2023年江苏省无锡市锡山区锡北片中考数学模拟试卷（5月份）(含答案)

2023年江苏省无锡市锡山区锡北片中考数学模拟试卷（5月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列实数为无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列图形是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列事件是必然事件的是(    )

A. 没有水分，种子发芽
B. 如果、都是实数，那么
C. 打开电视，正在播广告
D. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上

5.  如图，，点在上，平分，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，四边形为的内接四边形，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象在第一象限交于点，连接若，则的值为(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  抛物线与轴只有一个公共点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在坐标原点，点是对角线上一动点不包含端点，过点作，交于，点在线段上．若，，，，点的横坐标为，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点、、分别为、、的中点．将绕点在平面内自由旋转如图，若，，则面积的最大值是(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  的倒数是_______．

12.  分解因式：          ．

13.  中国空间站在轨平均高度约用科学记数法表示这个数据是______．

14.  一组数据、、、、的平均数是______．

15.  用半径为，圆心角是的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为          ．

16.  如图，点，，在同一条直线上，正方形，的边长分别为，，为线段的中点，则图中阴影部分的面积是______ ．

17.  如图，点，，，在上，，若，，则的长是______ ．

18.  如图，在矩形中，已知，，为边上的动点，若将沿着直线翻折，使点落在点处，则的最小值为______ ；当运动到中点处时，则 ______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：
；
．

20.  本小题分
解方程：；
解不等式组：．

21.  本小题分
已知，如图所示，，，点、在上，连接、，求证：
；
四边形是平行四边形．

22.  本小题分
一个不透明的布袋里装有个白球，个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出个球，取出白球的概率为．
布袋里红球有多少个？
先从布袋中摸出个球后不再放回，再摸出个球，求两次摸到的球都是白球的概率．

23.  本小题分
某校组织了一次数学实验比赛，设置了测高、测距、折纸、拼图、搭建共五个比赛项目，学校对全校名学生参与比赛项目的分布情况进行了一次抽样调查，并将调查所得的数据整理如下．

根据以上信息，解答下列问题：
本次抽样调查的样本容量是______，扇形统计图中项目对应的百分比是______；
请在答题卡上把条形统计图补充完整．画图后请标注相应的数据
该校参加人数最多的项目是哪个项目？约有多少学生参加？

24.  本小题分
如图，在的正方形网格中，、、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．
在图中作出边上的点，使得；
在图中作出边上的点不与点重合，使得；
在图中作出边上的点，使得．

25.  本小题分
如图，点是的边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，交于点，连接，连接并延长交的延长线于点，．
连接，求证：是的切线；
若，，求的长．

26.  本小题分
为响应“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成．设矩形空地中，垂直于墙的边，面积为如图．

求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
若矩形空地的面积为，求的值；
若该单位用元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共棵每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如表问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．

27.  本小题分
如图，抛物线的图象经过点，顶点的坐标为，与轴交于、两点．
求抛物线的解析式；
连接，为直线上一点，当∽时，求点的坐标和的值．
点是轴上一动点，当为何值时，的值最小．并求出这个最小值．

