四川省德阳市德阳中学校2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题及答案

德阳中学高2022级高一下期5月月考

数学试题

（试卷满分150分考试时间120分钟）

一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.

1.已知集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.设复数满足，则（    ）

A.    B.    C.    D.

3.如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，那么（    ）

A.的长度大于的长度    B.的长度等于的长度

C.的面积为4    D.的面积为2

4.若向量，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A.    B.    C.    D.

5.已知，则的化简结果是（    ）

A.    B.

C.    D.

6.以下说法正确的个数为（    ）

①圆柱的所有母线长都相等

②棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形

③底面是正多边形的棱锥是正棱锥

④棱台的侧棱延长后必交于一点

A.1    B.2    C.3    D.4

7.已知函数，则“”是“的值域为”的（    ）

A.充分而不必要条件    B.必要而不充分条件

C.充分必要条件    D.既不充分也不必要条件

8.设为的外心，分别为角的对边，若，则（    ）

A.8    B.-8    C.6    D.-6

二､多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是（    ）

A.圆柱的侧面积为

B.圆锥的侧面积为

C.圆柱的侧面积与球的表面积相等

D.圆柱､圆锥､球的体积之比为

10.若是实系数方程的两个虚数根，则，（    ）

A.的取值范围为    B.的共轭复数是

C.    D.为纯虚数

11.已知函数，其中的最小正周期为，且，则下列说法正确的是（    ）

A.的一条对称轴为

B.若，则有是的整数倍

C.的图象关于对称

D.若，函数的值域为

12.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济环保，至今还在农业生产中使用.如图，一个半径为6米的筒车逆时针匀速转动，其圆心O距离水面3米，已知筒车每分钟转动1圈，如果当筒车上一盛水桶M（视为质点）从水中浮现时（图中点）开始计时，经过t秒后，盛水桶M运动到P点，则下列说法正确的是（    ）

A.当秒时，米；

B.在转动一周内，盛水桶到水面的距离不低于6米的持续时间为20秒；

C.当时，盛水桶距水面的最大距离为米；

D.盛水桶运动15秒后筒车上另一盛水桶恰好露出水面，则转动中两盛水桶高度差的最大值为米.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在平面直角坐标系中，为坐标原点，，则__________.

14.已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，若该圆台的侧面积为，则其母线长为__________.

15.三棱锥的顶点都在球的球面上，且，若三棱锥的体积最大值为，则球的表面积为__________.

16.已知分别为锐角的三个内角的对边，为中点，，且，则长度的取值范围为__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤

17.（10分）已知，向量，.

（1）如图，若四边形OACB为平行四边形，求点C的坐标；

（2）若点P为线段AB的靠近点B的三等分点，求点P的坐标.

18.（12分）已知锐角，，且满足，.

（1）求；

（2）求.

19.（10分）在长方体中，下底面的面积为16，.

（1）求长方体的表面积的最小值；

（2）在（1）的条件下，设上底面的中心为，求三棱锥的体积.

20.（10分）在中，内角所对的边分别为，且.

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积.

21.（10分）已知.

（1）当时，求的x的取值范围；

（2）是否存在实数，使得不等式，对任意的恒成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

22.（10分）十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置.如图1所示，十字测天仪由杆AB和横档CD构成，并且E是CD的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动.十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察.滑动横档CD使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，DE的影子恰好是AE.然后，通过测量AE的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置.

（1）若在某次测量中，横档的长度为20，测得太阳高度角，求影子AE的长；

（2）若在另一次测量中，，横档的长度为20，求太阳高度角的正弦值；

（3）在杆AB上有两点，满足.当横档CD的中点E位于时，记太阳高度角为，其中，都是锐角.证明：.

参考答案

1.A    2.D    3.C    4.B    5.A    6.C    7.B    8.A

9.CD    10.BCD    11.ABD    12.BCD

13.    14.9    15.    16.

17.（1）设点C的坐标为，

因为，，，可得，

则，

若四边形OACB为平行四边形，可得，

则，解得，

故点C的坐标为.

（2）设点P的坐标为，

由（1）可知：，则，

若点P为线段AB的靠近点B的三等分点，则，

则，解得，故点P的坐标为.

18.（1）因为，是锐角，所以由，，

∵为锐角，，且，

∴，

，，，

所以，

，

.

（2）因为是锐角，由，则，

由，，

所以，

，

∵，∴.

19.（1）设，，由题意可知，，

则长方体的表面积，

当时，等号成立，

所以长方体表面积的最小值为96；

（2）由（1）可知，，

根据等体积公式可知，.

20.（1），

由正弦定理得，即

，又，；

（2），

由正弦定理得①，

又②，

由①②得，

.

21.（1）

.

，即，

故，

解得.

（2），

即，

即，

设，则，

，，

则，

，

故，即，

设，

，

故，

解得，即.

22.（1）如图1，

由题意得，，，且E是的中点，，，

所以在中，.

（2）解法一：由题意，.由于E是的中点，且，

所以，

且.

由余弦定理得

从而即太阳高度角的正弦值为.

解法二：由题意，.由于E是的中点，且，

所以，

且，

于是且，

从而，

即太阳高度角的正弦值为.

（3）由题意，，

因为，都是锐角，则，所以，

从而.根据，

可知

因为函数在单调递增，且，

所以，即.