点，使是以为斜边的等腰直角三角形．
在图中，在线段上画出点，使．

19.  本小题分
如图，点，分别在▱的边，上，，连接，请从以下三个条件：；；中，选择一个合适的作为已知条件，使▱为菱形．
你添加的条件是______填序号；
添加了条件后，请证明▱为菱形．

20.  本小题分
某校为引导学生传承红色精神，争当时代新人，在全校开展“红色教育”学习活动，并让学生利用周末的时间，在家观看与“红色教育”相关的视频，为了解学生观看“红色教育”相关视频的时间情况，学校随机调查了部分学生最近一周周末在家观看“红色教育”相关视频的时间，根据调查结果绘制了如下统计图表均不完整．

根据以上信息，解答下列问题：
共调查了名学生；统计表中， ______ ， ______ ；并将条形统计图补充完整；
被调查的学生观看“红色教育”相关视频的时间的中位数在组；
已知、、、四组数据的平均数分别为，，，，请你估计该校学生最近一周周末观看“红色教育”相关视频的时间的平均数．

21.  本小题分
小林同学从家出发，步行到离家米的公园散步，速度为米分钟；分钟后哥哥也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园，哥哥到达公园后立即以原速返回家中，两人离家的距离米与小林出发的时间分钟的函数关系如图所示．
______ ；
求所在直线的函数表达式；
小林与哥哥第二次相遇时距离公园还有多远？

22.  本小题分
【自主学习】填空：
如图，点是的平分线上一点，点在上，用圆规在上截取，
连接，，可得≌______，其理由根据是______；
【理解运用】如图，在中，，，平分交边于点，试判断和、之间的数量关系并写出证明过程．
【拓展延伸】如图，在中，，，分别是，的平分线，，交于点，若，，请直接写出的长．
 

23.  本小题分
如图，在矩形中，，，为边的中点，点从点出发沿射线以每秒个单位的速度运动，为线段的中点，过点作的垂线，过点作的平行线，两线交于点设点运动的时间为秒．
直接写出线段的长．用含的代数式表示
当点落在边上时，求的值．
当与矩形重合部分图形为四边形时，求的取值范围．
当点与点到矩形的一个内角的角平分线距离相等时，直接写出的值．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与轴交点的坐标．
求抛物线对应的函数表达式．
当时，的取值范围是______ ．
若时，，则的取值范围是______ ．
二次函数图象上一点，其横坐标为过点作轴于点，点，以、为边构建矩形，当矩形的边与二次函数的图象只有三个交点时，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
 

2.【答案】 

【解析】解：用科学记数法表示应为．
故选：．
把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据图形可以得到：
；
所以：、、都是错误的；
故选：．
利用数轴得与实数得关系，及正负数在数轴上的表示求解．
本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：正多边形的每个内角都相等，且为，
其一个外角度数为，
则这个正多边形的边数为．
故选：．
通过内角求出外角，利用多边形外角和度，用除以外角度数即可．
本题主要考查了多边形的内角与外角公式，求正多边形的边数时，内角转化为外角，利用外角和知识求解更简单．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
故选：．
由平行线的性质可得，再由三角形外角性质可得即可求解．
本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质，
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意可得：米，，
，
米．
故选：．
由题可知，在直角三角形中，知道已知角和对边，只需根据正切值即可求出．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，本题的关键是结合图形利用三角函数解直角三角形．
 

7.【答案】 

【解析】解：由作法得平分，所以选项的结论正确；
，，
，
，
，所以选项的结论正确；
，
，
点在的垂直平分线上，所以选项的结论正确；
在中，
，
，
而，
，
：：，
：：，所以选项的结论错误．
故选：．
利用基本作图可对选项进行判断；通过角度的计算得到，，则可对选项的结论正确；利用得到，则根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理可对选项进行判断；根据含度的直角三角形三边的关系得到，则，所以：：，然后根据三角形面积公式可对选项进行判断．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线是解题的关键．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：时，，即；
当时，，即，解得，
所以．
故选：．
利用时，和当时，得到的范围，然后对各选项进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．当与同号时即，对称轴在轴左侧；当与异号时即，对称轴在轴右侧．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
首先提公因式，然后利用平方差公式即可分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

10.【答案】 

【解析】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：设正方形、、、的边长分别为、、、，
“优美矩形”的周长为，
，
，，，
，
，
，则，
，
，
正方形的边长为，
故答案为：．
设正方形、、、的边长分别为、、、，分别求得，，由“优美矩形”的周长得，列式计算即可求解．
本题考查了整式加减的应用，认真观察图形，根据长方形的周长公式推导出所求的答案是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，
由圆周角定理得，，
的长，
故答案为：．

连接，根据圆周角定理求出，根据弧长公式计算即可．
本题考查的是弧长的计算、圆周角定理，掌握弧长公式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设蜡烛火焰的高度是，
由相似三角形的性质得到：．
解得．
即蜡烛火焰的高度是．
故答案为：．
直接利用相似三角形的对应边成比例解答．
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
 

14.【答案】 

【解析】解：在反比例函数的图象上，
设点，
点、为线段的三等分点，
：：，
点为，
的面积为，
，
．
故答案为：．
设出点坐标，利用三等分点的已知条件表示出点的坐标，再根据的面积为，求出即可．
本题考查了反比例函数的关系式的求法，利用面积表示点的坐标是解题关键．
 

15.【答案】解：，
把代入上式得：
原式． 

【解析】先把括号中通分后，利用同分母分式的减法法则计算，同时将除式的分子分解因式后，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数把除法运算化为乘法运算，约分后得到最简结果，再把代入进行计算即可．
此题考查了分式的化简求值，关键是通分，找出最简公分母，分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，化简求值题要将原式化为最简后再代值．
 