28.  本小题分
如图，在矩形中，，，点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点时，点、同时停止运动当点不与点、重合时，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接、，设点的运动时间为秒．
当点在上时，用含的代数式表示 ______ ；
当点在上时，用含的代数式表示 ______ ；
当为直角三角形时，求的值．
如图，取的中点，连接当在上，且时，求的值当点在上运动时，是否存在的情况，如果存在直接写出的值，如果不存在请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.是无理数，故本选项符合题意；
故选：．
根据无理数的定义解答即可．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
选项A不符合题意；
，
选项B符合题意；
，
选项C不符合题意；
，
选项D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的除法法则对每个选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，掌握合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的除法法则是解决问题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：、没有水分，种子发芽，是不可能事件，本选项不符合题意；
B、如果、都是实数，那么，是必然事件，本选项符合题意；
C、打开电视，正在播广告，是随机事件，本选项不符合题意；
D、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件，本选项不符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
．
平分，
．
．
故选：．
根据平行线的性质，由，得根据角平分线的定义，得平分，那么，进而求得．
本题主要考查平行线的性质、角平分线，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是的内接四边形，
，
，
，
故选：．
根据圆内接四边形的性质得出，代入求出即可．
本题考查了圆内接四边形的性质的应用，能根据性质得出是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，待定系数法求反比例函数解析式，求出点坐标是解题的关键．先由直线与轴交于点，与轴交于点，求出，，那么，根据：：，得出，求出，再把代入，解得的值，得到点坐标，然后将点坐标代入，即可求出的值．
【解答】
解：直线与轴交于点，与轴交于点，
，，
，
：：，
，
，
，
把代入，
得，解得，
．
反比例函数的图象过点，
．
故选B．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数与一元二次方程的关系，得到对应一元二次方程根的判别式等于是解题关键．
抛物线与轴只有一个公共点，对应的一元二次方程就有两个相等的实数根，根的判别式就等于，由此即可求解．
【解答】
解：抛物线与轴只有一个公共点，
方程有两个相等的实数根，
，
．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，，
直线的解析式为：，
，
直线的解析式为：，
，
点的横坐标为：，点的横坐标为：，
，
，
，
点的横坐标为：，
，
，
故答案为：．
先求得点，，三个点坐标，然后求得和的解析式，再表示出的长，进而表示出点的横坐标，根据不等式的性质求得结果．
本题考查了求一次函数的解析式，不等式性质等知识，解决问题的关键是表示出点的横坐标．
 

10.【答案】 

【解析】解：由旋转知，，
在和中，
，
≌，
，，
点、、分别为、、的中点．
，，，，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，


，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
最大时，面积最大，即：最大时，面积最大，
点在的延长线上，
，
，
，
故选：．
由“”可证≌，可得，，由三角形中位线定理可得，，，，可证是等腰直角三角形，当最大时，面积最大，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：的倒数是．
故答案为：．
根据倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．
本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查提公因式与公式法相结合的因式分解．掌握因式分解的常见方法是解题的关键．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式．
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

14.【答案】 

【解析】解：数据、、、、的平均数是：．
故答案为：．
根据平均数的定义计算即可．
本题考查了平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得．
本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
【解答】
解：设此圆锥的底面半径为，由题意得
，
解得．
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】解：连接，

四边形，是正方形，且边长分别为和，
，，，
，
为线段的中点，
，
故答案为：．
作辅助线，连接，可得三角形为直角三角形，求出，根据直角三角形斜边中线可得结论．
本题考查了正方形的性质、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质；作辅助线构建直角三角形是关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：连接，作直径连接，设交于点．

，
是直径，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
是直径，
，
，
，
，
解法二：过点作于点，则，，

．
故答案为：．
连接，作直径连接，设交于点解直角三角形求出，，，，，再求出，，可得结论．
本题考查解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

18.【答案】  

【解析】解：由题意可知，当点落在对角线上，即，，三点共线时，的值最小，

四边形为矩形，，，
，，
，
由翻折可得，，
．
故答案为：；
当点运动到中点时，
过点作的平行线，分别交，于点，，

则四边形为矩形，
，，
由翻折可得，，，
设，则，
，，
，
，
∽，
，
即，
，
在中，由勾股定理可得，
，
解得或舍去，
，
，
．
故答案为：．
由题意可知，当点落在对角线上，即，，三点共线时，的值最小，由已知条件可得，，，由翻折可得，则；
当点运动到中点时，过点作的平行线，分别交，于点，，则四边形为矩形，，，由翻折可得，，，设，则，证明∽，可得，可得，在中，由勾股定理可得，求出，进而可得，根据即可得出答案．
本题考查翻折变换折叠问题、勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：原式

；
原式
． 

【解析】根据零指数幂，特殊锐角三角函数以及有理数的乘方的计算方法进行计算即可；
根据平方差公式、完全平方公式以及合并同类项法则进行计算即可．
本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
 

20.【答案】解：；
变形为：；
去分母得：，
合并同类项得：，
化系数得：．
经检验是原分式方程的解．
．
解得，
解得，
所以不等式组的解集为． 

【解析】利用解分式方程的步骤可解得结果；
分别解两个方程得到和，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
本题考查了分式方程的解法：熟练掌握解分式方程的步骤是解决问题的关键．也考查了解不等式组．
 

21.【答案】证明：，
．
在和中，
，
≌．
．

由≌得，，
，
即．
．
，
四边形是平行四边形． 

【解析】要证，需证≌由，可知，由，已知，即可证得．
由≌得，，故，即，，，故四边形是平行四边形．
本题考查的是全等三角形及平行四边形的判定定理及性质，是中学阶段的重点内容，需同学们熟练掌握．
 

