2023年河源市高三年级适应性考试数学试卷（终稿）

2023年河源市高三年级适应性考试

数  学

（河源市高中数学命题工作组命制）

本试卷共4页，22小题，满分150分。 考试用时120分钟。

注意事项：

1. 答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

一、  选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要  求。

 1. 已知，，则

  A.    B. 

  C.    D. 

 2.  已知复数，则

  A.  B.  C.  D.

 3. 在正六边形中，与相交于点，设，则

 A.  B.  C.  D.

 4.  已知，则的值是

 A.  B.  C.  D.

 5.  已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号  盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号                            盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，                            设事件为第一次取出的球为号，事件为第二次取出的球为号，则下列说法错误的是

  A.  B.  C.  D.

 6.  宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛                            中酒缸的总数，古代称之为堆垛术. 有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一                            个三角垛，底层是每边为个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，记自上                            而下第层的圆球总数为，容易发现：，， ，则=

  A.  45 B.  40 C.  35 D.  30

 7. 已知正三棱锥的外接球半径为1，则该正三棱锥的体积的最大值为

  A.  B.  C.  D.

 8.  已知，则
  A.   B.     C.   D.  

二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全  部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

 9.  光明学校组建了演讲、舞蹈、航模、合唱、机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其中                            一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数少于全校学生人数）进行调查，                            并将调查结果绘制成了如下两个不完整的统计图：则

  A. 选取的这部分学生的总人数为人

  B. 合唱社团的人数占样本总量的

  C. 选取的学生中参加机器人社团的学生数为人

  D. 选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多

 10.  已知函数的图象关于直线对称，那么

 A. 函数为奇函数

  B. 函数在上单调递增

  C. 若，则的最小值为

  D. 函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则的最大值为

 11.  已知抛物线的方程为，过焦点的直线与交于两点，直线与的准线交于  点（其中为坐标原点），为准线上的一个动点. 下列选项正确的是

  A. 当直线垂直轴时，弦的长度最短

  B. 为定值

  C. 当与的准线垂直时,必有

  D. 至少存在两个点，使得

 12.  已知函数在上的导函数分别为，若为偶函数，是奇  函数，且，则下列结论正确的是

  A.   B.

  C. 是上的奇函数 D. 是上的奇函数

三、 填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

 13. 的展开式中的系数是            .

 14. 过点且被圆所截得的弦长为的直线的方程为___________.

 15. “灯笼”是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如

  图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要从下往上依次取下，每次取1盏，

  则不同取法总数为            .

16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（异于左右 顶点），的内切圆半径为，若的最大值为，则椭圆的离心率为            .

四、       解答题:本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. (10分)

 已知是等差数列，，且 成等比数列.

 (1) 求数列的通项公式；

 (2) 令 ，记 ，求.

 18. (12分)

  记的内角的对边分别为，已知.

(1)  证明：；

(2)  若角的平分线交于点，且，，求的面积.

 19. (12分)

  如图1所示，等边的边长为，是边上的高，分别是边的中点．现将沿折叠，如图2所示．

(1)  证明：

(2)  折叠后若，求二面角的余弦值.

 20. (12分)

  某人玩一项有奖游戏活动，其规则是：有一个质地均匀的正四面体(每个面均为全等的正三角形的三棱锥)，四个面上分别刻着1，2，3，4，抛掷该正四面体5次，记录下每次与地面接触的面上的数字.

(1)  求接触面上的5个数的乘积能被4整除的概率；

  (2) 若每次抛掷到接触地面的数字为3时奖励200元，否则倒罚100元，

  (ⅰ)设甲出门带了1000元来参加该游戏，记游戏后甲身上的钱为元，求；

  (ⅱ) 若在游戏过程中，甲决定当自己赢了的钱一旦不低于300元时立即结束游戏，求甲不超过三次就结束游戏的概率.

21. (12分)

  中国是纸的故乡，折纸也是起源于中国.后来数学家将几何学原理运用到折纸中，并且利用折纸来研究几何学，很好的把折纸艺术与数学相结合.将一张纸片折叠一次，纸片上会留下一条折痕，如果在纸片上按照一定的规律折出很多折痕后，纸上能显现出一条漂亮曲线的轮廓.

  如图，一张圆形纸片的圆心为点，是圆外的一个定点，是圆上任意一点，把纸片折叠使得点与重合，然后展平纸片，折痕与直线相交于点，当点在圆上运动时，得到点的轨迹.

  (1) 证明：点的轨迹是双曲线；

  (2) 设定点坐标为，纸片圆的边界方程为.若点位于(1)中所描述的双曲线上，过点的直线交该双曲线的渐近线于两点，且点位于轴右侧，为坐标原点，求面积的最小值.

22. (12分)

  已知函数.

(1) 当时，求的单调区间；

  (2) (ⅰ) 当时，试证明函数恰有三个零点；

   (ⅱ) 记(ⅰ)中的三个零点分别为，且，试证明.