浙江省宁波市名校2022-2023学年高一下学期期中联考数学(含答案)

浙江省宁波市名校2022-2023学年高一下学期期中联考数学

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知向量，，若，则等于(   )

A.2            B.-3           C.3             D.-2

2、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则(   )

A.1              B.             C.2               D.

3、设，是两个非零向量，则“”是“”成立的(   )

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件

C.充要条件      D.既不充分也不必要条件

4、若直线l不平行于平面，则下列结论成立的是(   )

A.内的所有直线都与l异面           B.内不存在与l平行的直线

C.内的所有直线都与l相交           D.直线l与平面有公共点

5、如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若则等于(   )

A.            B.1           C.              D.

6、在中，，，以AB所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成一个几何体，则该几何体的体积为(   )

A.            B.            C.          D.

7、已知中，D是BC的中点，且，，则向量在上的投影向量为(   )

A.              B.         C.         D.

8、如图，已知长方体，，，E、F分别是棱、AD的中点，点P为底面四边形ABCD内（包括边界）的一动点，若直线与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为(   )

A.           B.            C.        D.

二、多项选择题

9、下列命题是真命题的是(   )

A.平行于同一直线的两条直线平行

B.平行于同一平面的两条直线平行

C.平行于同一直线的两个平面平行

D.平行于同一平面的两个平面平行

10、在平面直角坐标系中，已知点，，，则(   )

A.

B.是直角三角形

C.以OA，OB为邻边的平行四边形的顶点D的坐标为

D.与垂直的单位向量的坐标为或

11、如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，G，H分别在线段DC，DA上，且满足，，，，则下列说法正确的是(   )

A.当时，四边形EFGH是矩形

B.当时，四边形EFGH是梯形

C.当时，四边形EFGH是空间四边形

D.当时，直线EH，FG，BD相交于一点

12、在中，，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有(   )

A.                                    B.

C.的最小值为          D.的取值范围为

三、填空题

13、《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了：已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即：.即有满足，，，且的面积__________.

14、长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为3，2，1，则该球的表面积是__________.

15、如图，一座垂直建于地面的信号发射塔CD的高度为，地面上一人在A点观察该信号塔顶部，仰角为，沿直线步行后在B点观察塔顶，仰角为，若，此人的身高忽略不计，则他的步行速度为__________.

16、在锐角中，，，则的取值范围为________.

四、解答题

17、已知向量，，.

（1）求的值；

（2）求与的夹角的余弦值.

18、已知三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且.

（1）求角A；

（2）若，，求的面积.

19、如图，在三棱柱中，若G，H分别是线段AC，DF的中点.

（1）求证：；

（2）在线段CD上是否存在一点P，使得平面平面BCF，若存在，指出P的具体位置并证明；若不存在，说明理由.

20、如图，直角梯形ABCD中，，，，，.且，.

（1）若G是MN的中点，证明：A，G，C三点共线；

（2）若P为CB边上的动点（包括端点），求的最小值.

21、如图，在棱长为2的正方体中，P，Q分别是棱，AB的中点.

（1）若M为棱上靠近C点的四等分点，求证：平面PQC；

（2）若平面PQC与直线交于R点，求平面PRQC将正方体分割成的上、下两部分的体积之比.（不必说明画法与理由）.

22、在①，②，③，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.

在锐角中，的面积为S，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且选条件：________.

（1）求角A的大小：

（2）作（A，D位于直线BC异侧），使得四边形ABDC满足，，求AC的最大值.

参考答案

1、答案：C

解析：向量 ， 因为, 所以 ，解得. 故选 : C.

2、答案：D

解析：由正弦定理得,

故选：D.

3、答案：B

解析：

4、答案：D

解析：根据题意, 直线l  不平行于平面, 则直线 l 与 相交或直线l在平面内,

则直线 l 与平面必然有公共点.

故选: D.

5、答案：A

解析：由题意知，

因为

所以，，

6、答案：B

解析：过点C 作AB 的垂线交AB 于点D,

由已知得该几何体为以CD 为底面半径,

以BD 为高的圆锥挖去一个以 CD为底面半径,

以 AD为高的圆锥,，

所以,

所以该几何体的体积为

7、答案：A

解析：,

则两边同时平方可得, , 即,

D是BC的中点,

令

则，, 即,

向量 在 上的投影向量为

故选: A.