22.【答案】解：设布袋里红球有个．
由题意可得：，
解得，
经检验是原方程的解．
布袋里红球有个．

记两个白球分别为白，白
画树状图如下：
            
由图可得，两次摸球共有种等可能结果，
其中，两次摸到的球都是白球的情况有种，
两次摸到的球都是白球． 

【解析】设布袋里红球有个，根据白球的概率列方程求解可得；
画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
本题考查了列表法或树状图法求概率．注意列表法与树状图法可以不重不漏的表示出所有可能的结果．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】   

【解析】解：样本容量为：，
扇形统计图中项目对应的百分比是，
故答案为：，；
组频数：人，
补全条形统计图如图所示：

由统计图可得该校参加人数最多的项目是搭建，
人，
答：该校参加人数最多的项目是搭建，约有人参加．
从两个统计图可知组的有人，占调查人数的，可求出样本容量；根据扇形统计图可得项目对应的百分比；
求出组的频数即可补全条形统计图；
根据统计图可得该校参加人数最多的项目是搭建，利用样本估计总体的方法即可求解．
本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的关键．
 

24.【答案】解：如图中，点即为所求．
如图中，点即为所求．
如图中，点即为所求．
 

【解析】如图中，取格点，，连接交于点，点即为所求．
如图中，取格点，连接交于点，连接，点即为所求．
如图中，取格点，连接，得到的中点，连接交于点，点即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，
与相切，
，
，
即，
是的半径，
是的切线；
解：在中，，，，
，
，，
∽，
，
设的半径为，则，
解得，
在中，，，，
，
，
即的长为． 

【解析】根据证≌，得出，即可得出结论；
根据勾股定理求出，证∽，设圆的半径为，根据线段比例关系列方程求出，利用勾股定理求出，最后根据求出即可．
本题主要考查切线的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．
 

26.【答案】解：，
，
，
，
．
与之间的函数关系式为．
由题意：，
解得，，
时，，不符合题意，舍去，
的值为．
，
时，有最大值，
设购买了乙种绿色植物棵，购买了丙种绿色植物棵，
由题意：，
，
的最大值为，此时．
需要种植的面积，
丙种植物最多可以购买棵，此时这批植物可以全部栽种到这块空地上． 

【解析】根据矩形的面积公式计算即可；
构建方程即可解决问题，注意检验是否符合题意；
利用二次函数的性质求出的最大值，设购买了乙种绿色植物棵，购买了丙种绿色植物棵，由题意：，可得，推出的最大值为，此时，再求出实际植物面积即可判断．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

27.【答案】解：由题可列方程组：，
解得：
抛物线解析式为：；

抛物线的图象与轴交于、两点，
点，点，
，，
，，，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
直线的解析式为：；
当∽时


，
，
，
，，则，
则点；
由∽得：，
；

如图，连接，过点作于，

则，
，
当折线段与重合时，取得最小值，
由可知
，
，
当时，即点，有最小值为； 

【解析】将点、的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
当∽时，，求出，由∽得：，即可求解；
如图，连接，过点作于，当折线段与重合时，取得最小值，即可求解．
本题是二次函数综合题，考查了一次函数性质，待定系数法求解析式，点的对称性，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，图形的面积计算等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．
 

28.【答案】  

【解析】解：当点在上时，由题意得：，
，，
，
，
，
，
；

当点在上时，由题意得：，
，
，
，
故答案为：；；

点和点关于直线的对称，
当为直角三角形时，为等腰直角三角形，且，
，
当在上时，
，，
即，
解得，
当在上时，
，，
即，
解得，
综上，当为直角三角形时，的值为或；

过点作延长线于，延长交于，过点作于，

，，
，
在中，，
，
在中，，
，
即，
，
解得，
当点在线段上，时，
过点作于，过点作于，

，，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得，
当在上时的值为，当在上时的值为．
当点在线段上时，首先利用勾股定理求出，利用三角函数求出即可，当点在上时，先求出，然后利用三角函数求出即可；
分情况求出两种特殊情况下是等腰直角三角形时的值即可；
利用是的中点得出线段倍关系，列方程求解值即可．
本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识是解题的关键．