16.【答案】解：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中次都摸到红球的结果有种，
次都摸到红球的概率为． 

【解析】

【分析】
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中次都摸到红球的结果有种，再由概率公式求解即可．
【解答】
解：搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率等于，
故答案为：；
见答案．  

17.【答案】解：设原来每小时维修米． 
根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：原来每小时维修米． 

【解析】设原来每小时维修米，则后来每小时维修米，等量关系是：原来维修米所用时间后来维修米所用时间小时，依此列出方程求解即可．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：如图中，点即为所求；

如图中，点即为所求；

如图中，点即为所求；
 

【解析】利用平行线分线段成比例定理作出图形即可；
构造等腰直角三角形即可；
根据，则作出对应图形即可．
本题考查作图一应用与设计作图，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
 

19.【答案】
证明：四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
≌，
，
▱为菱形． 

【解析】解：添加的条件是，
故答案为：；
证明：四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
≌，
，
▱为菱形．
添加合适的条件即可；
证≌，得，再由菱形的判定即可得出结论．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：本次共调查的学生人数是：名，
则，，
补全的条形统计图如图所示：

故答案为：，；
本次调查共名学生，观看“红色教育”相关视频的时间从小到大排序处于第和的两名学生的观看时间都是在组，
中位数位于组，
故答案为：；
、、、四组数据的平均数分别为，，，，
名学生观看“红色教育”相关视频的时间的平均数为：，
估计该校学生最近一周周末观看“红色教育”相关视频的时间的平均数为．
由组的频数频率即可得出本次调查的总人数，进而求出，的值即可；
根据中位数的定义进行解答即可；
根据加权平均数的定义进行解答即可．
本题考查了统计与调查，熟练掌握总体和频数、频率之间的关系，中位数定义和加权平均数的定义是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
小林家与公园之间的路程为：米，
故答案为：；
设，由题意得：
由图象得：，
；
由图象得：；
设所在直线的函数表达式为：，
则有：
解得：
．
根据题意可知：
所在直线的函数表达式为：．
由，
解得：，
米．
故小林与哥哥第二次相遇时距离公园还有米
根据图象中的数据和小林的速度，可以求得小林家与公园之间的路程；
根据图象可知：点，在哥哥返回家的过程中与之间的函数图象上，然后即可求得该函数的解析式；
可以分别计算出两次时间，然后作差即可得到小林与哥哥先后两次相遇的时间间隔．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】解：；
．
证明：在上截取，连接．

平分，
，
在和中，

≌，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
．
 

【解析】分析：
由角平分线的定义得出，根据可证明≌；
先截取，连接，根据判定≌，得出，，，进而得出结论；
在上取一点，使，证明≌，由全等三角形的性质得出，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可求出答案．
解：点是的平分线上一点，
，
在和中，
，
≌，
故答案为：；；
．
证明：在上截取，

平分，
，
在和中，

≌，
，
，
，
，
即，
，
，
，
．
在上取一点，使，

在中，，
，
，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
是的平分线，
，
在和中，
，
≌，
，
．
本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的性质以及等腰三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据线段的和差关系进行推导．
 

23.【答案】解：如图，四边形是矩形，，，为边的中点，
，，
，
，为线段的中点，
，
，
，
，
，
，

当点落在边上时，如图，延长交于点，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
．
解得．
如图，从点与点重合之后到点落在边上，与矩形重合部分图形为四边形，
，
解得；
如图，从经过点到点与点重合之前，与矩形重合部分图形为四边形，
，
，
，
，
，
解得，
综上所述，的取值范围是或．
延长交于点，则，
，

如图，的平分线交于点，作于点，于点，
，，，
≌，
，
，，
，
，
，
解得；
如图，的平分线交于点，交的延长线于点，同理可得，
，，
，
，，
，
解得；
如图，的平分线交于点，交的延长线于点，同理可得，
，，
，
，，
，
，
解得；
如图，的平分线交于点，的中点为，
，，
，
，
，
，
点不可能与的中点重合，
不存在点与点到的平分线距离相等的情况，
综上所述，或或． 

【解析】先由，，为边的中点求得，根据勾股定理求出的长为，再证明，则，即可求得；
延长交于点，当点落在边上时，则四边形是矩形，可求得，由列方程求出的值即可；
分两种情况，一是从点与点重合之后到点落在边上，与矩形重合部分图形为四边形，二是从经过点到点与点重合之前，与矩形重合部分图形为四边形，分别列不等式组求出的取值范围即可；
延长交于点，则，再由，求得，可证明当点与点到矩形的一个内角的角平分线距离相等时，则该角平分线经过的中点，可得，再分别按点在、、的平分线上，根据等腰直角三角形的性质列方程分别求出相应的的值，并说明不存在点与点到的平分线距离相等的情况即可．
此题重点考查矩形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、等腰直角三角形的判定与性质、不等式组的应用以及数形结合与分类讨论等数学思想的运用等知识与方法，正确地用含的代数式表示线段的长并且列出相应的方程或不等式组是解题的关键．
 

24.【答案】   

【解析】解：抛物线、为常数的对称轴为直线，
，
，
抛物线与轴交于点，
．
抛物线的函数表达式为：．
抛物线的对称轴是直线，且，，
当时，抛物线取最小值，最小值，
当时，抛物线取最大值，最大值，
当时，的取值范围是；
由知，当时，，
当时，则，
解得：，，
当时，，
；
故答案为：；；
抛物线，当时，，


由图象可得：当矩形的边与二次函数的图象只有三个交点时，
．
根据函数对称轴和与轴交点可直接得到结论；
在时，求出的最大，最小值即可得到答案；
当时，，当时，则，解得：，，又当时，，即可得出；
利用图象法求即可．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征，函数的最大小值等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．