8、答案：C

解析：

9、答案：AD

解析：根据题意, 依次分析选项：

对于A, 由平行公理, 平行于同一直线的两条 直线平行, A正确;

对于B, 平行于同一平面的两条直线相交、平 行或异面, B错误;

对于C, 平行于同一直线的两个平面相交或平 行, C错误;

对于D, 平行于同一平面的两个平面平行, D正 确.

故选：AD.

10、答案：ABD

解析：

11、答案：BC

解析：根据题意, 连接AC, 依次分析选项：

对于A, 当 时, H、G 是AD 和CD 的中 点, 则有 且,

又由E, F 分别是边AB,BC 的中点, 则 且,

则有 且, 四边形EFGH 是平 行四边形, 但不一定是矩形, A错误;

对于B, 当 时, 由平行线等分线段定 理可得 且,

又由 且, 则有 但,

则四边形EFGH是梯形, B正确;

对于C, 当 时, 易得GH与AC不平行, 进 而有GH 与EF不平行,

则四点E、F、G、H不共面, 故四边形EFGH是 空间四边形, C正确;

对于D, 由C的结论, 当 时, 四点E、F、 G、H不共面, EH和FG不相交, D错误. 故选: BC.

12、答案：AC

解析：对于选项A, 由正弦定理及 ,

知,

所以, 即,

所以 或, 即 或 (舍),

所以, 即选项A正确;

对于选项B, 由, 得,

由余弦定理得,.

, 整理得, 即选项B 错误;

对于选项C,

, 当且仅当  , 即 时, 等号成立,

所以 的最小值为, 即 选项C正确;

对于选项D, 因为, 所以,

又, 所以, 解 得,

所以 ，即选项D错误.

故选: AC.

13、答案：

解析：

14、答案：

解析：长方体所有顶点都在一个球面上, 长、 宽、高分别是3，2， 1,

长方体的外接球的直径为:, 外接球的半径为,

这个球面的表面积为：.

故答案为:.

15、答案：

解析：依题意, 在中, ，, 则,

在中, ，, 则,

在 中, , 由余弦定理得:,

即

, 解得,

即有, 所以他的步行速度为.

故答案为:.

16、答案：

解析：因为是锐角三角形, 且,

所以，,

又, 所以, 由 正弦定理有

所以，，所以

因为,

所以,

所以.

故答案为:.

17、答案： (1)

(2)

解析: (1)

(2)

令 与 的夹角为, 即

18、答案： (1)

(2)

解析: (1)因为, 所以

即:

因为, 所以, 即:

又因为, 所以 ,

(2)由余弦定理可得:

代入可得关于c 的方程:, 解得: 或 (舍)

由三角形面积公式

19、答案： (1)见解析

(2)见解析

解析: (1)证明: 连接BD, 由四边形ABCD 为平行四边形 可知, 连接BD 必与AC 相交于中点G, 所以G 是DB 中点

又因为H 是线段DF 的中点, 故.

(2) 当P 为线段CD 中点时, 有平面 平面BCF,

证明: 平面 BCF,平面 ABC,平面 ABC

又因为点P,G 分别为CD,BD 中点可得:

平面 BCF,平面BCF, 平面BCF,

且, 故平面 平面BCF.

20、答案： (1) A,G,C 三点共线

(2)

解析：(1) 以 A为原点, AB 为x 轴建立直角坐标系

可得:，，，,

，，

所以, ，

因为, 所以

由于 ， 有公共点A, 所以A,G,C 三点共线.

(2)设 ，，

因为

所以

即当 时, 的最小值是.

21、答案： (1)见解析

(2)

解析：(1)证明: 取PC 的中点N,DC 的中点G,

连接NG,NM,NQ. 易知, 且,

所以四边形MNGC 为平行四边形, 即, 且,

又因为, 且, 所以, 且,

所以四边形MNQB 为平行四边形, 所以,

又因为 平面 PQC,平面PQC, 所以 平面PQC.

(2) 如图所示, 延长 CQ和DA, 使其交于 E点, 连接PE, 交 于R.

因为 Q为 AB的中点, , 所以A 为 ED的中点, 又,

所以, 所以

,

所以

22、答案： (1)

(2)

解析：(1) 选①由题意得:

即

所以, 又因为, 所以,

因为, 所以

选②由题意得:

即

所以

因为, 所以

选③由题意得:

所以, 即,

因为, 所以

(2)如图, 设, 则，,

在中, 由正弦定理得,

可得.

在中, 由正弦定理得,

可得

因为 是锐角三角形,所以得到

因为 是锐角三角形, 所以

得到, 所以可得,

当 时, 即 时, 可得: AC的最大值是.